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Universidad Rey Juan Carlos

Relaciones entre álgebras de Lie y sistemas de Jordan

Tesis Doctoral

Muñoz Alcázar

Rubén José

García González

Esther

Gómez Lozano

Miguel Ángel

2021

Programa de Doctorado en Ciencias Escuela Internacional de Doctorado

Derechos de autor 2024 los autores

2024

los autores

<target target-type="page" id="pges_5"/>Agradecimientos

En primer lugar, me gustaría agradecer a mis directores, Esther García González y Miguel Gómez Lozano. Muchas gracias por vuestras enseñanzas y vuestra paciencia, por haberme guiado en el ambiente de las álgebras no asociativas y haber resuelto todas las dudas que os planteaba; por la lectura minuciosa del contenido de este trabajo y por los consejos y sugerencias tanto en su redacción como en su contenido matemático.

Por otra parte, me gustaría agradecer a mis compañeros de trabajo, por el apoyo y los consejos recibidos a lo largo de estos años, así como el inmejorable ambiente de trabajo que me han brindado.

No puedo dejar de agradecer a mis amigos, por su incesante apoyo y comprensión en todo este tiempo, al igual que necesito agradecer a mis padres y a mi familia.

Por último, agradecer a María, mi compañera de viajes desde hace años. Porque estos años de trabajo hubieran sido mucho más duros si no hubiera estado a mi lado.

<target target-type="page" id="pges_6"/><target target-type="page" id="pges_7"/>ÍNDICE GENERAL

<bold>I INTRODUCCIÓN GENERAL</bold>

<bold>Introducción</bold>

Origen y actualidad

Objetivos y procedimientos

<bold>II CUERPO DE LA TESIS</bold>

<bold>Organización y estructura</bold>

<bold>1. Preliminares</bold>

1.1. Nociones básicas

1.2. Centroide extendido y clausura central

1.3. Algunos conceptos en anillos

<bold>2. Filtración asociada a un ideal interno abeliano</bold>

2.1. La condición [<italic>B</italic>, Ker<italic>L</italic>B]<italic>n</italic> ⊂ <italic>B</italic>

2.2. Filtración asociada a un ideal interno abeliano

<bold>3. Especialidad de sistemas Jordan asociados a álgebras de Lie</bold>

3.1. Especialidad de <italic>La</italic>

3.2. Especialidad de (<italic>B</italic>, Ker<italic>L</italic><italic>B</italic>)

<bold>4. Una forma canónica de Jordan para elementos nilpotentes</bold>

4.1. Forma canónica de Jordan

<bold>5. Resultados y métodos</bold>

5.1. Resultados principales

5.2. Métodos utilizados

<bold>III DISCUSIÓN GENERAL</bold>

<bold>Análisis de los resultados y conclusiones parciales</bold>

<bold>IV CONCLUSIONES GENERALES</bold>

<bold>Principales hallazgos e implicaciones</bold>

101

<bold>Bibliografía Común</bold>

103

<bold>Bibliografía</bold>

105

URJC

PARTE I <target target-type="page" id="pges_8"/><target target-type="page" id="pges_9"/>INTRODUCCIÓN GENERAL

<target target-type="page" id="pges_10"/><target target-type="page" id="pges_11"/>INTRODUCCIÓN

Este trabajo está enmarcado en el contexto de la teoría de álgebras, tanto asociativas como no asociativas. En el contexto de las álgebras no asociativas concretizaremos en el estudio de las álgebras de Lie y de los sistemas de Jordan.

En los años 60 del siglo XX, autores como Tits [60], Kantor [45, 46, 47] y Koecher [48, 49] se interesaron en estudiar la conexión existente entre los sistemas Jordan y las álgebras de Lie. Actualmente, la interacción entre ambas teorías sigue generando interés.

Origen y actualidad

En el año 1873 el matemático noruego Sophus Lie, estudiando propiedades de soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales, inició lo que hoy llamamos la Teoría de Lie. Una de las ideas más originales que tuvo fue la introducción de invariantes en el análisis y en la geometría diferencial. Observó que los métodos clásicos de resolución de ecuaciones diferenciales se basaban en que la ecuación era invariante frente a una familia de transformaciones continuas, es decir, al aplicarle dichas transformaciones a una solución de una ecuación diferencial, esta seguía siendo solución de la ecuación original.

El interés de Lie residía en estudiar la familia de transformaciones continuas en n variables, que dependían de m parámetros, y que dejan invariante un sistema diferencial. Resultó que este conjunto de transformaciones continuas era un grupo cerrado para la composición, pero no en un sentido global, ya que las transformaciones no tenían por qué estar definidas globalmente. A raíz de estos estudios se origina lo que conocemos actualmente como álgebra de Lie. Este término no fue creado hasta la década de 1930 por Hermann Weyl.

Estas álgebras están íntimamente relacionadas con los grupos de Lie, que ocupan un importante lugar en la geometría contemporánea. En la idea original de Lie la cantidad de parámetros m del grupo de transformaciones no tenía por qué ser finito. En geometría diferencial y en física surgieron aplicaciones importantes de estos grupos de transformaciones continuas para m finito, que ahora conocemos como grupos de Lie de dimensión finita. Existen también trabajos en los que el número de parámetros m es infinito, más generalmente relacionados con la física.

En términos formales, un álgebra de Lie L sobre un anillo de escalares ϕ (al que se le suele pedir 12∈ϕ de manera habitual) es un álgebra con producto [x, y], el cual es anticonmutativo y verifica la identidad de Jacobi

[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0,

para todo x, y, z ∈ L.

Toda álgebra asociativa R se convierte en un álgebra de Lie R⁽⁻⁾ con el producto [x, y] = xy − yx.

Las álgebras de Jordan surgieron en los años 30 del siglo XX con el intento de Pascual Jordan, John von Neumann y Eugene Wigner de encontrar una estructura algebraica para la mecánica cuántica esencialmente diferente de las matrices hermitianas.

Una matriz x∈Mn(ℂ) es hermitiana si x∗:=x¯t=x. Sabemos que la suma de dos matrices hermitianas es nuevamente una matriz hermitiana y, si consideramos el producto de una matriz hermitiana por un número real, también obtenemos una matriz hermitiana. Sin embargo, si x e y son matrices hermitianas, entonces

(xy)∗=y∗x∗=yx

no tiene por qué ser igual a xy. En el contexto de la física, xy era una operación «no observable». Por otro lado, las operaciones observables en matrices hermitianas eran

λx,x+y,xy+yx,xyx,xn,

donde λ ∈ ℝ, n ∈ ℕ y x e y son matrices hermitianas.

Jordan, von Neumann y Wigner se centraron en las operaciones lineales λx, x + y, y el producto bilineal x•y=12(xy+yx). Con este nuevo producto se tiene que el producto de dos matrices hermitianas, x e y, es nuevamente una matriz hermitiana, ya que

(x•y)∗=(12(xy+yx))∗=12(yx+xy)=12(xy+yx)=x•y.

Además, si consideramos x² = x • x, entonces

2(x•y)•x−x2•y=2(12(xy+yx)•x)−x2•y=12(xyx+yx2+x2y+xyx)−12(x2y+yx2)=xyx.

Así, las operaciones observables xⁿ, xyx y xy + yx se puede expresar a partir de las operaciones + y •.

Con la suma habitual, +, y este nuevo producto •, las matrices hermitianas forman un álgebra no asociativa que verifican la propiedad conmutativa y la identidad de Jordan, es decir,

(x2•y)•x=x2•(y•x)

para matrices hermitianas cualesquiera x e y.

En 1934 se publicó un artículo titulado «On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism» [44], de P. Jordan, J. von Neumann y E. Wigner, donde se introduce la noción de álgebra de Jordan, aunque tal nombre fue mencionado por primera vez por Albert en 1946.

Un álgebra de Jordan es un ϕ-módulo J junto con dos aplicaciones cuadráticas

U:J⟶Endϕ(J)y( )2:J⟶J

verificando las siguientes identidades en todas las extensiones por escalares de J:

x2∘y=Ux,y(x),x∘Ux(y)=Ux(x∘y),(x2)2=Ux(x2),(Ux(y))2=UxUy(x2),Ux2=Ux2, yUUx(y)=UxUyUx

para todo x, y ∈ J, donde x ∘ y = (x + y)² − x² − y² y U_{x, z}(y) = (U_x+z − U_x − U_z) (y) para todo x, y, z ∈ J [51, 1.6].

Si 12∈ϕ, por [42, 1.4] podremos decir que un álgebra de Jordan es un ϕ-módulo J cuyo producto • es conmutativo y verifica la identidad de Jordan

x2•(y•x)=(x2•y)•x

para todo x, y ∈ J.

De la misma forma que un álgebra asociativa R se convierte en un álgebra de Lie R⁽⁻⁾, también se tiene que toda álgebra asociativa R se convierte en un álgebra de Jordan R⁽⁺⁾ con el producto x•y=12(xy+yx).

Un álgebra de Jordan se dice especial si se puede ver como subálgebra de R⁽⁺⁾, para algún álgebra asociativa R. En caso contrario, el álgebra de Jordan se dirá que es excepcional. La intención de Jordan, von Neumann y Wigner era, por tanto, encontrar álgebras de Jordan excepcionales con las que modelar el comportamiento de los observables en mecánica cuántica.

En el artículo de 1934 citado anteriormente, los autores probaron que las álgebras de Jordan finito dimensionales formalmente reales eran sumas directas de sistemas simples de los que había solo cinco modelos:

Hn(ℝ),Hn(ℂ),Hn(ℍ),H3(𝕆),𝒥(Q),

donde H_n(·) denota el conjunto de matrices hermitianas de orden n, ℍ denota los cuaterniones, 𝕆 los octoniones y el producto en 𝒥(Q) = ℝ · 1 ⊕ V viene dado por una forma cuadrática Q definida en el espacio vectorial V con valores en ℝ de modo que x • y = Q(x, y) · 1. Los tres primeros modelos y J(Q) son álgebras de Jordan especiales. En «On a Certain Algebra of Quantum Mechanics» [1], A. A. Albert prueba que H₃(𝕆) es excepcional. Este hallazgo supuso un fracaso en los objetivos iniciales de Jordan, von Neumann y Wigner, ya que en su clasificación la única álgebra de Jordan excepcional era “demasiado pequeña” para la generalización que buscaban.

Más adelante, en 1983, Zelmanov acabó corroborando que, tanto en dimensión finita como infinita, la única álgebra de Jordan simple excepcional era H₃(𝕆). De hecho, E. I. Zelmanov demostró en [61] que si J era un álgebra de Jordan simple sobre un anillo de escalares ϕ, con 12∈ϕ, entonces J era isomorfa a una de las siguientes álgebras:

R⁽⁺⁾, donde R es un álgebra asociativa simple,

H(R, *) = {x ∈ R : x* = x}, donde R es un álgebra asociativa simple con involución *,

𝒥(Q), para una forma cuadrática Q : V → 𝔽, donde 𝔽 es un cuerpo de característica distinta de 2 y V es un espacio vectorial sobre 𝔽 con dim(V) > 1,

H₃(𝕆).

Después de algún tiempo se produjo un abandono del estudio de las álgebras de Jordan por parte de los físicos, dando paso a algebristas como Albert y Jacobson.

Como se puede apreciar, la posibilidad de poder ver un sistema de Jordan dentro de un sistema asociativo se ha considerado desde el comienzo de la Teoría de Jordan. Cabe destacar el hecho de que, a diferencia del caso Jordan, todas las álgebras de Lie sobre cuerpos son especiales (Teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt [41, 17.3]), en el sentido de poder verse como subálgebra de R⁽⁻⁾ para algún álgebra asociativa R.

Los pares de Jordan surgieron inicialmente en los trabajos de Meyberg sobre sistemas triples de Jordan, pero fueron estudiados de modo extenso y sistemático por Loos en [51]. Un par de Jordan es un par de ϕ-módulos V = (V⁺, V⁻) junto con dos aplicaciones cuadráticas

Qσ:Vσ⟶Homϕ(V−σ,Vσ)

con σ = ±, verificando las siguientes identidades en todas las extensiones por escalares de V:

Dσ(x,y)Qxσ=QxσDσ(y,x),Dσ(Qxσ(y),y)=Dσ(x,Qy−σ(x))yQQxσ(y)σ=QxσQy−σQxσ

para todo x ∈ V^σ y todo y ∈ V^−σ, donde

Dσ:Vσ×V−σ⟶Endϕ(Vσ)

es la aplicación bilineal dada por

Dσ(x,y)(z)=Qx+zσ(y)−Qxσ(y)−Qzσ(y)

para todo x , z ∈ V ^σ y para todo y ∈ V^−σ.

Si 12,13∈ϕ, por [51, Proposition 2.2] podremos ver un par de Jordan como un par de ϕ-módulos V = (V⁺, V⁻) dotado con dos aplicaciones trilineales

{,,}:Vσ×V−σ×Vσ⟶Vσ,

tales que {x, y, z} = {z, y, x} y

{x,y,{u,v,z}}−{u,v,{x,y,z}}={{x,y,u},v,z}−{u,{y,x,v},z}

para todo x, z, u ∈ V^σ y todo y, v ∈ V^−σ, donde σ = ±.

Un ideal interno B de un álgebra de Lie L sobre un anillo de escalares ϕ es un submódulo de L tal que [B, [B, L]] ⊂ B. Se introdujeron por primera vez en 1977 por G. Benkart [12]. Benkart sugirió que los ideales internos de las álgebras de Lie podrían ser los análogos en la Teoría de Lie de los ideales unilaterales en el entorno asociativo. Un ideal interno abeliano es un ideal interno que también es una subálgebra abeliana de L, es decir, tal que [B, B] = 0. Los ideales internos abelianos de un álgebra de Lie están estrechamente relacionados con los elementos ad-nilpotentes de índice tres, esto es, elementos x ∈ L tales que adx3(L)=0 y adx2(L)≠0, donde ad_x(y) = [x, y]. La existencia de elementos ad-nilpotentes proporciona un criterio elemental para distinguir las álgebras de Lie clásicas del resto. Los ideales internos de las álgebras de Lie clásicas fueron clasificadas por G. Benkart en [11] y su clasificación fue completada en [13] por G. Benkart y A. Fernández López.

Haciendo uso de ideales internos se obtuvo un análogo al teorema de Wedderburn-Artin para álgebras de Lie en [28] y [29]. Los ideales internos de álgebras de Lie simples de dimensión finita se clasificaron en [23], y la clasificación de los ideales internos de las álgebras de Lie simples finitarias se obtuvo en [26]. Destacamos el artículo [5], de A. Baranov y J. Rowley, en el que se caracterizan las álgebras de Lie simples localmente finitas sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero en términos de la existencia de ideales internos propios distintos de cero.

En los últimos años, como se anunció en una comunicación presentada por A. M. Cohen en la conferencia «Buildings and Symmetry» celebrada en la Universidad de Western Australia en 2017, los ideales internos de las álgebras de Lie han alcanzado un papel relevante en el estudio de ciertas geometrías relacionadas con grupos algebraicos, recuperando una línea de investigación iniciada en 1973 por J. Faulkner, [24]. Como A. M. Cohen menciona en su trabajo [22], «la clasificación explícita de ideales internos en álgebras de Lie simples relacionadas con grupos algebraicos dada en [25] confirma que la noción de ideal interno es muy adecuada para el estudio de grupos algebraicos».

Más evidencia de la utilidad de los ideales internos proviene de [30], donde fue demostrado que un ideal interno abeliano B de longitud finita en un álgebra de Lie no degenerada L sobre un anillo de escalares ϕ, con 12,13∈ϕ, da lugar a una ℤ-graduación finita, siendo B un extremo de esta graduación.

Una ℤ-filtración {Fi}i∈ℤ de un álgebra de Lie L es una cadena de ϕ-submódulos de L

…⊂F−2⊂F−1⊂F0⊂F1⊂F2⊂…

tal que [Fi,Fj]⊂Fi+j para todo i, j ∈ ℤ. Esta filtración será acotada si existen n, m ∈ ℤ, con n < m, tales que Fi=0 para todo i ≤ n y Fj=L para todo j ≥ m. Las filtraciones asociadas a un solo elemento fueron introducidas por primera vez por O. Loos en 1990 en el contexto de los sistemas de Jordan (ver [52]) de una manera análoga a las nociones asociativas. En 2005, D. Passman estudió ℤ-filtraciones acotadas máximales de anillos semisimples Artinianos [58] y, junto con Y. Barnea, describió las filtraciones en álgebras de Lie semisimples en una serie de artículos publicados entre 2006 y 2010, [6], [7] y [59]. Más tarde, en 2012, E. García y M. Gómez Lozano demostraron en [35] que cualquier elemento ad-nilpotente a ∈ L de índice menor o igual que 3 en un álgebra de Lie L sobre un anillo de escalares ϕ, con 12,13∈ϕ, da lugar a una 5-filtración de L de modo que, al considerar el álgebra de Lie 5-graduada L^ inducida por esta filtración, el par de Jordan asociado a L^ coincide con el par de Jordan asociado al elemento a.

Es bien sabido que una matriz cuadrada sobre un cuerpo algebraicamente cerrado es similar a una matriz que consta de bloques de Jordan. En [31] los autores estudian un resultado similar para elementos nilpotentes en el zócalo de un álgebra de Jordan no degenerada, demostrando que estos elementos admiten una forma canónica de Jordan. Uno de los principales resultados de ese trabajo fue la caracterización de elementos nilpotentes indescomponibles en el zócalo como elementos nilpotentes de índice n y rango n − 1.

Las formas canónicas de elementos nilpotentes en anillos generales, con la condición extra de que todas sus potencias sean regulares von Neumann, han sido objeto de estudio de varios autores. En el libro [57], O’Meara, Clark y Vinsonhaler destacaron la importancia de la forma de Weyr, y caracterizaron la posibilidad de obtener una forma de Weyr de un endomorfismo nilpotente t de un módulo cuasi-proyectivo no nulo P sobre un anillo arbitrario R en términos de la regularidad von Neumann de las potencias de t en el anillo de endomorfismo End_R(P), [57, Theorem 4.8.2]. En estas circunstancias, el módulo P se descompone como una suma directa de submódulos no nulos, P = A₁ ⊕ A₂ ⊕ • • • ⊕ A_r, tales que t(A₁) = 0 y t(A_i) = A_i−1 para todo i = 2, 3, . . . , r, como podemos ver en [39, Lemma 7.1] o en [10, Lemma 3.5].

Esta descomposición de Weyr de endomorfismos nilpotentes fue utilizada por Beidar, O’Meara y Raphael para obtener la forma canónica de Jordan de un elemento nilpotente en un anillo [10, Teorema 3.6 (iii)]. En su resultado, demostraron que si R es un álgebra sobre un anillo conmutativo Γ, y a ∈ R es un elemento nilpotente de índice r tal que todas las potencias de a son regulares von Neumann en R, entonces existen enteros 1 ≤ n₁ < n₂ < … < n_s = r, un elemento b ∈ R e ideales I₁, I₂, …, I_s del anillo Γ tales que Ann_Γ(R) = ∩_j I_j y existe un isomorfismo de álgebras

Φ:Γ[a,b]⟶∏i=1s Mni(Γ/Ii)

tal que cada imagen de a en Mni(Γ/Ii) tiene la forma de un bloque de Jordan.

Objetivos y procedimientos

Este trabajo tiene dos objetivos. El primero de ellos es dar condiciones sobre un álgebra de Lie L fuertemente prima bajo las cuales el álgebra de Jordan asociada a un elemento ad-nilpotente a de índice menor o igual a 3, L_a (ver [27]), es especial. De un modo análogo, daremos condiciones bajo las cuales el subcociente ([30]) asociado a un ideal interno abeliano B de un álgebra de Lie L fuertemente prima es especial. Para probar la especialidad del subcociente construiremos una filtración acotada asociada a B. Esta filtración extiende a la filtración principal inducida por un elemento ad-nilpotente de índice menor o igual a 3 definida en [35]. Estos resultados se encuentran en los artículos [36] (publicado) y [37] (enviado para su publicación).

El segundo obetivo es dar una forma canónica de Jordan de un elemento nilpotente en un anillo arbitrario. Para el primer paso en nuestro proceso de inducción, necesitaremos que aⁿ = 0 y a^n–1 sea regular von Neumann. En este caso, encontramos un idempotente e de R que conmuta con a y tal que eRe es isomorfo a un anillo de matrices de tamaño n × n sobre un anillo unitario. Bajo este isomorfismo, el elemento ea corresponde a un bloque de Jordan de tamaño máximo en eRe. Si a coincide con ea, entonces diremos que a es un elemento bloque asociado al idempotente bloque e. Demostraremos que todo elemento nilpotente a ∈ R, para el cual todas las potencias de a son regulares von Neumann, se pueden descomponer (respecto a una familia de idempotentes ortogonales que conmuta con a) en una suma finita de elementos bloques nilpotentes de índices decrecientes asociados a esos idempotentes. Estos sumandos son bloques de Jordan, y la suma de estos bloques de Jordan es lo que llamamos la forma canónica de Jordan de un elemento nilpotente. Como consecuencia de la forma canónica de Jordan, recuperamos y ampliamos las descripciones de anillos de índice acotado n dadas en [39]. Por ejemplo, cuando R es primo y a es un elemento nilpotente de índice máximo, con a^n–1 regular von Neumann, R≅Mn(S) para un dominio unitario S y, cuando R es indescomponible y von Neumann regular, R≅Mn(Δ), donde Δ es un anillo de división. Los resultados de este capítulo se recogen en el artículo [38] (publicado).

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PARTE II <target target-type="page" id="pges_20"/><target target-type="page" id="pges_21"/>CUERPO DE LA TESIS

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<target target-type="page" id="pges_22"/><target target-type="page" id="pges_23"/>ORGANIZACIÓN Y ESTRUCTURA

El cuerpo de la tesis consta de cinco capítulos. El primer capítulo está formado por definiciones y resultados conocidos sobre anillos, álgebras asociativas, álgebras de Lie y sistemas de Jordan, que serán utilizados en el resto de capítulos. En este primer capítulo podemos encontrar tres secciones. La primera de ellas está dedicada a las nociones sobre álgebras de Lie y sistemas de Jordan con las que vamos a trabajar en el segundo y tercer capítulo, la segunda sección la dedicaremos a la construcción del centroide extendido y clausura central de álgebras asociativas primas y semiprimas, citando varios resultados que nos serán de ayuda. Por último, en la tercera sección encontraremos conceptos sobre anillos que serán de utilidad para el capítulo cuatro.

En el segundo capítulo nos centraremos en la construcción de una filtración acotada asociada a un ideal interno abeliano B en un álgebra de Lie L. Esta filtración será de gran ayuda para el estudio de la especialidad del subcociente asociado a un ideal interno abeliano, (B, Ker_LB), que realizaremos en el capítulo tres. Para lograr tal construcción, necesitamos que [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B para algún natural n. En la primera sección de este capítulo analizamos esta hipótesis, llegando a la conclusión de que no es tan restrictiva como aparenta, ya que se verifica en las álgebras de Lie más usuales. En la segunda y última sección de este capítulo, construimos la citada filtración acotada inducida por un ideal interno abeliano y analizamos la relación existente entre esta filtración y la asociada por un elemento ad-nilpotente a de índice tres dada en [35, Theorem 1.2], ya que todo elemento ad-nilpotente de índice tres genera el ideal interno abeliano B = (a)_L = [a, [a, L]] + ϕa si L es libre de torsión 3. Este capítulo contiene los resultados del artículo [37], el cual se encuentra enviado para su publicación.

El tercer capítulo está dedicado al estudio de la especialidad de dos sistemas Jordan asociados a un álgebra de Lie L: el álgebra de Jordan L_a asociada a un elemento ad-nilpotente de índice menor o igual que 3 y el subcociente (B, L/Ker_LB) asociado a un ideal interno abeliano B. En este capítulo encontraremos dos secciones. En la primera de ellas damos condiciones suficientes para que el álgebra de Jordan L_a asociada a un elemento ad-nilpotente a de índice menor o igual que tres dada en [27, Theorem 2.4] sea especial. Para ello, la filtración asociada a este elemento a jugará un papel de suma importancia. En la segunda sección utilizamos la filtración asociada a un ideal interno abeliano B para dar condiciones bajo las cuales el subcociente (B, Ker_LB) es especial. Estos resultados se encuentran en el artículo publicado [36].

Para el cuarto capítulo cambiamos de ambiente. En este capítulo daremos una nueva demostración de la forma canónica de Jordan de un elemento nilpotente en un anillo arbitrario R. Si a ∈ R es un elemento nilpotente de índice n y aⁿ⁻¹ es regular von Neumann, podemos descomponer a = ea + (1 − e)a, siendo ea∈eRe≅Mn(S) un bloque de Jordan de tamaño n × n, donde S es un anillo unitario, y (1 − e)a es nilpotente de índice menor que n para un idempotente e ∈ R tal que ae = ea. Este resultado hace posible caracterizar la forma canónica de Jordan de un elemento nilpotente a tal que todas sus potencias sean regulares von Neumann. Además, podremos caracterizar los anillos primos de índice acotado n con un elemento nilpotente a ∈ R del índice n y tal que aⁿ⁻¹ es regular von Neumann como un anillo de matrices sobre un dominio unitario. El contenido de este capítulo ha sido de gran utilidad para describir los elementos ad-nilpotentes en álgebras de Lie que proceden de álgebras asociativas con involución [20], y su contenido puede encontrarse en el artículo publicado [38].

En el último capítulo sintetizamos los resultados más relevantes de este trabajo, resumiendo los métodos utilizados para llegar a ellos.

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CAPÍTULO 1 <target target-type="page" id="pges_25"/>PRELIMINARES

1.1. <bold>Nociones básicas sobre álgebras de Lie y sistemas de Jordan</bold>

Por un anillo de escalares ϕ entenderemos que ϕ es un anillo asociativo, conmutativo y unitario. Trataremos con álgebras asociativas R, álgebras de Lie L, álgebras de Jordan J y pares de Jordan V sobre un anillo de escalares ϕ, con 12, 13 ∈ ϕ. Nos referiremos a [43], [3] , [56], [51] y [25] para los resultados básicos, notación y terminología sobre álgebras de Lie y sistemas de Jordan. A lo largo de este capítulo vamos a ir introduciendo definiciones y resultados necesarios para el desarrollo de los capítulos posteriores.

Definición 1.1.1. Un álgebra de Lie L sobre un anillo de escalares ϕ es un ϕ-módulo dotado de un producto bilineal [ , ] : L × L → L anticonmutativo y verificando la identidad de Jacobi, es decir,

[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0

para todo x, y, z ∈ L.

Ejemplo 1.1.2. Sea R un álgebra asociativa sobre un anillo de escalares ϕ cuyo producto denotaremos por yuxtaposición. Entonces el ϕ-módulo R dotado con el producto [x, y] = xy − yx para todo x, y ∈ R es un álgebra de Lie que denotaremos por R⁽⁻⁾. Si R tiene involución *, podemos definir el conjunto de los elementos antisimétricos de R,

Skew(R,∗)={x∈R:x∗=−x}.

En este caso, se tiene que Skew(R, *) es un subálgebra de Lie de R⁽⁻⁾.

Definición 1.1.3. Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ y sea x ∈ L.

Se define la aplicación adjunta determinada por x, y la denotaremos por ad_x : L → L, a la aplicación lineal definida por ad_x(y) = [x, y] para todo y ∈ L.

Diremos que x es ad-nilpotente (en L) si existe n ∈ ℕ tal que adxn(L)=0. En ese caso, se dirá que n es el índice de ad-nilpotencia de x (sobre L) si adxn−1(L)≠0.

A un elemento ad-nilpotente a ∈ L cuyo índice de ad-nilpotencia sea menor o igual a tres lo llamaremos elemento Jordan. En este caso, se define el núcleo de a como el conjunto KerLa={x∈L:ada2(x)=0}.

Diremos que x ∈ L es un divisor absoluto de cero si x es un elemento ad-nilpotente en L con índice de ad-nilpotencia menor o igual a dos.

Se dirá que L es no degenerada si L no tiene divisores absolutos de cero no nulos.

Definición 1.1.4. Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ.

Diremos que L es un álgebra de Lie prima si [I, J] ≠ 0 para todo par de ideales no nulos I, J de L.

Si L es un álgebra de Lie prima y no degenerada, diremos que L es un álgebra de Lie fuertemente prima.

Se tiene la siguiente caracterización para álgebras de Lie fuertemente primas ([33, Theorem 1.6]).

Teorema 1.1.5. Sea L un álgebra de Lie libre de torsión 2 y 3 sobre un anillo de escalares ϕ. Entonces L es fuertemente prima si, y solo si, para todo x, y ∈ L tales que [x, [y, L]] = 0, se tiene que x = 0 o y = 0.

Definición 1.1.6. Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ y sea B un submódulo de L. Diremos que B es un ideal interno abeliano de L si [B, [B, L]] ⊂ B y [B, B] = 0. En ese caso, definimos el núcleo de B como

KerLB={x∈B:[B,[B,x]]=0}.

Observación 1.1.7. Todo elemento b ∈ B es un elemento Jordan de L, ya que

adb3(L)=[b,[b,[b,L]]]⊂[B,B]=0.

Ejemplo 1.1.8. Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ y sea a ∈ L un elemento Jordan. Si L es libre de torsión 3, entonces [a]_L = [a, [a, L]] y (a)_L = [a, [a, L]] + ϕa son ideales internos abelianos de L [14, Lemma 1.8]. Además, si L es no degenerada, por [30, Lemma 3.7]

KerLa=KerL(a)L=KerL[a]L.

Definición 1.1.9. Sea ϕ un anillo de escalares. Un álgebra de Jordan es un ϕ-módulo J junto con dos aplicaciones cuadráticas

U:J⟶Endϕ(J) y ()2:J⟶J

verificando las siguientes identidades en todas las extensiones por escalares de J:

x² o y = U_{x, y}(x),

x o U_x(y) = U_x(x o y),

(x²)² = U_x(x²),

(U_x(y))² = U_xU_y(x²),

Ux2=Ux2,

U_{U_x}(y) = U_xU_yU_x

para todo x, y ∈ J, donde x o y = (x + y)² – x² − y² y U_x,_z (y) = (U_x+z − U_x − U_z)(y) para todo x, y, z ∈ J [51, 1.6].

Observación 1.1.10. Como vamos a trabajar con anillos de escalares ϕ tales que 12 ∈ ϕ, por [42, 1.4] podremos caracterizar un álgebra de Jordan como un ϕ-módulo J dotado con un producto bilineal, que denotaremos por •, satisfaciendo las siguientes condiciones:

x • y = y • x, y

x² • (y • x) = (x² • y) • x

para todo x, y ∈ J, donde x² = x • x.

Además, para cada x ∈ J, se define la aplicación U_x : J → J dada por U_xy = 2x • (x • y) − x² • y para todo y ∈ J.

Ejemplo 1.1.11. Sea R un álgebra asociativa sobre un anillo de escalares ϕ, con 12∈ϕ. Entonces el ϕ-módulo R dotado con el producto x•y=12(xy+yx) para todo x, y ∈ R es un álgebra de Jordan que denotaremos por R⁽⁺⁾. Si R tiene involución *, podemos definir el conjunto de los elementos simétricos de R,

H(R,∗)={x∈R:x∗=x}.

En este caso, se tiene que H(R, *) es un subálgebra de Jordan de R⁽⁺⁾.

Definición 1.1.12. Sea J un álgebra de Jordan sobre un anillo de escalares ϕ. Diremos que J es especial si J es un subálgebra del álgebra de Jordan R⁽⁺⁾ definido por un áigebra asociativa R sobre ϕ. En otro caso, diremos que J es excepcional.

Definición 1.1.13. Sea J un álgebra de Jordan sobre un anillo de escalares ϕ tal que 12 ∈ ϕ.

Un ϕ-submódulo I de J se dirá que es un ideal de J si I • J ⊂ I.

Sean I, K dos ideales de J. Diremos que J es prima si I • K = 0 implica I = 0 o K = 0.

Un elemento x ∈ J se dirá que es un divisor absoluto de cero si U_xJ = 0. Diremos que J es no degenerada si no tiene divisores absolutos de cero no nulos.

Diremos que J es fuertemente prima si J es prima y no degenerada.

En [2, Lemma 1.13] aparece la siguiente caracterización para álgebras de Jordan fuertemente primas.

Teorema 1.1.14. Sea J un álgebra de Jordan sobre un anillo de escalares ϕ. Entonces J es fuertemente prima si, y solo si, para todo x, y ∈ J tales que U_xU_JU_y = 0, se tiene que x = 0 o y = 0.

Teorema 1.1.15. [27, Theorem 2.4] Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ tal que 12,13∈ϕ y sea a ∈ L un elemento Jordan. Entonces L dotado con el producto definido por x•y=12[[x,a],y], para todo x, y ∈ L, es un álgebra no asociativa, denotada por L^(a), tal que:

Ker_La es un ideal de L^(a).

L_a := L^(a)/Ker_La es un álgebra de Jordan, cuyo operador U viene dado por Ux¯y¯=18adx2ada2b¯,

para todo x, y ∈ L, donde x¯ denota la clase de equivalencia de x respecto de Ker_La.

Definición 1.1.16. Sea ϕ un anillo de escalares. Un par de Jordan es un par de ϕ-módulos V = (V⁺, V⁻) junto con dos aplicaciones cuadráticas

Q+:V+⟶Homϕ(V−,V+)

Q−:V−⟶Homϕ(V+,V−)

verificando las siguientes identidades en todas las extensiones por escalares de V:

Dσ(x,y)Qxσ=QxσDσ(y,x),

Dσ(Qxσ(y),y)=Dσ(x,Qy−σ(x)),

QQxσ(y)σ=QxσQy−σQxσ,

para todo x ∈ V^σ y para todo y ∈ V^−σ, con σ = ±, y donde

Dσ:Vσ×V−σ⟶Endϕ(Vσ)

es la aplicación bilineal dada por

Dσ(x,y)(z)=Qx+zσ(y)−Qxσ(y)−Qzσ(y)

para todo x, z ∈ V^σ y para todo y ∈ V^−σ.

Observación 1.1.17. Como vamos a trabajar con anillos de escalares ϕ tales que 12,13∈ϕ, por [51, Proposition 2.2], vamos a poder caracterizar un par de Jordan como aquellos pares de ϕ-módulos V = (V⁺, V⁻) dotados con dos aplicaciones trilineales

{,,}:V+×V−×V+⟶V+,

{,,}:V−×V+×V−⟶V−

tales que {x, y, z} = {z, y, x} y

{x,y,{u,v,z}}−{u,v,{x,y,z}}={{x,y,u},v,z}−{u,{y,x,v},z}

para todo x, z, u ∈ V^σ y para todo y, v ∈ V^−σ, con σ = ±.

Por ello, de ahora en adelante, las definiciones y resultados sobre pares de Jordan las sustituiremos por sus caracterizaciones equivalentes en función del producto triple

{,,}:Vσ×V−σ×Vσ⟶Vσ,

con σ = ±.

Ejemplo 1.1.18. [30, Lemma 3.2 (a)] Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ, con 12,13∈ϕ, y sea B ⊂ L un ideal interno abeliano de L. Asociado a B podemos considerar el subcociente (B, L/Ker_LB), que es un par de Jordan con productos

{b1,x¯,b2}=[[b1,x],b2] y {x¯,b1,y¯}=[[x,b],y]¯

para todo b₁, b₂ ∈ B y para todo x¯,y¯ ∈ L/Ker_LB, donde x¯ = x + Ker_LB, y¯ = y + Ker_LB.

En particular, si a ∈ L es un elemento Jordan, ([a, [a, L]], L/Ker_L[a]_L) y ([a, [a, L]] + ϕa, L/ Ker_L(a)_L) son pares de Jordan.

Observación 1.1.19. Sea V = (V⁺, V⁻) un par de Jordan sobre un anillo de escalares ϕ, con 12,13∈ϕ, y sea a ∈ V^−σ, σ = ±. El ϕ-módulo V^σ tiene estructura de álgebra de Jordan con el producto dado por x•y=12{x,a,y} para todo x, y ∈ V^σ. Esta álgebra de Jordan se denota por V^(a) y se denomina el álgebra a-homótopa de V [51, 1.9].

Si L es un álgebra de Lie no degenerada sobre un anillo de escalares ϕ, con 12,13∈ϕ, y a ∈ L es un elemento Jordan de L, podemos considerar el par de Jordan V = ([a, [a, L]] + ϕa, L/Ker_L(a)_L). Entonces V^(a) coincide con el álgebra de Jordan L_a con el producto x¯•y¯=12[[x,a],y]¯ para todo x, y ∈ L [30, Remark 3.6].

Definición 1.1.20. Sea ϕ un anillo de escalares. Un par asociativo A = (A⁺, A⁻) es un par de ϕ-módulos dotado con dos aplicaciones trilineales

Aσ×A−σ×Aσ⟶Aσ(x,y,z)⟼xyz,

tales que

uv(xyz)=u(vxy)z=(uvx)yz

para todo x, z, u ∈ A^σ y para todo y, v ∈ A^−σ, donde σ = ±.

Ejemplo 1.1.21. Sea ϕ un anillo de escalares y sea R un álgebra asociativa sobre ϕ. Entonces V = (R, R) con producto triple dado por xyz para todo x, y, z ∈ R es un par asociativo.

Ejemplo 1.1.22. Si X e Y son dos ϕ-módulos sobre un anillo de escalares ϕ, entonces el par

V=(Homϕ(X,Y),Homϕ(Y,X))

con el triple producto f₁g₁f₂ y g₁f₁g₂, para todo f₁, f₂ ∈ Hom_ϕ(X, Y) y para todo g₁, g₂ ∈ Hom_ϕ(Y, X), es un par asociativo.

Observación 1.1.23. Si A = (A⁺, A⁻) es un par asociativo sobre un anillo de escalares ϕ, entonces el par (A⁺, A⁻) con producto Qxσ(y)=xyx para todo x ∈ A^σ y para todo y ∈ A^−σ, donde σ = ±, es un par de Jordan que denotaremos por V = (A⁺, A⁻)⁽⁺⁾.

Si 12, 13 ∈ ϕ, en términos del producto triple tenemos que V = (A⁺, A⁻)⁽⁺⁾ es un par de Jordan con productos

{x,y,z}=xyz+zyx y {y,x,t}=yxt+txy

para todo x, z ∈ A^σ y todo y, t ∈ A^−σ, para σ = ±.

Definición 1.1.24. Sea V = (V⁺, V⁻) un par de Jordan sobre un anillo de escalares ϕ, con 12, 13 ∈ ϕ.

Diremos que el par de ϕ-módulos S = (S⁺, S⁻) es un subpar del par de Jordan V = (V⁺, V⁻) si los módulos S^σ son submódulos de V^σ tales que {S^σ, S^−σ, S^σ} ⊂ S^σ, para σ = ±.

Un ideal de V es un par de ϕ-módulos I = (I⁺, I⁻), con I^σ ⊂ V^σ, tales que {Iσ,V−σ,Vσ}+{Vσ,I−σ,Vσ}⊂Iσ,

para σ = ±.

Sea I = (I⁺, I⁻) un ideal del par de Jordan V = (V⁺, V⁻). Definimos el anulador de I como el par de ϕ-módulos AnnV(I)=(AnnV(I)+,AnnV(I)−),

donde Ann_V(I)^σ es el conjunto de todos los elementos x ∈ V^σ tales que {x,I−σ,Vσ}={Iσ,V−σ,x}=0,{I−σ,x,V−σ}=0,

para σ = ±. En este caso, se tiene que Ann_V(I) es un ideal de V.

Dados dos pares de Jordan V = (V⁺, V⁻) y W = (W⁺, W⁻) sobre el mismo anillo de escalares ϕ, un homomorfismo entre V y W es un par de aplicaciones ϕ-lineales, φ = (φ⁺, φ⁻), con φ^σ : V^σ → W^σ, para σ = ±, tales que φσ({x,y,z})={φσ(x),φ−σ(y),φσ(z)} para todo x, z ∈ V^σ y para todo y ∈ V^−σ, σ = ±. Tal y como ocurre en el caso de las álgebras asociativas, se tiene que la imagen de un homomorfismo de pares de Jordan φ : V → W es un subpar de W y el núcleo es un ideal de V.

Diremos que el par V es primo si {I^σ, J^−σ, I^σ} = 0, para σ = ±, implica I = 0 o J = 0 para ideales cualesquiera I, J de V.

Un par de Jordan V es no degenerado si no tiene divisores absolutos de cero no nulos, es decir, si para todo x ∈ V^σ tal que {x, V^−σ, x} = 0, entonces x = 0, donde σ = ±. Diremos que V es fuertemente primo si V es primo y no degenerado.

Por [2, Lemma 1.10] se tiene la siguiente caracterización para pares de Jordan fuertemente primos.

Teorema 1.1.25. Sea V = (V⁺, V⁻) un par de Jordan sobre un anillo de escalares ϕ. Entonces V es fuertemente primo si, y solo si, para todo x, y ∈ V^σ tales que QxσQV−σ−σQyσ=0, se tiene que x = 0 o y = 0 (σ = ±).

Definición 1.1.26. Sea ϕ un anillo de escalares y sea V = (V⁺, V⁻) un par de Jordan. Diremos que V es especial si V es un subpar del par de Jordan (A⁺, A⁻)⁽⁺⁾ para algún par asociativo A = (A⁺, A⁻) sobre ϕ.

Ejemplo 1.1.27. [25] Un ejemplo de par de Jordan especial que será relevante en lo que sigue es

V=(Homϕ(X,Y),Homϕ(Y,X))(+),

donde X e Y son dos ϕ-módulos sobre un anillo de escalares ϕ.

Definición 1.1.28. Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ. Una ℤ-graduación finita es una ℤ-graduación no trivial de L tal que el soporte, supp L = {m ∈ ℤ : L_m ≠ 0}, es finito. En este caso

L=L−n⊕L−(n−1)⊕…⊕L0⊕…⊕Ln−1⊕Ln

para algún entero positivo n ∈ ℤ. Si L_−n + L_n ≠ 0, diremos que esta ℤ-graduación es una (2n + 1)-graduación.

Observación 1.1.29. Si L = L_−n ⊕ . . . ⊕ L_n es un álgebra de Lie (2n + 1)-graduada sobre un anillo de escalares ϕ, con 12,13∈ϕ, entonces V = (L_−n, L_n) es un par de Jordan con productos

{x,y,z}=[[x,y],z] y {y,x,t}=[[y,x],t]

para todo x, z ∈ L_−n y para todo y, t ∈ L_n [62, p. 351]. A este par de Jordan se le denomina par de Jordan asociado a L.

Definición 1.1.30. Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ. Una ℤ-filtración {Fi}i∈ℤ es una cadena de submódulos de L

…⊂F−2⊂F−1⊂F0⊂F1⊂F2⊂…

tal que [Fi,Fj]⊂Fi+j para todo i, j ∈ ℤ. Diremos que esta filtración es acotada si existen n, m ∈ ℤ, con n < m, tales que Fi=0 para todo i ≤ n y Fj=L para todo j ≥ m.

Observación 1.1.31. Si {Fi}i∈ℤ es una ℤ-filtración de un álgebra de Lie L sobre ϕ, podemos considerar el ϕ-módulo

L^=…⊕Fi−1/Fi−2⏟Li−1⊕Fi/Fi−1⏟Li⊕Fi+1/Fi⏟Li+1⊕…

con el producto [x¯,y¯]=[x,y]¯∈Fi+j/Fi+j−1 para todo x¯=x+Fi−1 ∈ Fi/Fi−1 y para todo y¯=y+Fj−1∈Fj/Fj−1. De esta forma, tenemos que L̂ tiene estructura de álgebra de Lie ℤ-graduada sobre ϕ, y se le llama álgebra de Lie ℤ-graduada inducida por la ℤ-filtración {Fi}i∈ℤ.

Ejemplo 1.1.32. [35, Theorem 1.2] Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ, con 12,13∈ϕ. Sea a ∈ L un elemento Jordan y consideremos los conjuntos

Gi=0,i≤−3,G−2=[a,[a,L]]+ϕa,G−1=[a,KerLa]+ϕa,G0={x∈L:[x,a]∈[a,[a,L]]},G1=KerLa,Gj=L,j≥2.

Así, tenemos que Gii∈ℤ es una ℤ-filtración acotada de L. A esta filtración se le denomina filtración principal de L definida por a.

1.2. <bold>Centroide extendido y clausura central</bold>

En esta sección trabajaremos con anillos no necesariamente unitarios. Nos referiremos a [9, Chapter 2] y a [25] para la definición y propiedades sobre el centroide extendido de un anillo semiprimo.

Definición 1.2.1. Un anillo R se dirá que es semiprimo si 1² ≠ 0 para todo ideal no nulo I de R. Diremos que R es primo si IJ ≠ 0 para todo par de ideales no nulos I, J de R.

Observación 1.2.2. Se tiene que R es semiprimo si, y solo si, aRa ≠ 0 para todo elemento no nulo a ∈ R. Análogamente, R es primo si, y solo si, aRb ≠ 0 para todo a, b ∈ R, con a, b ≠ 0.

Definición 1.2.3. Sea R un anillo y sea I un ideal de R.

Si R tiene involución *, se dirá que I es un *-ideal de R si y* ∈ I para todo y ∈ I.

Diremos que R es *-primo si IJ ≠ 0 para todo par de *-ideales no nulos I, J de R.

Se dirá que I es un ideal primo de R si R/I es primo.

Si R tiene involución *, se dirá que un *-ideal I de R es *-primo si R/I es *-primo.

Observación 1.2.4. Si R es un anillo semiprimo, por [53] y [16] , se tiene que existe una familia de ideales primos, {I_α}_α∈Δ, tal que ∩α∈ΔIα=0 y, por tanto, R puede verse como producto subdirecto de anillos primos.

Análogamente, si R es un anillo semiprimo con involución *, entonces existe una familia de *-ideales *-primos, {I_α}_α∈Δ, tal que ∩α∈ΔIα=0 y, por tanto, R puede verse como producto subdirecto de anillos *-primos.

Definición 1.2.5. Sea R un anillo y sea I un ideal de R.

Diremos que I es un ideal esencial de R si I ⋂ J ≠ 0 para todo ideal J no nulo de R.

Si R tiene involucion * e I es un *-ideal de R tal que I ⋂ J ≠ 0 para todo *-ideal no nulo J de R, diremos que I es un *-ideal esencial.

Definición 1.2.6. Sea R un anillo semiprimo y denotemos por ɛ al conjunto de los ideales esenciales de R. Si I, J ≠ ɛ, entonces I ∩ J, I J ≠ ɛ. Consideremos el conjunto

(f,I):I∈ɛ y f:IR⟶RR,

donde por f : I_R → R_R entendemos que f es un homomorfismo de R-módulos por la derecha. Diremos que los pares (f, I) y (g, J) están relacionados, y lo denotaremos por (f, I) ~ (g, J), si existe un ideal esencial K ⊂ I ∩ J tal que f(x) = g(x) para todo x ∈ K. De esta forma, se tiene que ~ es una relación de equivalencia. Por [f, I] denotaremos a la clase de equivalencia de (f, I).

En estas circunstancias, el conjunto de las clases de equivalencia anterior con las operaciones

[f,I]+[g,J]=[f+g,I∩J],[f,I]⋅[g,J]=fg,(I∩J)2

tiene estructura de anillo unitario [9, Chapter 2]. A este anillo unitario se le denomina el anillo de cocientes de Martindale por la derecha de R, y se denota por Qmr(R).

Observación 1.2.7. Nótese que si R es un anillo semiprimo, entonces la aplicación φ:R⟶Qmr(R), definida por φ(r) = [λ_r, R] para todo r ∈ R, donde λ_r : R → R viene dado por λ_r (x) = rx para todo x ∈ R, es un monomorfismo de anillos, es decir, R puede considerarse subanillo de su anillo de cocientes de Martindale por la derecha. Además, dado cualquier 0≠q=[f,I]∈Qmr(R), se tiene que 0 ≠ qI ⊂ R, con lo que todo subanillo S de Qmr(R) que contenga a R es semiprimo (primo, si R es un anillo primo), ya que todo ideal no nulo de S tiene intersección no nula con R.

Definición 1.2.8. Sea R un anillo semiprimo y sea Qmr(R) su anillo de cocientes de Martindale por la derecha. Se define el anillo simétrico de cocientes de Martindale de R como el conjunto

Qms(R)=q∈Qmr(R):∃ un ideal esencial J de R tal que qJ+Jq⊂R.

Observación 1.2.9. Como R es un anillo semiprimo, entonces Qms(R) es un anillo semiprimo, ya que Qms(R) es un subanillo de Qmr(R) que contiene a R.

Observación 1.2.10. Si R es un anillo semiprimo con involución*, podemos reemplazar el conjunto de ideales esenciales por el conjunto de *-ideales esenciales en la definición del anillo simétrico de cocientes de Martindale. Esta involución puede extenderse de forma única a Qms(R) de la siguiente manera: sea q=[f,I]∈Qms(R), donde I en un *-ideal esencial de R y f : I_R → R_R es un homomorfismo de R-módulos por la derecha. Entonces q* = [g, I], donde g(y) := (f (y*))* para todo y ∈ I ([8, p. 858-859]).

Definición 1.2.11. Sea R un anillo semiprimo y sea Qms(R) su anillo simétrico de cocientes de Martindale. Se define el centroide extendido de R, y se denota por C(R), como el centro de Qms(R).

Definición 1.2.12. Sea R un anillo y sea a ∈ R. Se dirá que a es regular von Neumann si existe b ∈ R tal que aba = a. Si todo elemento de R es regular von Neumann, diremos que R es regular von Neumann.

Teorema 1.2.13. Sea R un anillo semiprimo. Entonces C(R) es un anillo asociativo, conmutativo y regular von Neuman ([9, Theorem 2.3.9 (iii)]). En particular, C(R) no tiene elementos nilpotentes. Además, si R es primo, entonces C(R) es un cuerpo ([9, p. 70]).

Definición 1.2.14. Sea R un anillo primo con involución *. Diremos que * es de primera especie si la involución inducida en C(R) es la identidad. En otro caso, diremos que * es de segunda especie.

Definición 1.2.15. Sea R un anillo semiprimo. Se define la clausura central de R como R̂ = C(R) + C(R)R. Diremos que R es centralmente cerrado si R coincide con su clausura central.

Observación 1.2.16. R puede verse como subanillo de R^. Así, como R^ es un subanillo de Qms(R) que contiene a R, entonces R^ es semiprimo.

Por otra parte, cuando R tiene involución *, podemos extender esta involución a R^, ya que * puede extenderse a Qms(R) y posteriormente restringirse de Qms(R) a C(R)=Z(Qms(R)). Además, si R es un anillo primo centralmente cerrado y libre de torsión 2 con involución * de segunda especie, entonces existe 0 ≠ λ ∈ Skew(C(R), *), con lo que λ² ≠ 0 tiene inverso en H(C(R), *) y, por tanto,

R=H(R,∗)⊕Skew(R,∗)=λ2H(R,∗)⊕Skew(R,∗)⊂λSkew(R,∗)⊕Skew(R,∗)⊂R

con lo que R = λSkew(R, *) ⊕ Skew(R, *).

En el caso en el que R sea *-primo pero no primo, siempre existe 0 ≠ λ ∈ Skew(C(R), *) tal que R = λSkew (R, *)⊕ Skew (R, *) ya que, en este caso, existe un ideal no nulo I de R tal que I ∩ I* ≠ 0, por lo que podemos definir un elemento antisimétrico no nulo λ : I ⊕ I* → R en C(R) dado por λ(x + y) = x – y para todo x ∈ I y todo y ∈ I * (ver [21, §2.4]).

Aunque hemos trabajado con anillos, los conceptos de centroide extendido y clausura central tienen análogos en álgebras asociativas. Supongamos que R es un álgebra asociativa semiprima sobre un anillo de escalares ϕ. De manera análoga, podemos definir el álgebra de cocientes de Martindale por la derecha de R, y se denota por Qmr(R), y el álgebra simétrica de cocientes de Martindale de R, Qms(R). El centroide extendido de R es C(R)=Z(Qms(R)) y la clausura central de R es R^=C(R)+C(R)R. Diremos que el álgebra R es centralmente cerrada si R coincide con R^ (ver [25, p. 15], [32] y [55]).

1.3. <bold>Algunos conceptos en anillos</bold>

Trataremos con anillos R no necesariamente unitarios R. Si R no tiene unidad, por expresiones del tipo (1 − x)y, para x, y ∈ R, entenderemos y − xy ∈ R. Usaremos como referencia el libro de K. R. Goodearl [39].

Recordemos que un elemento a en un anillo R se dirá que es regular von Neumann si existe b ∈ R tal que aba = a. Además, si todo elemento de R es regular von Neumann, diremos que R es regular von Neumann.

Definición 1.3.1. Sea R un anillo y sea a ∈ R. Si R tiene unidad, diremos que a es unit-regular si existe b ∈ R invertible tal que aba = a.

Definición 1.3.2. Sea R un anillo y sea a ∈ R.

Diremos que a es nilpotente si existe m ∈ ℕ tal que a^m = 0.

Si es a nilpotente, se dirá que el índice de nilpotcncia de a es n si aⁿ = 0 y aⁿ⁻¹ ≠ 0. En particular, 0 es nilpotente de índice 1.

Diremos que a es nilpotente de índice maximal si a es nilpotente de índice n y R no tiene elementos nilpotentes de índice mayor que n.

Definición 1.3.3. Sea R un anillo y sean e, f ∈ R.

Diremos que e es idempotente si e² = e.

Si e y f son dos idempotentes tales que ef = fe = 0, se dirá que e y f son idempotentes ortogonales.

Definición 1.3.4. Diremos que un anillo R es regular abeliano si R es regular von Neumann y todo idempotente es central, es decir, si todo idempotente de R está contenido en Z(R), el centro de R.

Observación 1.3.5. Por [39, Theorem 3.2], se tiene que un anillo regular von Neumann R es regular abeliano si, y solo si, R no tiene elementos nilpotentes no nulos.

Definición 1.3.6. Sea R un anillo no necesariamente unitario y sean I, J dos ideales de R. Diremos que R es indescomponible (como anillo) si R = I ⊕ J implica I = 0 y J = R, o bien I = R y J = 0.

Observación 1.3.7. Si R es un anillo indescomponible, entonces los únicos idempotentes centrales son 0 y 1.

En efecto, si R es indescomponible y e ∈ Z(R) es un idempotente de R, entonces R = eR ⊕ (1 − e)R, donde eR y (1 − e)R son ideales de R. Por lo tanto, o eR = 0 y (1 − e)R = R, o bien eR = R y (1 − e)R = 0. En cualquier caso, se tiene que e = 0 o e = 1.

URJC

CAPÍTULO 2 <target target-type="page" id="pges_39"/>FILTRACIÓN ASOCIADA A UN IDEAL INTERNO ABELIANO

Sea L un álgebra de Lie y sea B un ideal interno abeliano de L. En este capítulo vamos a demostrar que, cuando existe n ∈ ℕ tal que [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B, el ideal interno abeliano B induce una filtración acotada en L donde B es el primer submódulo no nulo de la filtración. Además, el par de Jordan asociado al álgebra de Lie ℤ-graduada inducida por esta filtración coincide con el subcociente determinado por B. Esta filtración extiende a la filtración principal inducida por un elemento ad-nilpotente de índice menor o igual que tres definida en [35]. El contenido de este capítulo está recogido en el artículo [37], el cual se encuentra enviado para su publicación.

2.1. <bold>La condición [<italic>B</italic>, Ker<italic>L</italic><italic>B</italic>]<italic>n</italic> ⊂ <italic>B</italic></bold>

Veamos en primer lugar que la condición [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B se verifica en las álgebras de Lie más usuales.

La siguiente proposición pertenece al artículo publicado [36]. Por el contexto de la sección se ha decidido poner en este capítulo.

Proposición 2.1.1. Sea R un álgebra asociativa prima centralmente cerrada sobre un anillo de escalares ϕ, tal que 12, 13 ∈ ϕ, y sea B un ideal interno abeliano de R⁻. Entonces se verifica:

Para todo b ∈ B, existe un único λ_b ∈ C(R) tal que (b – λ_b)² = 0.

B′ := {b – λ_b : b ∈ B} es un ideal interno abeliano de R⁽⁻⁾ tal que B′ B′ = 0 y B′(Ker_R⁽⁻⁾B)B′ = 0.

B* := B+B′RB′ es un ideal interno abeliano de R⁽⁻⁾ tal que Ker_R⁽⁻⁾ B* coincide con Ker_R(−)B.

[[B*, Ker_R⁽⁻⁾ B], [B*, Ker_R⁽⁻⁾ B] ⊂ B*, con lo que tanto [B*, Ker_R⁽⁻⁾ B] como [B, Ker_R⁽⁻⁾ B] son nilpotentes de índice menor o igual que 3.

Demostración.

Por [19, Theorem 3.2] para todo b ∈ B, existe un único λ_b ∈ C(R) tal que (b − λ_b)² = 0.

Para cualquier b ∈ B, consideramos b′ = b − λ_b, donde λ_b es el único elemento de C(R) dado en el punto anterior. Veamos primero que B′ B′ = 0. Para todo b, c ∈ B y todo x ∈ R, tenemos que [b′,c′]=[b−λb,c−λc]=[b,c]−[b,λc]−[λb,c]+[λb,λc]=[b,c], con lo que 0=[b,c]=[b′,c′]=b′c′−c′b′ y 0=[c,[b,[b,x]]]=[c′,[b′,[b′,x]]]=−2[c′,b′xb′]=−2(c′b′xb′−b′xb′c′). Luego, por [19, Corollary 2.14], existe λ₁ ∈ C(R) tal que c′b′ = λ₁ b′. Análogamente, existe λ₂ ∈ C(R) tal que b′c′ = λ₂c′. Por lo tanto, 0=λ1b′b′=b′λ1b′=b′c′b′=λ2c′b′ y, como C(R) es un cuerpo. entonces b′c′ = c′b′ = 0.

B′ es un submódulo de R, ya que para todo b, c ∈ B, se tiene que (b+c−λb−λc)2=(b′+c′)2=b′2+b′c′+c′b′+c′2=b′2+2b′c′+c′2=0, con lo que b′ + c′ = (b + c)′ ∈ B′ . Veamos entonces que [B′, [B′, R⁻]] ⊂ B′. Por una parte, tenemos que b′,c′,x=b−λb,c−λc,x=[b,[c,x]]−λb,[c,x]−b,λc,x+λb,λc,x=[b,[c,x]]∈B para todo b, c ∈ B y para todo x ∈ R. Además, como [b′,[c′,x]]=b′c′x−b′xc′−c′xb′+xb′c′ y B′B′ = 0, entonces [b′, [c′,x]]² = 0, con lo que [b′, [c′, x]] ∈ B′. Por último, si z ∈ Ker_R⁽⁻⁾ B, 0=[b,[c,z]]=[b′,[c′,z]]=−b′zc′−c′zb′, con lo que b′zc′=−c′zb′ y, por tanto, 0=−12[c,[[b,[b,x]],z]]=−12[c′,[[b′,[b′,x]],z]]=[c′,[b′xb′,z]]=−b′xb′zc′−c′zb′xb′=b′xc′zb′+b′zc′xb′. Aplicando de nuevo [19, Corollary 2.14], existe μ₁ ∈ C(R) tal que b′zc′ = μ₁b′. Intercambiando los papeles de b′ y c′ en el argumento anterior, obtenemos que existe μ₂ ∈ C(R) tal que c′zb′ = μ₂c′, con lo que μ1b′=b′zc′=−c′zb′=−μ2c′. Si b′ y c′ son linealmente independientes sobre C(R), entonces b′zc′ = 0.

Si por el contrario existe α ∈ C(R) tal que c′ = αb′, entonces 0=α[b,[b,z]]=α[b′,[b′,z]]=α(−2b′zb′)=−2(αb′)zb′=−2c′zb′=2b′zc′, obteniendo de nuevo que b′zc′ = 0, con lo que B′(Ker_R⁽⁻⁾B)B′ = 0.

Para todo b, c ∈ B, b1′, b2′, c1′, c2′. ∈ B′ y x, y, u ∈ R tenemos que [b+b1′xb2′,[c+c1′yc2′,u]]=[b′+b1′xb2′,[c′+c1′yc2′,u]]=−(c′+c1′yc2′)u(b′+b1′xb2′)−(b′+b1′xb2′)u(c′+c1′yc2′)∈B′RB′, lo que implica que B* es un ideal interno abeliano de R⁻.

Ahora, si z ∈ Ker_R⁽⁻⁾B, para todo b, c ∈ B, b1′, b2′, c1′, c2′ ∈ B′, x, y ∈ R, tenemos que b+b1′xb2′,c+c1′yc2′,z=b′+b1′xb2′,c′+c1′yc2′,z=0 ya que B′(Ker_R⁽⁻⁾B)B′ = 0 y, por tanto, Ker_R⁽⁻⁾B ⊂ Ker_R⁽⁻⁾B*. La contención Ker_R⁽⁻⁾B* ⊂ Ker_R⁽⁻⁾B es trivial, ya que B ⊂ B*.

Como Ker_R⁽⁻⁾B = Ker_R⁽⁻⁾B^*, entonces B∗,KerR(−)B,B∗,KerR(−)B=B∗,KerR(−)B,B∗,KerR(−)B. Sean b, c ∈ B^* y u, v ∈ Ker_R⁽⁻⁾B. Por 1, para todo b ∈ B^* existe λ_b ∈ C(R) tal que b−λ_b ∈ B′+B′RB′. Para todo b ∈ B^*, denotaremos por b′ al elemento b − λ_b ∈ B′ + B′RB′. Entonces

Como B′B′ = 0 y B′(Ker_R⁽⁻⁾B)B′ = 0, tenemos que [[b,u],[c,u]]=b′,u,c′,u=b′uc′u−b′u2c′−ub′c′u+ub′uc′−c′ub′u+c′u2b′+uc′b′u−uc′ub′=b′(−u2)c′+c′u2b′∈B∗.

2[[b, u], [b, v]] = [b, [b, [u, v]]] ∈ B^*.

Como 2([[b,u],[c,v]]+[[c,u],[b,v]])=[b+c,[b+c,[u,v]]]−2[b,[b,[u,v]]]−2[c,[c,[u,v]]]∈B∗ por b), entonces [[b,u],[c,v]]−[[b,v],[c,u]]=[[b,u],[c,v]]+[[c,u],[b,v]]∈B∗.

Usando a), tenemos que [[b,u],[c,v]]+[[b,v],[c,u]]=[[b,u+v],[c,u+v]]−[[b,u],[c,u]]−[[b,v],[c,v]]∈B∗,

Como [[b,u],[c,v]]−[[b,v],[c,u]]∈B∗ y [[b,u],[c,v]]+[[b,v],[c,u]]∈B∗, entonces [[b, u], [c, v]] ∈ B^*, es decir, B∗,KerR(−)B,B∗,KerR(−)B⊂B∗. Luego B∗,KerR(−)B,B∗,KerR(−)B,B∗,KerR(−)B⊂B∗,KerR(−)B,B∗=0 y, por tanto B,KerR(−)B,B,KerR(−)B,B,KerR(−)B⊂B∗,KerR(−)B,B∗=0 ya que [B, Ker_R⁽⁻⁾B] ⊂ [B^*, Ker_R⁽⁻⁾B].

Observación 2.1.2. Acabamos de ver que en un álgebra asociativa prima R, centralmente cerrada y sobre un anillo de escalares ϕ, con 12,13∈ϕ, [B, Ker_R⁽⁻⁾B] es nilpotente de índice menor o igual que 3 para todo ideal interno abeliano B de R⁽⁻⁾. Podemos extender este resultado a álgebras asociativas semiprimas. De hecho, dado un ideal interno abeliano B de un álgebra asociativa semiprima R, como R es un producto subdirecto de álgebras asociativas primas R_i, B se descompone en un producto subdirecto de ideales internos abelianos B_i de R_i. Para cada i, consideremos la clausura central R^i, y extendamos B_i a un ideal interno abeliano B^i=C(Ri)Bi de R^i. Así, tenemos que B^i,KerR^(−)B^i es nilpotente del índice menor o igual que 3 para cada i y, por tanto, B,KerR(−)B es nilpotente de índice menor o igual que 3. Luego, se tiene entonces que

B,KerR(−)B,B,KerR(−)B,B,KerR(−)B=0.

Corolario 2.1.3. Sea R un álgebra asociativa semiprima sobre un anillo de escalares ϕ, con 12,13∈ϕ, y sea B un ideal interno abeliano de R⁽⁻⁾. Entonces [B, Ker_R⁽⁻⁾B] es una subálgebra nilpotente de R⁽⁻⁾ de índice menor o igual que 3.

Veamos ahora qué ocurre si R es un álgebra asociativa con involución ∗.

Proposición 2.1.4. Sea R un álgebra asociativa centralmente cerrada, con involución ∗, sobre un anillo de escalares ϕ tal que 12,13,15∈ϕ. Supongamos que R es *-prima. Sea L = Skew(R, *) y sea B un ideal interno abeliano de L. Entonces [B, Ker_LB] es una subálgebra de L nilpotente de índice n, donde n depende de las siguientes condiciones:

Si R es *-prima pero no es prima, o R es prima y * es de segunda especie, entonces n ≤ 3.

Si R es prima y * es de primera especie, entonces n ≤ 4. En particular, si [L, L] = 0, entonces n = 1. En otro caso, b³ = 0 para todo b ∈ B y

o bien existe b ∈ B tal que b³ = 0, pero b² ≠ 0. En este caso n = 2 y L admite una 3-graduación L = L₋₁ ⊕ L₀ ⊕ L₁, con B = L₋₁ y Ker_LB = L₋₁ ⊕ L₀,

o bien B² = 0 y n ≤ 4. Si, además, B(Ker_LB)B = 0, entonces n ≤ 3.

Demostración.

Si R es *-prima pero no prima o si es prima y la involución * es de segunda especie, existe un elemento antisimétrico no nulo λ ∈ C(R) tal que R = Skew(R, *) ⊕ λSkew(R, *). En este caso se tiene que B^=B+λB es un ideal interno abeliano de R(−)yKerR(−)B^=KerLB+λKerLB. Por el teorema anterior, tenemos que B^,KerR(−)B^ es nilpotente de índice menor o igual que 3, con lo que [B, Ker_LB] es nilpotente de índice menor o igual que 3 por el punto 4 de la Proposicion 2.1.1.

Si la involución es de primera especie y [L, L] = 0, entonces es obvio que [B, Ker_LB] = 0. Si [L, L] ≠ 0 entonces, por [17, Proposition 6.2], b³ = 0 para todo b ∈ B.

Si existe b ∈ B tal que b² ≠ 0, entonces B es un ideal interno Clifford de L. Veamos que L es un álgebra de Lie 3-graduada con L₋₁ = B. Por [18, Definition 3.1], b es un elemento Clifford de R, b² es regular von Neumann de R por [18] y existe d ∈ H(R, *) tal que d² = 0, b²db² = b² y db²d = d. Así, se tiene que e = db² es un *-idempotente ortogonal, es decir, e² = e y ee* = 0 = e*e (ver [18]) y, por [18, Proposition 3.5], e induce una 3-graduación en L con L−1=κ((1−e)Le)L0=κ(eRe)+(1−e−e∗)L(1−e−e∗)yL1=κ(eL(1−e)), donde κ(x) = x − x^* para todo x ∈ R. Por [18, Proposition 3.6(4)] b ∈ κ((1 − e)Le) = L₋₁. Por otra parte, el ideal interno abeliano contiene a b, ya que b,[b,−(bd+db)]=−[b,b2d+bdb−bdb−db2]=−(b3d−bdb2−b2db+db3)=bdb2+b2db=b por [18, Proposition 3.6(3)]. Aplicando [17, Proposition 6.2], [b, [b, L]] es un ideal interno Clifford y un ideal interno abeliano maximal de L por [17, Proposition 5.1(b)]. Luego [b, [b, L]] = B = L₋₁ y, por tanto, [B, Ker_LB] es nilpotente con índice n menor o igual que 2. Nótese que n ≠ 1 ya que, en ese caso, B=[b,[b,L]]⊂[b,KerLB]=0. Luego Ker_LB = L₋₁ ⨁ L₀ y [B, Ker_LB] es nilpotente con índice n = 2.

Si b² = 0 para todo b ∈ B entonces, para todo b₁, b₂ ∈ B, 0=(b1+b2)2=b12+b22+b1b2+b2b1=b12+b22+2b1b2=2b1b2 ya que 0 = [b₁, b₂] = b₁b₂ – b₂b₁. Luego (1)B2=0. Por otra parte, para todo z ∈ Ker_LB, 0=[b1,[b2,z]]=−b1zb2−b2zb1, es decir, (2)b1zb2=−b2zb1. En particular, (3)bzb=0 para todo b ∈ B y para todo z ∈ Ker_LB.

Veamos ahora que (b₁z₁b₂z₂b₃)R(b₁z₁b₂z₂b₃) = 0 para todo b₁, b₂, b₃ ∈ B y todo z₁, z₂ ∈ Ker_LB. Para todo x ∈ R tenemos que (b1z1b2z2b3)x(b1z1b2z2b3)=b3z1b1z2b2xb1z1b2z2b3= b3z1b1x*b2z2b1z1b2z2b3+b3z1b1(z2b2x−x*b2z2)b1z1b2z2b3=(⋆)0−12b3z1[b1,[b1,z2b2x−x*b2z2]]z1b2z2b3=−12b3z1[b1,[b1,z2b2x−(z2b2x)*]]z1b2z2b3= (**) 0,

donde (*) es por ser b₂z₂b₁z₁b₂ = 0 por (2) y (3) y (**) ocurre porque [b₁, [b₁, z₂b₂x − (z₂b₂x)*]] ∈ B, con lo que podemos aplicar (2) y (3). Como (b₁z₁b₂z₂b₃)x(b₁z₁b₂z₂b₃) = 0 para todo x ∈ R y R es prima, entonces

(4)b1z1b2z2b3=0.

Queremos ver que [B, Ker_LB]⁴ = 0. Co mo L es no degenerada por [11, Theorem 2.10] y [34, Proposition 4.6], es suficiente con ver que para todo b₁, b₂, b₃, b₄ ∈ B y todo z₁, z₂, z₃, z₄ ∈ Ker_LB se tiene que

a:=b1,z1,b2,z2,b3,z3,b4,z4

es un divisor absoluto de cero de L, es decir, [a, [a, L]] = 0.

Para todo u ∈ L se tiene que [a, [a, u]] es una suma de monomios de la forma

(5)[Bi,Zi][Bj,Zj][Bk,Zk][Bl,Zl][Bm,Zm][Bn,Zn][Bo,Zo][Bp,Zp](u),

con i, j, k, l, m, n, o ∈ {1, 2, 3, 4}, donde las letras mayúsculas denotan aplicaciones adjuntas, es decir, X = ad_x para todo x ∈ R. Como [B_p, Z_p](u) = z′ ∈ Ker_LB, podemos reducir la expresión de cada monomio en (5) por monomios de la forma

(6)Bi,ZiBj,ZjBk,ZkBl,ZlBm,ZmBn,ZnBo,Zo(z′).

Expandamos estos corchetes y expresemos (6) como una suma de monomios asociativos. Si dos o más elementos de B aparecen juntos, el monomio es cero por (1). Estudiemos el resto de monomios asociativos por separado y demostremos que todos son cero.

El monomio empieza y acaba en elementos de Ker_LB zj1bi1zj2bi2⋯bi7zj8. Este monomio contiene una subcadena de la forma bi1zi1bi2zi2bi3 y esto es cero por (4).

La cadena comienza con un elemento de B y termina con un elemento de Ker_LB (o viceversa, la cadena comienza con un elemento de Ker_LB y termina con un elemento de B). Entonces dos elementos de Ker_LB deben aparecer juntos en la cadena: bi1zj1⋯bikzjkzjk+1bik+1⋯bi7zj8(0zj1⋯bikzjkzjk+1bik+1⋯zj8bi7) Esto significa que en ambos lados de los dos elementos zjkzjk+1 de Ker_LB aparecen subcadenas de la forma bi1zi1bi2zi2bi3, con lo que el monomio es cero por (4).

La cadena comienza y termina con elementos de B. Tenemos entonces dos posibilidades:

Tres elementos de Ker_LB aparecen juntos: bi1zj1⋯bikzjkzjk+1zjk+2bik+1⋯zj8bi7 De nuevo, en ambos lados de los tres elementos de Ker_LB que están juntos, aparecen subcadenas de la forma bi1zi1bi2zi2bi3, por lo que el monomio es cero por (4).

Dos pares de elementos de Ker_LB aparecen juntos: bi1zj1⋯bikzjkzjk+1bik+1⋯birzjrzjr+1bir+1⋯zj8bi7 Entonces, una de las subcadenas de antes, entre o después de los dos pares de elementos de Ker_LB es de la forma bi1zi1bi2zi2bi3, y de nuevo el monomio es cero por (4).

Hemos demostrado que todos los posibles monomios en la expansión asociativa de [a, [a, u]] son cero para cada u ∈ L y, por tanto, a = 0. Luego, [B, Ker_LB] es nilpotente de índice menor o igual a 4.

Por último, supongamos que B(Ker_LB)B = 0 y veamos entonces que [B, Ker_LB]ⁿ = 0 con n ≤ 3. Consideremos B^:=B+BRB, entonces B^ es un ideal interno abeliano de R⁽⁻⁾, ya que

[B^,[B^,R]]=[B+BRB,[B+BRB,R]]=[B+BRB,BR−RB+BRBR−RBRB]⊂BRB⊂B^.

Además, como B(Ker_LB)B = 0, entonces

B^,B^,KerLB=B+BRB,B+BRB,KerLB=B+BRB,B(KerLB)−(KerLB)B+BRB(KerLB)−(KerLB)BRB=0,

con lo que KerLB=KerR(−)B^∩L. Aplicando el punto 4 de la Proposicion 2.1.1, B^,KerR(−)B^ es nilpotente de índice menor o igual que 3 y, por lo tanto, [B, Ker_LB] es también nilpotente de índice menor o igual que 3.

Observación 2.1.5. Como toda álgebra asociativa semiprima R con involución * es producto subdirecto de álgebras asociativas *-primas R_i, dado un ideal interno abeliano B de L = Skew(R, ^*) podemos considerar las proyecciones B_i de B sobre L_i = Skew(R_i, ^*). Sea R^i la clausura central de cada R_i y sea B^i=H(C(Ri),∗)Bi el ideal interno abeliano generado por B_i en L^i=Skew(R^i,∗). Por el teorema anterior, B^i,KerL^iB^i es nilpotente del índice menor o igual a 4, con lo que [B_i, Ker_{L_i} B_i] es nilpotente de índice menor o igual a 4 para cada i. Luego, [B, Ker_LB] es nilpotente del índice menor o igual que 4. Así, tenemos entonces que

B,KerLB,B,KerLB,B,KerLB,B,KerLB=0.

Corolario 2.1.6. Sea R un álgebra asociativa semiprima con involución * sobre un anillo de escalares ϕ, con 12,13,15∈ϕ. Sea L = Skew (R, *) y sea B un ideal interno abeliano de L. Entonces [B, Ker_LB] es una subálgebra nilpotente de L de índice menor o igual que 4.

Observación 2.1.7. Sea L un álgebra de Lie no degenerada sobre un anillo de escalares ϕ, con 12,13,15∈ϕ. Entonces, para cada ideal interno abeliano no nulo B de longitud finita de L (es decir, toda cadena de ideales internos propios de L contenidos en B es acotada), existe una ℤ-graduación finita L = L_−n ⊕ … ⊕ L₀ ⊕ … ⊕ L_n tal que B = L_n (esto siempre ocurre, por ejemplo, cuando L es no degenerada y de dimensión finita), [30, Corollary 6.2]. Con respecto a esta graduación, Ker_LB = L_−(n−1) ⊕ … ⊕ L₀ ⊕ … ⊕ L_n, con lo que [B, Ker_LB] ⊂ L_i ⊕ … ⊕ L_n y, por tanto, [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B.

Observación 2.1.8. Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ, con 12,13∈ϕ. Para cualquier ideal interno abeliano B de L, se tiene que [B, Ker_LB] es localmente nilpotente. De hecho, para todo b₀, . . . , b_i, . . . , b_j, . . . , b_s ∈ B y todo k₀, . . . , k_s ∈ Ker_LB, con 1 < i < j y b_i = b_j, tenemos que

adbi,ki…adbi,kj…adbs,ksb0,k0∈bi,KerLbi,bi,KerLbi⊂bi,bi,L⊂B,

aplicando la filtración principal de L definida por b_i [35], ya que [B, Ker_LB] ⊂ 𝒢₀ y [b_i, Ker_LB] ⊂ 𝒢₋₁. Por lo tanto,

adb1,k1adbi,ki⋯adbi,kj⋯adbs,ks(b0,k0)=0.

Toda subálgebra de [B, Ker_LB] finitamente generada está contenida en una subálgebra generada por algún conjunto finito de la forma

b1,k1,…,bs,ks.

En cada una de estas subálgebras finitamente generadas, todo producto

adbi1,ki1⋯adbit,kit(bi0,ki0)

para bi0,…,bit∈{b1,…,bs} y ki0,…,kit∈{k1,…,ks}, con t≥s+2, debe ser cero porque habrá al menos un elemento repetido entre b_i₂, ... ,b_{i_t} y, según la fórmula anterior, este producto es cero.

Hemos demostrado que cuando B es un ideal interno abeliano de un álgebra asociativa semiprima R (ver Corolario 2.1.3), cuando B es un ideal interno abeliano de los elementos antisimétricos de un álgebra asociativa semiprima con involución (ver Corolario 2.1.6), o cuando B es un ideal interno abeliano de longitud finita de un álgebra de Lie no degenerada (ver Observación 2.1.7), la condición [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B siempre se verifica para un cierto n ∈ ℕ. Esto justifica la siguiente conjetura.

Conjetura 2.1.9. Sea L un álgebra de Lie no degenerada (quizás fuertemente prima o simple) sobre un anillo de escalares ϕ, con 12,13,15∈ϕ, y sea B un ideal interno abeliano de L. Entonces existe n ∈ ℕ tal que [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B.

2.2. <bold>Filtración asociada a un ideal interno abeliano</bold>

En esta sección construiremos una filtración asociada a un ideal interno abeliano. Si B es un ideal interno abeliano de un álgebra de Lie L tal que [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B para algún n ∈ ℕ, vamos a demostrar que B induce una filtración acotada de L empezando en B y cuyo penúltimo submódulo coincide con Ker_LB.

Teorema 2.2.1. Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ tal que 12,13∈ϕ. Sea B un ideal interno abeliano de L y supongamos que existe n ∈ ℕ tal que [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B. Entonces la cadena, de submódulos de L

…⊂F−n⊂F−n+1⊂…⊂F0⊂…⊂Fn−1⊂Fn⊂…

donde F−m:={0} y Fm:=L para todo m > n y

F−n:=B ⋮F−k:=B,KerLBk+B, para k=1,…,n−1 ⋮F0:={x∈L:[x,B]⊂B} ⋮Fs:=adB,KerLBn−s−1(KerLB)+F0, para s=1,…,n−1 ⋮Fn:=L

es una ℤ-filtración acotada de L. Además, el álgebra de Lie ℤ-graduada inducida

L^=F−n⏟L^−n⊕⋯⊕Fn/Fn−1⏟L^n

tiene como par de Jordan asociado (L^−n,L^n) al subcociente (B, L/Ker_LB).

Demostración. Denotemos por K := Ker_LB. Veamos primero que Fi⊂Fi+1 para todo i ∈ ℤ. Claramente ad_[B,K][B, K] ⊂ [B, [K, [B, K] + ⊂ [B, K], luego F−k⊂F−k+1 para todo k = 2, . . . , n − 1. Además, F−1=[B,K]+B⊂F0, ya que [B, [B, K]] + [B, B] = 0 ∈ B. La contención F0⊂F1 la tenemos por definición de F1. Como [[B, K],K] ⊂ K, entonces ad[B,K]n−s−1(K)⊂ad[B,K]n−s(K) para todo s = 1, . . . , n − 2. con lo que Fs⊂Fs+1 para todo s = 1, ... , n − 2. Por último, Fn−1⊂Fn=L y F−n=B⊂F−n+1=[B,K]n−1+B.

Usando la identidad de Jacobi tenemos que, para todo k ∈ ℕ,

(a)ad[B,K]k−1([B,K]),u⊂ad[B,K]k(u) para todo u∈L.

También se tiene que

(b)F0,K⊂K.

Además, dados x∈F0 y k ∈ K, para todos b, b′ ∈ B,

b,b′,[x,k]=b,b′,x,k+b,x,b′,k=b,b′,x,k+b′,x,[b,k]+[b,x],b′,k+x,b,b′,k=0,

ya que [b, x], [b′, x] ∈ B y B es abeliano. Por otra parte,

(c)ad[B,K]n−1(K)⊂F0

por ser

ad[B,K]n−1(K),b=ad[B,K]n−1([K,b])⊂B

para todo b ∈ B.

Veamos ahora que Fi,Fj⊂Fi+j para todo i, j ∈ ℤ.

F−s,F−r⊂F−r−s para todo r, s ∈ {1, . . . , n}. Por (a) F−s,F−r=ad[B,K]s−1([B,K])+B,ad[B,K]r−1([B,K])+B=ad[B,K]s−1([B,K]),ad[B,K]r−1([B,K])⊂ad[B,K]s+r−1([B,K])=F−r−s.

Fr,F0⊂Fr para todo r ∈ {−n, . . . , n} por (b) y la identidad de Jacobi.

F−r,Fs⊂Fs−r para todo r, s ∈ {1, . . . , n}. Por (a) y (b) tenemos que F−r,Fs=ad[B,K]r−1([B,K])+B,ad[B,K]n−s−1(K)+F0⊂ad[B,K]n−s+r−1(K)+B+ad[B,K]r−1([B,K])+ad[B,K]n−s−1([B,K]). Distinguiremos tres casos:

Si r = s, por (c) ad[B,K]n−s+r−1(K)+B+ad[B,K]r−1([B,K])+ad[B,K]n−s−1([B,K])⊂ad[B,K]n−1(K)+B+[B,K]⊂F0.

Si r > s, ad[B,K]n−s+r−1(K)+B+ad[B,K]r−1([B,K])+ad[B,K]n−s−1([B,K])⊂ad[B,K]r−s(ad[B,K]n−1(K))+B+ad[B,K]r−1([B,K])+ad[B,K]n−s−1([B,K])⊂ad[B,K]r−s(F0)+B+[B,K]r+[B,K]n−s⊂[B,K]r−s+B=Fs−r.

Si r < s, entonces ad[B,K]n−s+r−1(K)+B+ad[B,K]r−1([B,K])+ad[B,K]n−s−1([B,K])⊂Fs−r.

Fs,Fr⊂Fr+s para todo r, s ∈ {1, . . . , n}. Aquí distinguiremos dos casos:

Si r + s ≥ n, entonces no hay nada que probar, ya que Fs,Fr⊂Fr+s=L.

Si r + s < n, entonces 2n − 2 − r − s ≥ n − 1. Procederemos por inducción sobre r desde n − 2 hasta 1. Si r = n − 2, solo necesitamos estudiar s = 1. Fn−2,F1=ad[B,K](K)+F0,ad[B,K]n−2(K)+F0⊂ad[B,K](K),ad[B,K]n−2(K)+ad[B,K](K)+ad[B,K]n−2(K)+F0⊂K⊂Fn−1. Supongamos que Fs,Fr⊂Fr+s para todo s y veamos que se verifica para r − 1: Fr−1,Fs=ad[B,K]n−r(K)+F0,ad[B,K]n−s−1(K)+F0⊂ad[B,K]n−r(K),ad[B,K]n−s−1(K)+ad[B,K]n−r(K)+ad[B,K]n−s−1(K)+F0⊂ad[B,K](ad[B,K]n−r−1(K),ad[B,K]n−s−1(K))+ad[B,K]n−r−1(K),ad[B,K]n−s(K)+Fr−1+Fs⊂ad[B,K](Fr+s)+Fr+s−1+Fr−1+Fs⊂Fr+s.

Por último, como F0⊂K, entonces Fn−1=K y, por tanto, el par Jordan asociado (L^−n,L^n) coincide con el subcociente (B, L/K).

Podemos aplicar ahora este resultado al caso asociativo, con o sin involución.

Corolario 2.2.2. Sea R un álgebra asociativa semiprima sobre un anillo de escalares ϕ, con12,13∈ϕ, y sea B un ideal interno abeliano de R⁽⁻⁾. Entonces existe n ∈ ℕ, con n ≤ 3, tal que la cadena de submódulos de R⁽⁻⁾

…⊂F−n⊂F−n+1⊂…⊂F0⊂…⊂Fn−1⊂Fn⊂…

con Fn−1=KerR(−)B, F−n=B y Fn=R(−), es una ℤ-filtración acotada de R⁽⁻⁾.

Demostración. Como R es un álgebra semiprima sobre un anillo de escalares ϕ, con 12, 13 ∈ ϕ entonces, por el Corolario 2.1.3, [B, Ker_R(−) B] es una subálgebra nilpotente de R(−) de índice n ≤ 3 y, por tanto, [B, Ker_R(−) B]ⁿ = 0 ⊂ B. Aplicando el teorema anterior tenemos que

…⊂F−n⊂F−n+1⊂…⊂F0⊂…⊂Fn−1⊂Fn⊂…,

con Fn−1=KerR(−)B, F−n=B y Fn=R(−), es una ℤ-filtración acotada de R⁽⁻⁾.

Corolario 2.2.3. Sea R un álgebra asociativa semiprima con involución * sobre un anillo de escalares ϕ, con 12,13,15∈ϕ. Sea L = Skew(R, *) y sea B un ideal interno abeliano de L. Entonces existe n ∈ ℕ, con n ≤ 4, tal que la cadena de submódulos de L

…⊂F−n⊂F−n+1⊂…⊂F0⊂…⊂Fn−1⊂Fn⊂…

con Fn−1=KerLB, F−n=B y Fn=Skew(R,∗), es una ℤ-filtración acotada de L.

Demostración. Como R un álgebra asociativa semiprima con involución * sobre un anillo de escalares ϕ, con 12,13,15∈ϕ entonces, por el Corolario 2.1.6, [B, Ker_LB] es una subálgebra nilpotente de L de índice n ≤ 4 y, por tanto, [B, Ker_R−B]ⁿ = 0 ⊂ B. Aplicando el teorema anterior tenemos que

…⊂F−n⊂F−n+1⊂…⊂F0⊂…⊂Fn−1⊂Fn⊂…

con Fn−1=KerR−B, F−n=B y Fn=L, es una ℤ-filtración acotada de L.

Observación 2.2.4. Recordemos que en [35, Theorem 1.2] se introduce la filtración principal asociada a un elemento ad-nilpotente de índice menor o igual que 3 de un álgebra de Lie. Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ, con 12,13∈ϕ y sea a ∈ L un elemento Jordan (un elemento tal que ada3(L)=0. Sea KerLa=x∈L:ada2(x)=0 y consideremos los conjuntos

Gi=0,i≤−3,G−2=[a,[a,L]]+ϕa,G−1=a,KerLa+ϕa,G0={x∈L:[x,a]∈[a,[a,L]]},G1=KerLa,Gj=L,j≥2.

Entonces {𝒢_i}_i∈ℤ es una ℤ-filtración acotada de L, llamada filtración principal de L definida por a.

Por otra parte, todo elemento a ∈ L ad-nilpotente de índice 3 genera el ideal interno abeliano

(a)L=[a,[a,L]]+ϕa.

Como se demuestra en [30, Lemma 3.7], si L es no degenerada, entonces Ker_La = Ker_L(a)_L.

Supongamos que L es un álgebra de Lie no degenerada sobre un anillo de escalares ϕ, con 12, 13 ∈ ϕ. Consideremos B = (a)_L y denotemos por K = Ker_La = Ker_L(a)L. En este caso, es claro que [[B,K], [B,K]] ⊂ B, ya que

[[B,K],[B,K]]=[[G−2,G1],[G−2,G1]]⊂[G−1,G−1]⊂G−2=B.

Por lo tanto, podemos considerar la ℤ-filtración acotada Fii∈ℤ asociada al ideal interno abeliano B = (a)_L dada por el Teorema 2.2.1.

Vamos a comparar la filtración asociada al ideal interno abeliano (a)_L, Fii∈ℤ, con la filtración principal de L definida por a:

F−2=(a)L=G−2.

F−1=(a)L,K+(a)L⊂[a,K]+ϕa=G−1, ya que para todo x ∈ L y todo z ∈ K se tiene que [[a,[a,x]],z]=[[a,z],[a,x]]+[a,[[a,x],z]]=[a,[[a,x],z]]−[a,[x,[a,z]]]∈[a,K], por ser [[a, L], K] + [L, [a, K]] ⊂ K. Por otra parte, se tiene que G−1=[a,K]+ϕa⊂[(a)L,K]+(a)L=F−1, obteniendo así que F−1=G−1.

G0⊂F0 ya que dado x ∈ 𝒢₀, se tiene que [x, a] ∈ [a, [a, L]] ⊂ F₋₂ y, por tanto, [x,(a)L]=[x,[a,[a,L]]+ϕa]=[x,[a,[a,L]]]+[x,ϕa]=[[x,a],[a,L]]+[a,[[x,a],L]]+[a,[a,[[x,L]]]+[x,ϕa]⊂[[a,[a,L]],[a,L]]+[a,[[a,[a,L]],L]]+[a,[a,[[x,L]]]+[a,[a,L]]⊂[F−2,F0]+[F−2,[F−2,F2]]+F−2⊂F−2=(a)L.

Por construcción, Fi=Gi, para i ≥ 1.

Por lo tanto tenemos que F−2⊂F−1⊂F0⊂F1=K⊂F2=L||||∪||||G−2⊂G−1⊂G0⊂G1=K⊂G2=L y ambas filtraciones coinciden cuando a ∈ [a, [a, L]].

URJC

CAPÍTULO 3 <target target-type="page" id="pges_57"/>ESPECIALIDAD DE SISTEMAS JORDAN ASOCIADOS A ÁLGEBRAS DE LIE

En [27] A. Fernández López, E. García, y M. Gómez Lozano construyen álgebras de Jordan asociadas a elementos ad-nilpotentes de índice menor o igual a tres de un álgebra de Lie. En este capítulo estudiaremos condiciones sobre la propia estructura de las álgebras de Lie que implican la especialidad de estas álgebras de Jordan. Se obtienen resultados similares cuando tratamos con subcocientes asociados a ideales internos abelianos.

3.1. Especialidad de las álgebras de Jordan de un álgebra de Lie

En esta sección daremos una condición suficiente para la especialidad del álgebra de Jordan L_a en un elemento de Jordan a. Aunque L_a es un álgebra de Jordan, la condición para su especialidad será una condición de Lie: [Ker_La, Ker_La] ⊄ Ker_La. Se ha decidido separar ambas secciones a pesar de que esta sección es un caso particular de la siguiente, ya que la especialidad del álgebra de Lie L_a tiene interés en sí mismo y es habitual en la literatura separar este caso del caso del subcociente ([a, [a, L]] + ϕa, L/Ker_L(a)_L). Los resultados de este capítulo aparecen en el artículo publicado [36].

Lema 3.1.1. Sea L = L_−n ⊕ ... ⊕ L₋₁ ⊕ L₀ ⊕ L₁ ⊕ ... ⊕ L_n un álgebra de Lie (2n + 1)-graduada sobre un anillo de escalares ϕ, con 12, 13 ∈ ϕ. Entonces el par V := (L_−n, L_n) con productos

{x,y,z}=[[x,y],z]y{y,x,t}=[[y,x],t]

para todo x, z ∈ L_−n y para todo y, t ∈ L_n es un par de Jordan. Además, para cualquier i ∈ {1, 2, ... , n − 1}, el par de aplicaciones lineales

(Ψi,Ψ−i):(L−n,Ln)⟶(Hom(Li,Li−n),Hom(Li−n,Li))(+),

definidas por Ψ_σi(x)(y) = ad_x(y) para todo x ∈ L_−σn y todo y ∈ L_i, si σ = +, o y ∈ L_i−n, si σ = −, es un homomorfismo de pares de Jordan entre V y el par de Jordan especial (Hom(L_i, L_i−n), Hom(L_i−n, L_i))⁽⁺⁾.

Demostración. Tenemos que V es un par de Jordan por [62, p. 351]. Además, como se menciona en la demostración de [25, Theorem 11.34], es fácil ver que

(Ψi,Ψ−i):(L−n,Ln)⟶(Hom(Li,Li−n),Hom(Li−n,Li))(+)

es un homomorfismo entre pares de Jordan para todo i = 1, 2, ... , n – 1. Añadiremos la demostración por completitud.

Sea i ∈ {1, 2, ... , n − 1} y sean x, z ∈ L_−n, y, t ∈ L_n, u ∈ L_i, v ∈ L_i−n. Entonces

Ψi({x,y,z})(u)=ad[[x,y],z](u)=[[[x,y],z],u]=[[[x,u],y],z]+[[x,[y,u]],z]+[[x,y],[z,u]]=[z,[y,[x,u]]]+0+[[x,[z,u]],y]+[x,[y,[z,u]]]=(Ψi(x)Ψ−i(y)Ψi(z)+Ψi(z)Ψ−i(y)Ψi(x))(u)=Ψi(x),Ψ−i(y),Ψi(z)(u),

ya que [y, u] = 0 y [x, [z, u]] = 0. Análogamente,

Ψ−i({y,x,t})(v)=ad[[y,x],t](v)=[[[y,x],t],v]=[[[y,v],x],t]+[[y,[x,v]],t]+[[y,x],[t,v]]=[t,[x,[y,v]]]+0+[[y,[t,v]],x]+[y,[x,[t,v]]]=(Ψi(y)Ψ−i(x)Ψi(t)+Ψi(t)Ψ−i(x)Ψi(y))(t)=Ψi(y),Ψ−i(x),Ψi(t)(v),

por ser [x,v] = 0 y [y, [t, v]] = 0.

Luego (Ψ_i, Ψ_−i) es un homomorfismo de pares de Jordan.

Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ tal que 12, 13 ∈ ϕ. Sea a ∈ L un elemento Jordan y consideremos la filtración principal de L definida por a :

Gi=0,i≤−3,G−2=[a,[a,L]]+ϕa,G−1=[a,KerLa]+ϕa,G0={x∈L:[x,a]∈[a,[a,L]]},G1=KerLa,Gj=L,j≥2.

Así, tenemos que

L^=G−2⊕G−1/G−2⊕G0/G−1⊕G1/G0⊕G2/G1

es un álgebra de Lie 5-graduada [35, 1.4]. En particular, V=(G−2,G2/G1) es el par de Jordan asociado a L^.

Lema 3.1.2. Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ tal que 12,13∈ ϕ. Sea a ∈ L un elemento Jordan y consideremos la filtración principal de L definida por a, {Gi}i∈ℤ. Entonces, el par de aplicaciones

Ψ1:G−2⟶Hom(G1/G0,G−1/G−2)Ψ−1:G2/G1⟶Hom(G−1/G−2,G1/G0)

definidas por Ψ₁(b) = ad_b para todo b ∈ [a, [a, L]] + ϕa, y Ψ−1(x¯)=adx¯ para todo x¯∈L/KerLa, , es un homomorfismo de pares de Jordan entre V = (𝒢₋₂, 𝒢₂/𝒢₁) y el par de Jordan especial

(Hom(G1/G0,G−1/G−2),Hom(G−1/G−2,G1/G0))(+).

Demostración. Consideremos el álgebra de Lie graduada

L^=G−2⊕G−1/G−2⊕G0/G−1⊕G1/G0⊕G2/G1.

Las aplicaciones Ψ₁ y Ψ₋₁ están bien definidas y (Ψ₁, Ψ₋₁) es un homomorfismo de pares de Jordan entre V = (𝒢₋₂, 𝒢₂/𝒢₁) y el par de Jordan especial

(Hom(G1/G0,G−1/G−2),Hom(G−1/G−2,G1/G0))(+)

por el lema anterior.

Proposición 3.1.3. Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ, con 12,13∈ϕ y sea a ∈ L un elemento Jordan. Entonces el par

I=(I+,I−)=([a,[a,[KerLa,KerLa)]],[KerLa,KerLa]¯]

es un ideal del par de Jordan V = (V⁺, V⁻) = ([a, [a, L]] + ϕa,L/Ker_La). Además, si L es no degenerada,

(KerΨ1,KerΨ−1)⊂AnnV(I).

Demostración. Veamos que I=I+,I− es un ideal de V. Para todo z₁, z₂ ∈ Ker_La, todo x, y ∈ L y todo λ ∈ ϕ, usando la identidad de Jacobi y teniendo en cuenta las propiedades de la filtración principal de L definida por a, tenemos que

[[[a,[a,[z1,z2]]],x],[a,[a,y]]+λa]∈[[[a,[a,[z1,z2]]],G2],G−2]⊂[[a,[a,[z1,z2]]],[G2,G−2]]⊂[[a,[a,[G1,G1]]],G0]⊂[[a,G0],[a,[G1,G1]]]+[a,[[a,G0],[G1,G1]]]+[a,[a,[G1,G1]]⊂)[G−2,[a,[G1,G1]]]+[a,[G−2,[G1,G1]]+[a,[a,[G1,G1]]]⊂)[a,[G−1,G1]]+[a,[a,[G1,G1]]]⊂[G−1,G−1]=[[a,KerLa]+Φa,[a,KerLa]+Φa]⊂[[a,KerLa],[a,KerLa]]⊂[a,[a,[KerLa,KerLa]]],

ya que [a, [a, [𝒢₁, 𝒢₁]]] ⊂ [𝒢−1, 𝒢−1] por ser [a, [a, [k, l]]] = 2[[a, k], [a, l]] para todo k, l ∈ Ker_La. Esto demuestra que

{I+,V−,V+}⊂I+.

De forma análoga,

[[x,[a,[a,[z1,z2]]]],y]=2[[x,[[a,z1],[a,z2]]],y]=2[[[x,[a,z1]],[a,z2]],y]+2[[[a,z1],[x,[a,z2]]],y]⊂[y,[KerLa,[a,KerLa]]]⊂[[y,KerLa],[a,KerLa]]+[KerLa,[y,[a,KerLa]]⊂[[G2,G1],[G−2,G1]]+[G1,[G2,[G−2,G1]]]⊂[G2,G−1]+[G1,G1]⊂KerLa+[KerLa,KerLa],

con lo que

{V−,I+,V−}⊂I−.

Por otra parte,

[[[z1,z2],[a,[a,x]]],y]∈[[[G1,G1],G−2],G2]⊂[G2,G−2]+[[G1,G1],G0]⊂G0+[G1,G1]⊂KerLa+[KerLa,KerLa]

y, análogamente,

[[[z1,z2],a],y]∈[[[G1,G1],G−2],G2]⊂[G2,G−2]+[[G1,G1],G0]⊂G0+[G1,G1]⊂KerLa+[KerLa,KerLa],

lo que prueba que

{I−,V+,V−}⊂I−.

Por último,

[[[a,[a,L]]+ϕa,[KerLa,KerLa]],[a,[a,L]]+ϕa)=[[G−2,[G1,G1]],G−2]⊂[[G−1,G1],G−2]⊂[[G−1,G−1]⊂[[a,KerLa],[a,KerLa]]⊂[a,[a,[KerLa,KerLa]]])

y, por tanto

{V+,I−,V+}⊂I+.

Supongamos ahora que L es no degenerada. Tenemos que demostrar que KerΨ1,KerΨ−1⊂AnnV(I). Como L es no degenerada, entonces V es no degenerado [30, Proposition 3.5 (iii)]. Ahora bien, como V es no degenerado, entonces AnnV(I) es el conjunto de los elementos z tales que {z, I, z} = 0 [54, Proposition 1.7].

Sea u ∈ 𝒢₋₂ tal que u ∈ KerΨ₁. Entonces [u, Ker_La] ⊂ 𝒢₋₂ y, por tanto, para todo z₁, z₂ ∈ Ker_La, se tiene que

{u,[z1,z2],u}=[[u,[z1,z2]],u]=[[[u,z1],z2],u]+[[z1,[u,z2]],u]∈[[F−2,F1],F−2]=0,

con lo que u pertenece al anulador de I.

Sea ahora x¯∈L/KerLa tal que x¯∈Ker−1. Como x¯∈KerΨ−1, entonces [x,[a,KerLa]]⊂G0. Para ver que x¯ pertenece al anulador de I, veamos que

{x¯,[a,[a,[KerLa,KerLa]]]],x¯}=0¯

o, equivalentemente,

ada2[[x,[a,[a,[KerLa,KerLa]]]],x]=0.

Sean z₁, z₂ ∈ Ker_La,

[a,[a,[x,[x,[a,[a,[z1,z2]]]]]]]∈[a,[a,[x,[x,[[a,KerLa,[a,KerLa]]]]]]⊂[a,[a,[x,[G0,[a,KerLa]]]]]⊂[a,[a,[x,[a,KerLa]]]]⊂[a,[a,G0]])=0.

Luego x¯ pertenece al anulador de I y, por tanto, (KerΨ1,KerΨ−1)⊂AnnV(I).

Corolario 3.1.4. Sea L un álgebra de Lie fuertemente prima sobre un anillo de escalares ϕ, con 12,13∈ϕ, y sea a ∈ L un elemento Jordan. Si Ker_La no es subálgebra de L, entonces L_a es un álgebra de Jordan fuertemente prima y especial.

Demostración. El par de Jordan V=([a,[a,L]]+ϕa,KerLa) es el subcociente de L determinado por el ideal interno abeliano (a)L=[a,[a,L]]+ϕa, con lo que V es fuertemente primo por [30, Proposition 3.5 (iii)]. Si Ker_La no es subálgebra de L, entonces el ideal de V

I=(I+,I−)=([a,[a,[KerLa,KerLa]]],[KerLa,KerLa]¯)

es no nulo y, por tanto, AnnV(I) es cero, ya que Iσ,AnnV(I)−σ,Iσ=0, AnnV(I) es un ideal de V y V es primo.

Por la proposición anterior, tenemos que KerΨ1,KerΨ−1⊂AnnV(I), con lo que (Ψ1,Ψ−1) es un monomorfismo entre el par de Jordan V y el par de Jordan especial

(Hom(G1/G0,G−1/G−2),Hom(G−1/G−2,G1/G0))(+),

con lo que V es un par de Jordan especial.

Como el álgebra de Jordan L_a puede considerarse como el álgebra de Jordan a-homótopa V^(a) ([30, Remark 3.6]) y V es especial, entonces L_a es especial. Además, por [33, Theorem 2.2], tenemos que L_a es fuertemente prima.

3.2.

Especialidad de subcocientes de un álgebra de Lie

En esta sección nos ocuparemos de los subcocientes asociados a los ideales internos abelianos B de L. Recordemos que un ϕ-módulo B de L es un ideal interno abeliano si [B, [B, L]] ⊂ B y [B, B ] = 0. El núcleo de un ideal interno abeliano es

KerLB={x∈L:[b,[b,x]]=0}.

Asociado a un ideal interno abeliano B de L podemos considerar el subcociente (B, L/Ker_LB), que es un par de Jordan con productos

{b1,x¯,b2}=[[b1,x],b2] y {x¯,b1,y¯}=[[x,b],y]¯

para todo b₁, b₂ ∈ B y para todo x¯, y¯∈L/KerLB, ver [30, Lemma 3.2 (a)]

Recordemos que si existe n ∈ ℕ tal que [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B, entonces podemos considerar la filtración asociada a B dada por el Teorema 2.2.1, {Fi}i∈ℤ, donde F−m={0} y Fm=L para todo m>n, y

F−n=B⋮F−k=[B,KerLB]k+B, para k=1,…,n−1⋮F0={x∈L:[x,B]⊂B}⋮Fs=ad[B,KerLB]n−s−1(KerLB)+F0, para s=1,…,n−1⋮Fn=L

Además, el álgebra de Lie ℤ-graduada inducida

L^=F−n⏟L^−n⊕⋯⊕Fn/Fn−1⏟L^n

tiene como par de Jordan asociado L^−n,L^n al subcociente (B, L/Ker_LB).

Proposición 3.2.1. Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ tal que 12,13∈ϕ. Sea B un ideal interno abeliano de L y consideremos Ker_LB = {x ∈ L : [B, [B, x]] = 0}. Supongamos que existe n ∈ ℕ tal que [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B y consideremos la filtración asociada a B, {Fi}i∈ℤ. Entonces, el par de aplicaciones

Ψn−1:L^−n→Hom(L^n−1,L^−1)Ψ1−n:L^n→Hom(L^−1,L^n−1)

definidas por Ψσ(n−1)(x)(y)=adx(y) para todo x∈L^−σn y para todo y ∈ L^n−1, si σ=+oy∈L^−1 si σ=−, es un homomorfismo de pares de Jordan entre V=(L^−n,L^n) y el par de Jordan especial

(Hom(L^n−1,L^−1),Hom(L^−1,L^n−1))(+).

Demostración. Como [B,KerLB]n⊂B, podemos considerar el álgebra de Lie (2n + 1)-graduada

L^=L^−n⊕⋯⊕L^0⊕⋯⊕L^n.

Las aplicaciones Ψ_n−1 y Ψ_1−n están bien definidas y (Ψ_n−1, Ψ_1−n) es un homomorfismo de pares de Jordan entre

V=(L^−n,L^n)=(F−n,Fn/Fn−1)=(B,L/KerLB)

y el par de Jordan especial

(Hom(L^n−1,L^−1),Hom(L^−1,L^n−1))(+)

por el Lema 3.1.1.

Proposición 3.2.2. Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ tal que 12,13∈ϕ. Sea B un ideal interno abeliano de L y consideremos Ker_LB. Entonces el par

I=(I+,I−)=([B,[B,[KerLB,KerLB]]],[KerLB,KerLB]¯)

es un ideal del par de Jordan V=(V+,V−)=(B,L/KerLB).

Demostración. Sean b1,b2,b3∈B,z1,z2∈KerLB y x¯,y¯∈L/KerLB. Veamos primero que {I+,V−,V+}⊂I+.

{[b1,[b2,[z1,z2]]},x¯,b3]=[[[b1,[b2,[z1,z2]]],x],b3]=[[b1,[b2,[z1,z2]]],[x,b3]]==[[b1,[x,b3]],[b2,[z1,z2]]]+[b1,[[b2,[x,b3]],[z1,z2]]]++[b1,[b2,[[z1,z2],[x,b3]]]]∈[B,[B,[KerLB,KerLB]],)

ya que [[z1,z2],[x,b3]]=[[z1,[x,b3]],z2]+[z1,[z2,[x,b3]]]∈[KerLB,KerLB].

Luego I+,V−,V+⊂I+.

Veamos ahora que {V−,I+,V−}⊂I−.

x¯,b1,b2,z1,z2,y¯=x,b1,b2,z1,z2,y¯∈L,L,B,B,KerLB,KerLB¯⊂[L,[[L,B],[B,[K,K]]]]¯+L,B,[L,B],KerLB,KerLB¯⊂L,B,KerLB,KerLB¯+L,B,[L,B],KerLB,KerLB¯+[L,B],[L,B],KerLB,KerLB¯+[B,L]¯⊂[L,B],KerLB,KerLB¯+[B,L]¯+[L,B],[L,B],KerLB,KerLB¯⊂KerLB,KerLB¯,

por ser

[[L,B],[KerLB,KerLB]]⊂[[[L,B],KerLB],KerLB]⊂[K,K]

y [B,L]¯=0¯, ya que [B, L] ⊂ Ker_LB.

Ahora, veamos que {I−,V+,V−}⊂I−.

z1,z2¯,b1,x¯=z1,z2,b1,x¯=z1,z2,x,b1¯+z1,z2,b1,x¯∈KerLB,KerLB,[B,L]¯⊂KerLB,[B,L],KerLB¯⊂KerLB,KerLB¯,

con lo que {I−,V+,V−}⊂I−.

Por último, veamos que {V+,I−,V+}⊂I+.

{b1,[z1,z2]¯,b2}=[[b1,[z1,z2]],b2]∈[B,[B,[KerLB,KerLB]]]

y, por tanto, {V+,I−,V+}⊂I+.

Luego I=I+,I− es un ideal del par de Jordan V = (B, L/Ker_LB).

Definición 3.2.3. Sea V = (V⁺, V⁻) un par de Jordan sobre un anillo de escalares ϕ, con 12,13∈ϕ, y sea J = (J⁺, J⁻) un ideal de V. Para cada m ≥ 0, definimos J3m+1:=((J3m+1)+,(J3m+1)−), donde

(J3m+1)+={(J3m)+,(J3m)−,(J3m)+}(J3m+1)−={(J3m)−,(J3m)+,(J3m)−}.

Lema 3.2.4. Sea V = (V⁺, V⁻) un par de Jordan sobre un anillo de escalares ϕ, con 12,13∈ϕ. y sea J = (J⁺, J⁻) un ideal de V. Entonces se verifica:

(J^3m+1)^σ ⊂ (J^3m)^σ para todo m ≥ 0, donde σ = ±.

J^3m+1 es ideal es ideal de J^3m para todo m ≥ 0.

Si V es no degenerado y J ≠ 0, entonces J^3m es no nulo y no degenerado para cada m ≥ 0.

Demostración. Consideremos σ = ±.

Veamos que (J^3m+1)^σ ⊂ (J^3m)^σ para todo m ≥ 0. Para m = 0 es claro, ya que J3σ=Jσ,J−σ,Jσ⊂Jσ, por ser J ideal de V.

Supongamos entonces que (J^3m+1)^σ ⊂ (J^3m)^σ para un cierto m ≥ 0 y veamos que se verifica para m + 1. J3m+2σ=J3m+1σ,J3m+1−σ,J3m+1σ⊂J3mσ,J3m−σ,J3mσ=J3m+1σ. Luego (J^3m+1)^σ ⊂ (J^3m)^σ para todo m ≥ 0.

Como (J^3m+1)^σ ⊂ (J³m)^σ para cada m ≥ 0, entonces J3m+1σ,J3m+1−σ,J3m+1σ⊂J3mσ,J3m−σ,J3mσ=J3m+1σ, con lo que J^3m+1 es sub par de V. Además. J3m+1σ,J3m−σ,J3mσ+J3mσ,J3m+1−σ,J3mσ⊂J3mσ,J3m−σ,J3mσ=J3m+1σ.

Como V es no degenerado y J es ideal de V, entonces J es no degenerado [25, p. 174]. Análogamente, como J es no nulo y no degenerado, y J³ es ideal de J, donde J3σ=Jσ,J−σ,Jσ, entonces J³ es no nulo. Además, como J³ es un ideal no nulo de J y J es no degenerado, entonces J³ es no degenerado.

Razonando de manera análoga para cada m ≥ 0, tenemos que J^3m es no nulo y no degenerado.

Proposición 3.2.5. Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ tal que 12,13∈ϕ. Sea B un ideal interno abeliano de L y consideremos Ker_LB. Supongamos que existe n ∈ ℕ tal que [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B y consideremos el ideal 𝒥 = (𝒥⁺, 𝒥⁻) = (KerΨ_n−1, KerΨ_1−η), donde (Ψ_n−1, Ψ_1−n) es el homomorfismo de pares de Jordan dado en la Proposición 3.2.1. Entonces

J3m+⊂b∈B:b,KerLB⊂B,KerLBm+2+B.

Además, si L es no degenerada, entonces

J3m+⊂AnnV(I)+

para todo m+2≥n+12, donde

I=I+,I−=B,B,KerLB,KerLB,KerLB,KerLB¯.

Demostración. Procederemos por inducción sobre m ≥ 0. Si m = 0, entonces 𝒥⁺ = KerΨ_n−1. con lo que si b ∈ KerΨ_n−1, entonces

b,KerLB⊂F−2=B,KerLB2+B.

Supongamos ahora que

J3m−1+⊂b∈B:b,KerLB⊂B,KerLBm+1+B

y veamos que

J3m+⊂b∈B:b,KerLB⊂B,KerLBm+2+B.

Sean b₁, b₂ ∈ (𝒥^3m−1)⁺, x¯∈J3m−1− y consideremos b3=b1,x¯,b2. Sea z ∈ Ker_LB, tenemos que ver que [b₃, z] ∈ [B, Ker_LB]^m+2 + B.

b3,z=b1,x,b2,z=b1,z,x,b2+b1,[x,z],b2+b1,x,b2,z∈B,KerLBm+1+B,x,b2+B+b1,x,B,KerLBm+1+B⊂B,KerLBm+1,x,b2+b1,x,B,KerLBm+1+B.

Ahora bien, como

B,KerLBm+1,L=B,KerLB,B,KerLBm,L⊂KerLB,B,KerLBm+B,KerLB,KerLB⊂B,KerLB,KerLB,

entonces

B,KerLBm+1,x,b2+b1,x,B,KerLBm+1+B⊂B,KerLB,KerLB,b2+b1,B,KerLB,KerLB+B⊂B,KerLB,KerLB,b2+B,KerLB,b1,KerLB+B⊂B,KerLB,B,KerLBm+1+B⊂B,KerLBm+2+B.

Luego

J3m+⊂b∈B:b,KerLB⊂B,KerLBm+2+B

para todo m ≥ 0.

Supongamos ahora que L es no degenerada. Entonces V es no degenerado por [30, Proposition 3.5 (iii)]. Veamos que J3m+⊂AnnV(I)+. Sea b ∈ (J^3m)⁺ y sean z₁, z₂ ∈ Ker_LB. Entonces, para m+2≥n+12,

b,z1,z2,b=b,z1,z2,b=2b,z1,b,z2∈B,KerLBm+2+B,B,KerLBm+2+B⊂B,KerLB2m+4⊂B,KerLBn+1=0,

ya que [B, Ker_LB]ⁿ ∈ B. Luego, por la caracterización del anulador de un ideal para pares de Jordan no degenerados ([54, Proposition 1.7]), tenemos que J3m+⊂AnnV(I)+.

Corolario 3.2.6. Sea L un álgebra de Lie fuertemente prima sobre un anillo de escalares ϕ tal que 12,13∈ϕ. Sea B un ideal interno abeliano de L y consideremos Ker_LB. Supongamos que existe n ∈ ℕ tal que [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B. Si Ker_LB no es subálgebra de L, entonces el subcociente (B, L/Ker_LB) es un par de Jordan especial fuertemente primo.

Demostración. Como L es fuertemente prima, entonces el par de Jordan V = (B, L/Ker_LB) es fuertemente primo por [30, Proposition 3.5 (iii)]. Si Ker_LB no es subálgebra de L, entonces el ideal

I=I+,I−=B,B,KerLB,KerLB,KerLB,KerLB¯

es no nulo y, por tanto, AnnV(I) es cero, ya que Iσ,AnnV(I)−σ,Iσ=0, AnnV(I) es un ideal de V y V es primo.

Por la proposición anterior, existe m ∈ ℕ tal que J^{3^m} = 0 y, por el punto 3 del lema anterior. tenemos que 𝒥 = (kerΨ₁, kerΨ₋₁) = 0, con lo que (Ψ₁, Ψ₋₁) es un monomorfismo entre el par de Jordan V y el par de Jordan especial

HomL^n−1,L^−1,HomL^−1,L^n−1(+)

y, por tanto, V es un par de Jordan especial.

Lema 3.2.7. Sea R un álgebra asociativa prima y centralmente cerrada sobre un anillo de escalares ϕ, con 12,13∈ϕ, y sea ℬ un ideal interno abeliano de R⁽⁻⁾/Z(R). Entonces existe un ideal interno abeliano B′ de R⁽⁻⁾ tal que B′B′ = 0 y π(B′) = ℬ, donde π : R⁽⁻⁾ → R⁽⁻⁾/Z(R) denota la proyección canónica. En particular, B′ ∩ Z(R) = 0.

Demostración. Veamos que B := π⁻¹(ℬ) es un ideal interno abeliano de R⁽⁻⁾. Como

π([B,[B,R]])⊂[B,[B,R/Z(R)]]⊂B,

entonces [B, [B, R]] ⊂ B. Además, si b ∈ B, adb3(R)⊂Z(R), por ser ℬ un ideal interno abeliano de R⁻/Z(R) y, por tanto, adb3(R)=0, por [19, Lemma 3.1]. Aplicando de nuevo que ℬ es ideal interno abeliano de R⁻/Z(R), tenemos que [b₁, b₂] = b₁b₂ − b₂b₁ ∈ Z(R) para todo b₁, b₂ ∈ B, con lo que

0=adb13b23=b13b23−3b12b23b1+3b1b23b12−b23b13=6b1,b23

y, por tanto, [b₁, b₂] = 0, ya que [b₁, b₂] es un elemento nilpotente del centro de un álgebra prima.

Por último, consideramos B′ el ideal interno abeliano de R⁽⁻⁾ asociado a B como en el segundo punto de la Proposición 2.1.1. Para este ideal interno abeliano B′ se verifica que π(B′) = π(B) = ℬ y B′B′ = 0. Para acabar, veamos que B′ ∩ Z(R) = 0. Sea b′ ∈ B′ ∩ Z(R) entonces, para todo x ∈ R, tenemos que

0=b′,x=b′x−xb′

y, por tanto,

b′xb′=0,

ya que B′B′ = 0. Luego b′ = 0 por ser R un álgebra prima.

Como era de esperar, en el siguiente resultado se demuestra que el subcociente asociado a un ideal interno abeliano en L = R⁽⁻⁾/Z(R) es especial cuando R es un álgebra asociativa prima y [Ker_LB, Ker_LB] ⊄ Ker_LB.

Corolario 3.2.8. Sea R un álgebra asociativa prima sobre un anillo de escalares ϕ tal que 12,13∈ϕ. Sea B un ideal interno abeliano de L = R⁽⁻⁾/Z(R) y consideremos Ker_LB. Si Ker_LB no es subálgebra de L, entonces el subcociente (B, L/Ker_LB) es especial y fuertemente primo.

Demostración. Como R es prima entonces, por [34, Lemma 4.2], L es fuertemente prima y, por tanto, el subcociente (B, L/Ker_LB) es fuertemente primo por [30, Proposition 3.5 (iii)]. Consideremos la clausura central R^ de R, L^:=R^(−)/Z(R^) y sea B^ la extension por escalares de B en L^. Como R es prima, entonces R^ es prima. Luego, por el lema anterior, podemos suponer que B^=πB′, donde B′ es un ideal interno abeliano de R^(−) tal que B′B′ = 0 y π denota la proyección canónica de R^(−) sobre L^. Por el apartado 4 de la Proposicion 2.1.1, tenemos que B′,KerR^(−)B′ es nilpotente y, por tanto, πB′,KerR^(−)B′ es una subálgebra de L^ nilpotente. Por el Corolario 3.2.6, tenemos que el subcociente B^,KerL^B^ es especial. Luego (B, L/Ker_LB) es especial.

Observación 3.2.9. Si L un álgebra de Lie no degenerada sobre un anillo de escalares ϕ, con 12,13,15∈ϕ, vimos que para cada ideal interno abeliano no nulo B de longitud finita de L, existe una ℤ-graduación finita L = L_−n ⊕ · · · ⊕ L₀ ⊕ · · · ⊕ L_n tal que B = L_n [30, Corollary 6.2], Esto siempre ocurre, por ejemplo, cuando L es no degenerada y de dimensión finita. Con respecto a esta graduación, Ker_LB = L_−(n−1) ⊕ · · · ⊕ L₀ ⊕ · · · ⊕ L_n y [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B, con lo que [B, Ker_LB]ⁿ⁺¹ = 0.

Cuando la graduación es una 3-graduación, L = L₋₁ ⊕ L₀ ⊕ L₁, Ker_LB = L₀ ⊕ L₁ es siempre es una subálgebra de L. En esta situación, el Corolario 3.2.6 no da información sobre la especialidad del subcociente (B, L/Ker_LB) ≅ (L₁, L₋₁). Si revisamos la lista de ideales internos abelianos de las álgebras de Lie de dimensión finita simple sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero dada en [23], solo cuando L = E₆ o E₇ encontramos subcocientes excepcionales: si L = E₆, el subcociente asociado al ideal interno abeliano B_{1} (con la notación de [23]) es isomorfo al par BiCayley excepcional y, si L = E₇, el subcociente asociado al ideal interno abeliano B_{7} (con la notación de [23]) es isomorfo al par de Albert excepcional. El resto de subcocientes de ideales internos abelianos de las álgebras de Lie simples de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero son especiales.

URJC

CAPÍTULO 4 <target target-type="page" id="pges_73"/>UNA FORMA CANÓNICA DE JORDAN PARA ELEMENTOS NILPOTENTES

El contenido de este capítulo se encuentra en el artículo publicado [38]. En este último capítulo daremos una nueva demostración de la forma canónica de Jordan de un elemento nilpotente en un anillo arbitrario. Si a ∈ R es un elemento nilpotente del índice n y a^{n − 1} es regular von Neumann, podemos descomponer a = ea + (1 − e)a, siendo ea∈eRe≅Mn(S) un bloque de Jordan de tamaño n × n, donde S es un anillo unitario, y (1 − e)a es nilpotente de índice menor que n para un idempotente e ∈ R tal que ae = ea. Este resultado hace posible caracterizar los anillos primos de índice acotado n, con un elemento nilpotente a ∈ R de índice n y tal que aⁿ⁻¹ es regular von Neumann, como un anillo de matrices sobre un dominio unitario. Además, el material de este capítulo ha sido de utilidad para describir los elementos ad-nilpotentes en álgebras de Lie que proceden de álgebras asociativas con involución [20].

A lo largo de este capítulo trataremos con anillos no necesariamente unitarios. Si R es un anillo no unitario, por expresiones del tipo (1 − x)y, para x, y ∈ R, entenderemos y − xy ∈ R.

4.1. <bold>Forma canónica de Jordan</bold>

El siguiente lema es análogo a [31, Lema 3.2], pero hemos cambiado ligeramente su demostración para generalizar el resultado a anillos arbitrarios.

Lema 4.1.1. Sea R un anillo y sea a ∈ R un elemento nilpotente de R con índice n tal que aⁿ⁻¹ es regular von Neumann. Entonces existe b ∈ R tal que aⁿ⁻¹baⁿ⁻¹ = aⁿ⁻¹, baⁿ⁻¹b = b y ba^kb = 0 para todo k ∈ {0,1, …, n − 2}.

Demostración. Como aⁿ⁻¹ es regular von Neumann, existe b ∈ R tal que aⁿ⁻¹baⁿ⁻¹ = aⁿ⁻¹. Consideremos b′ = baⁿ⁻¹ b ∈ R, entonces se tiene que

an−1b′an−1=an−1ban−1ban−1=an−1ban−1ban−1=an−1ban−1=an−1

b′an−1b′=ban−1ban−1ban−1b=ban−1ban−1ban−1b=ban−1ban−1b=b′.

Consideremos ahora c = b′ − ab′aⁿ⁻²b′. Entonces tenemos que

an−1can−1=an−1b′an−1−anb′an−2b′an−1=an−1,can−1c=b′an−1c−ab′an−2b′an−1c=b′an−1b′−b′anb′an−2b′−ab′an−2b′an−1b′+ab′an−2b′anb′an−2b′=b′−ab′an−2b′=c

can−2c=can−2b′−can−1b′an−2b′=b′an−2b′−ab′an−2b′an−2b′−b′an−1b′an−2b′+ab′an−2b′an−1b′an−2b′=b′an−2b′−ab′an−2b′an−2b′−b′an−2b′+ab′an−2b′an−2b′=0.

Usaremos un argumento recursivo. Por inducción decreciente sobre s = n − 2, ... , 0, supongamos que existe b ∈ R tal que, para todo k ∈ {s + 1, ... , n − 2}, tenemos que

an−1ban−1=an−1,ban−1b=b y bakb=0.

Definamos d := 1 − a^n−1−sba^s, entonces c := db verifica

akc=akdb=ak1−an−1−sbasb=akb−an+k−1−sbasb=akb

para todo k ∈ {s + 1, ... , n − 1}, ya que n + k − 1 − s ≥ n para todo k ∈ {s + 1, ... , n − 1} y aⁿ = 0. Además,

an−1can−1=an−1ban−1=an−1,

can−1c=can−1b=dban−1b=db=c

y, para todo k ∈ {s + 1, … , n − 1},

cakc=cakb=dbakb=0.

Veamos que ca^sc = 0:

casc=cas1−an−1−sbasb=casb−can−1basb=dbasb−dban−1basb=dbasb−dbasb=0.

Por lo tanto, podemos concluir la demostración por recursión.

Definición 4.1.2. Sea R un anillo y sea a ∈ R un elemento nilpotente de R con índice n tal que aⁿ⁻¹ es regular von Neumann. A un elemento b ∈ R con las características del lema anterior se le denomina inverso de Rus de a.

Teorema 4.1.3. Sea R un anillo y sea a ∈ R un elemento nilpotente de R con índice n tal que aⁿ⁻¹ es regular von Neumann. Sea b ∈ R un inverso de Rus de a. Entonces existen n idempotentes ortogonales no nulos {ek}k=1n en R (que dependen de b) tales que, si e=∑k=1n ek, entonces se verifica:

ea = ae,

aⁿ⁻¹e = aⁿ⁻¹,

(1 − e)a es nilpotente de índice menor que n,

eRe ≅ ℳ_n(e₁Re₁) y, si ei,ji,j=1n denotan a las matrices unidades del anillo de matrices eRe, entonces ea=∑k=1n−1 ek+1,k.

Para todo s ∈ {1, 2, ... , n − 1}, (ea)^s es unit-regular en eRe ya que, si d=∑k=1n−1 ek,k+1+en,1, entonces (ea)^sd^s (ea)^s = (ea)^s y d^s es invertible en eRe.

Demostración. Como a es un elemento nilpotente de R de índice n tal que aⁿ⁻¹ es regular von Neumann entonces, por el Lema 4.1.1, a tiene inverso de Rus en R, es decir, existe b ∈ R tal que

an−1ban−1=an−1,ban−1b=b y bakb=0

para todo k ∈ {0, 1, ... , n − 2}. Consideremos e_i,j = a^{i − 1} ba^{n − j} para i, j = 1, 2, ... , n. Entonces tenemos que

eu,ver,s=au−1ban−var−1ban−s=au−1ban−v+r−1ban−s=δv,rau−1ban−1ban−s=δv,rau−1ban−s=δv,reu,s,

donde δ_{v, r} denota la delta de Kronecker, es decir, δ_{v, r} = 0, si v ≠ r, y δ_{v, r} = 1, si v = r. Por lo tanto, {ek:=ek,k}k=1n es un conjunto de idempotentes ortogonales. Además, estos idempotentes son no nulos, ya que

en,kekek,1=en,1=an−1ban−1=an−1≠0.

Como e1a=ban=0,aen=anb=0yeka=(ak−1ban−k)a=ak−1ban−k+1=a(ak−2ban−k+1)=aek−1,

para todo k = 2, . . . , n, entonces e=∑k=1n ek es un idempotente de R que conmuta con a: ae=a(∑i=1n ei)=a(∑i=1n−1 ei)=(∑i=2n ei)a=(∑i=1n ei)a=ea.

an−1e=an−1e1=an−1ban−1=an−1.

Como (1−e)a=a−ea=a−ae=a(1−e) y (1−e)2=(1−e), entonces ((1−e)a)n−1=(1−e)an−1=an−1−ean−1=0.

Como {ei,j}i,j=1n es un conjunto de matrices unitarias, donde e_i,j = aⁱ⁻¹ba^n−j para cada i, j ∈ {1, 2, . . . , n}, entonces eRe es isomorfo al anillo de matrices M_n(e₁Re₁) (ver [50, (17.5) y (17.6)]). Además, tenemos que ea=eae=(e2+⋯+en)a(e1+⋯+en−1)=∑k=1n−1 ek+1aek=∑k=1n−1 (akban−k+1)a(ak−1ban−k)=∑k=1n−1 akban−1ban−k=∑k=1n−1 akban−k=∑k=1n−1 ek+1,k.

Si d=∑k=1n−1 ek,k+1+en,1, entonces ds=∑k=1n−s ek,k+s+∑k=1s en−s+k,k para todo s ∈ {1, 2, . . . , n} es invertible en eRe, ya que dn=∑k=1n ek,k. Por otra parte, como ea=∑k=1n−1 ek+1,k, entonces (ea)s=∑k=1n−s ek+s,k para todo s ∈ {1, 2, . . . , n − 1}, con lo que (ea)sds=∑k=1n−s ek+s,k+s y, por tanto, (ea)sds(ea)s=∑k=1n−s ek+s,k=(ea)s para todo s ∈ {1, 2, ... , n − 1}.

Observación 4.1.4. En la representación matricial de ea dada en el punto 4 del teorema anterior, se tiene que e_1,n = b = eb = be es un inverso de Rus de ea con idempotente asociado e.

Definición 4.1.5. Sea R un anillo y sea a ∈ R un elemento nilpotente de R con índice n tal que aⁿ⁻¹ es regular von Neumann. Sea b ∈ R un inverso de Rus de a y sea e el idempotente asociado a b. Al idempotente e se le llama idempotente bloque, y diremos que ea es un elemento bloque asociado al idempotente bloque e.

Observación 4.1.6. Si un elemento a ∈ R es regular von Neumann y nilpotente de índice 2, se tiene que a es un elemento bloque asociado al idempotente bloque e = ba + ab para cualquier inverso de Rus b de a. Nótese que, en general, si a ∈ R es nilpotente de índice n, aⁿ⁻¹ es regular von Neumann y b es un inverso de Rus de a, el idempotente bloque dado por el Teorema 4.1.3 es e = (a + b)ⁿ, ya que

(a+b)n=an−1b+an−2ba+⋯+aban−2+ban−1=∑i=1n ei=e,

por ser ba^kb = 0 para todo k = 0, 1, ..., n − 2.

Observación 4.1.7. El punto 5 del Teorema 4.1.3 nos ofrece una representación del elemento ea como un «bloque de Jordan» (como la forma canónica de Jordan de un elemento nilpotente en un anillo de endomorfismos de un espacio vectorial de dimensión finita). Además, tanto ea como sus potencias son regulares von Neumann, con lo que si a a es un elemento bloque nilpotente de índice n, la regularidad von Neumann de aⁿ⁻¹ implica que cada potencia de a es regular von Neumann.

Nótese que la forma canónica de Jordan obtenido en este teorema no es exactamente la forma canónica de Jordan de un anillo de matrices sobre un cuerpo. En el ambiente clásico, si a ∈ M_m (𝔽) es un elemento nilpotente de índice n, obtenemos tantos bloques de Jordan de tamaño n como el rango de aⁿ⁻¹. En la descomposición de Jordan dada en el apartado 4 del Teorema 4.1.3, todos los bloques de Jordan del mismo tamaño colapsan en uno.

Ejemplo 4.1.8. Sea 𝔽 un cuerpo y consideremos el anillo regular von Neumann R = M₆(𝔽). La matriz

A=0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0∈M6(F)

consiste en dos bloques de Jordan de tamaño 3 × 3 asociados al autovalor 0. Si ei,ji,j=16 denotan a las matrices unitarias de M₆(𝔽), entonces A = e_2,1 + e_3,2 + e_5,4 + e_6,5. El elemento A ∈ R es nilpotente de índice 3, ya que A² = e_3,1 + e_6,4. Un inverso de Rus de A es B = e_1,3 + e_4,6 ya que

A2BA2=(e3,1+e6,4)(e1,3+e4,6)(e3,1+e6,4)=(e3,3+e6,6)(e3,1+e6,4)=e3,1+e6,4=A2,BA2B=(e1,3+e4,6)(e3,1+e6,4)(e1,3+e4,6)=(e1,1+e4,4)(e1,3+e4,6)=e1,3+e4,6=B

BAB=e1,3+e4,6e2,1+e3,2+e5,4+e6,5e1,3+e4,6=e1,2+e4,5e1,3+e4,6=0.

Si denotamos por letras mayúsculas a los idempotentes e_i,j definidos en la demostración del Teorema 4.1.3, tenemos que

E1,1=BA2=(e1,3+e4,6)(e3,1+e6,4)=e1,1+e4,4,E2,2=ABA=(e2,1+e3,2+e5,4+e6,5)(e1,3+e4,6)(e2,1+e3,2+e5,4+e6,5)=(e2,3+e5,6)(e2,1+e3,2+e5,4+e6,5)=e2,2+e5,5

E3,3=A2B=(e3,1+e6,4)(e1,3+e4,6)=e3,3+e6,6,

con lo que

E=E1,1+E2,2+E3,3=Id

y, por tanto, A = EA es un elemento bloque asociado a la matriz identidad E en R.

Nótese que

E2,1=ABA2=AE1,1=e2,1+e3,2+e5,4+e6,5e1,1+e4,4=e2,1+e5,4

E3,2=A2BA=E3,3A=e3,3+e6,6e2,1+e3,2+e5,4+e6,5=e3,2+e6,5,

con lo que A = E_2,1 + E_3,2. Luego R ≅ M₃(E₁₁RE₁₁), con E₁₁RE₁₁ ≅ M₂(𝔽) y

A=0 0 0I 0 00 I 0, donde I=1 00 1.

Corolario 4.1.9. Sea R un anillo y sea a ∈ R un elemento nilpotente no nulo de índice n tal que as es regular von Neumann para todo s ∈ ℕ. Entonces existe una familia de idempotentes ortogonales no nulos {ui}i=1k de R que conmutan con a y tales que a=∑i=1k u_ia donde, para cada i ∈ {1, 2, …, k}, u_ia es un elemento bloque nilpotente de índice n_i, con n = n₁ > n₂ > … > n_k, asociado al idempotente bloque u_i.

Demostración. Sea a⁽¹⁾ := a. Por el Teorema 4.1.3 existe una familia de idempotentes ortogonales no nulos {ek(1)}k=1n tal que, si u1:=∑k=1n ek(1), entonces u₁a⁽¹⁾ = u₁a = a⁽¹⁾u₁ = au₁ es un elemento bloque nilpotente de índice n₁ = n y ((1 − u₁)a⁽¹⁾)ⁿ⁻¹ = 0. Por lo tanto, a(2):=(1−u1)a(1)=(1−u1)a es nilpotente de índice n₂, con n = n₁ > n₂. Veamos que (a⁽²⁾)^n₂−1 es regular von Neumann. Como a^n₂−1 es regular von Neumann, entonces existe c ∈ R tal que a^n₂−1ca^n₂−1 = a^n₂−1 y, si multiplicamos por 1 − u₁ por ambos lados obtenemos

(1−u1)an2−1can2−1(1−u1)=(1−u1)an2−1(1−u1),

con lo que

a(2)n2−1ca(2)n2−1=1−u1an2−1c1−u1an2−1=1−u1an2−1c1−u1an2−1=1−u1an2−1can2−11−u1=1−u1an2−11−u1=1−u1an2−1=a(2)n2−1.

Por el Teorema 4.1.3, existe una familia de idempotentes ortogonales no nulos ek(2)k=1n2 tal que, si u2:=∑k=1n2 ek(2), entonces u₂a⁽²⁾ = u₂(1 − u₁)a = a⁽²⁾u₂ es un elemento bloque nilpotente de índice n₂ = n y ((1 − u₂)a⁽²⁾)^n₂−1 = 0. Además, como ek(2)∈1−u1R1−u1 para todo k = 1, …, n₂, entonces u₂ ∈ (1 − u₁)R(1 − u₁), con lo u₁u₂ = 0 = u₂u₁. Ahora bien, como u₁u₂ = u₂u₁ = 0, u₂a⁽²⁾ = a⁽²⁾u₂ y a⁽²⁾ = (1 − u₁)a, entonces

u2(1−u1)a=u2a(2)=a(2)u2=(1−u1)au2,

es decir,

u2a−u2u1a=au2−u1au2=au2−au1u2.

Luego u₂a = au₂.

Mediante un argumento recursivo, tenemos que existe una familia de idempotentes ortogonales no nulos uii=1k de R, que conmutan con a, tales que u_ia es un elemento bloque nilpotente de índice n_i asociado al idempotente bloque u_i para todo i ∈ {1, 2,..., k}, donde n = n₁ > n₂ > … > n_k.

Por último, a=∑i=1k u_ia, ya que

a=u1a+1−u1a=u1a+u2a+1−u2a=⋯=∑i=1k uia.

Ahora seguimos el procedimiento clásico para extender los resultados anteriores a elementos algebraicos en un álgebra asociativa y unitaria R sobre un cuerpo 𝔽.

Teorema 4.1.10. Sea R un álgebra asociativa y unitaria sobre un cuerpo 𝔽 y sea a un elemento algebraico de R tal que su polinomio mínimo m_a(X) se descompone totalmente en 𝔽[X] como ∏i=1k (X−λi)ni, donde λ_i ≠ λ_j si i ≠ j. Supongamos que (a − λ_i)^k_i es regular von Neumann para cada k_i ≤ n_i, con i = 1, ..., k. Entonces existe una familia de idempotentes ortogonales {vs}s=1k y familias de idempotentes ortogonales {u_s,i} ⊂ v_sRv_s, todos conmutando con a, tal que a=∑s,i us,ia, donde cada u_s,ia – λ_su_s,i ∈ u_s,iRu_s,i es un elemento bloque nilpotente de índice n_s,i ≤ n_s asociado al idempotente bloque u_s,i, es decir, u_s,iRu_s,i ≅ ℳ_{n_s,i}(S_s,i) para algún álgebra unitaria S_s,i y u_s,ia tiene la forma

λs00⋯001λs0⋯0001λs⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯λs0000⋯1λs.

Demostración. Para cada s = 1, 2, . . . , k, definamos qs(X):=∏i≠s X−λini. Así, tenemos que q₁(X), . . . , q_k(X) son coprimos. Luego, aplicando la Identidad de Bézout, existen r₁(X), . . . , r_k(X) ∈ 𝔽[X] tales que

r1(X)q1(X)+r2(X)q2(X)+⋯+rk(X)qk(X)=1.

Si definimos v_s := r_s(a)q_s(a) para cada s = 1, 2, . . . , k, tenemos que vss=1k es una familia de idempotentes ortogonales que conmutan con a, ya que v_s ∈ 𝔽[a] para todo s ∈ {1, 2, . . . , k}. Luego v_s(a−λs) ∈ v_sRv_s es un elemento nilpotente de R de índice n_s para todo s ∈ {1, . . . , k}, por ser ∏i=1k a−λini=0 y

r1(a)q1(a)+r2(a)q2(a)+⋯+rk(a)qk(a)=1.

Nótese que, como para cada s = 1, 2, . . . , k, v_s(a−λ_s) = (a−λs)v_s y (a−λ_s)^k_i es regular von Neumann para todo k_i ≤ n_i entonces v_s(a − λ_s)^k_i es regular von Neuman para todo k_i ≤ n_i. Luego, aplicando el corolario anterior a cada v_s(a − λ_s) ∈ v_sRv_s, existe una familia de idempotentes ortogonales us,ii=1ms⊂vsRvs que conmutan con v_s(a − λ_s) y tales que

vsa−λs=∑i=1ms us,ivsa−λs,

donde cada u_s,iv_s(a−λ_s) es un elemento bloque nilpotente (asociado al idempotente bloque u_s,i) de índice n_s,i, donde n_s = n_s,1 > n_s,2 > . . . . Para cada s = 1, 2, …, k, se tiene que v_sRv_s es un anillo unitario con elemento unidad v_s, con lo que la familia de idempotentes {us,i}i=1ms puede completarse a una familia completa de idempotentes ortogonales añadiéndole el idempotente

us,ms+1=vs−∑i=1ms us,i,

siempre que u_{s,m_s+1} ≠ 0. De esta forma, tenemos que u_{s,m_s+1}(a – λ_s) = 0, con lo que {us,i}i=1ms+1 es una familia completa de idempotentes ortogonales que conmutan con v_s(a – λ_s), tales que

vs(a−λs)=∑i=1ms us,ivs(a−λs),

y donde cada u_s,iv_s(a – λ_s) es un elemento bloque nilpotente (asociado al idempotente bloque u_s,i) de índice n_s,i, donde n_s = n_s,1 > n_s,₂ > … > n_{s,m_s+1} = 1.

Ahora bien, como us,ii=1ms+1⊂vsRvs para cada s ∈ {1, 2, …, k}, entonces u_s,iv_s = u_s,i = v_su_s,i para todo u_s,i, con lo que cada u_s,i(a – λ_s) = u_s,ia – λ_su_s,i ∈ u_s,iRu_s,i es un elemento bloque nilpotente, asociado al idempotente bloque u_s,i, de índice n_s,i, donde n_s = n_s,1 > n_s,2 > … > n_{s,m_s+1}. Además, como cada u_s,i conmuta con v_s(a – λ_s), entonces cada u_s,i conmuta con a, ya que

us,ia−λsus,i=us,ivs(a−λs)=(a−λs)vsus,i=(a−λs)us,i=aus,i−λsus,i.

Por otra parte, como ∑i=1ms+1 us,i=vs y ∑s=1k vs=1, entonces

∑s,i us,ia=∑s vsa=a.

Por último, aplicando el Teorema 4.1.3 a cada elemento u_s,iv_s(a − λ_s) = u_s,i(a − λ_s) = u_s,i(a − λ_s)u_s,i ∈ u_s,i Ru_s,i ≅ M_{n_s,i} (S_s,i) con S_s,i un álgebra unitaria, tenemos que u_s,i(a − λ_s) puede verse como una matriz de tamaño n_s,i × n_s,i de la forma

000⋯00100⋯00010⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯00000⋯10,

con lo que u_s,ia puede verse como una matriz de tamaño n_s,i×n_s,i de la forma

λs00⋯001λs0⋯0001λs⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯λs0000⋯1λs.

Corolario 4.1.11. Todo elemento algebraico en un álgebra unitaria regular von Neumann sobre un cuerpo algebraicamente cerrado admite una forma canónica de Jordan.

Observación 4.1.12. En general, ni el inverso de Rus ni el idempotente asociado en el Teorema 4.1.3 son únicos: si R=M3(F) y a=e1,2∈R, el elemento b=e2,1∈R es un inverso de Rus de a y a es un elemento de bloque con idempotente bloque asociado

e=ba+ab=e2,1e1,2+e1,2e2,1=e1,1+e2,2

El elemento b′ = e_2,1 + e_3,1 ∈ R es otro inverso de Rus de a y a es un elemento de bloque con idempotente de bloque asociado

e′=ba+ab=(e2,1+e3,1)e1,2+e1,2(e2,1+e3,1)=e1,1+e2,2+e3,2.

Sin embargo, veremos que todos los idempotentes bloque coinciden cuando son centrales.

El siguiente resultado es (c) ⇒ (a) de [39, Theorem 7.2].

Lema 4.1.13. Sea R un anillo no necesariamente unitario y sea {ei}i=1n un conjunto de idempotentes ortogonales no nulos, donde uno de ellos puede ser de la forma 1 − e ∈ R¹, con e un idempotente de R y R1=R+ℤ1 la unitilización de R. Supongamos que existe xi∈R,i=1,…,n−1, con e1x1e2x2⋯en−1xn−1en≠0. Entonces R tiene un elemento nilpotente de índice n.

Demostración. Consideremos el elemento a:=∑i=1n−1 eixiei+1∈R. Entonces a es nilpotente de índice n, ya que an−1=e1x1e2x2⋯en−1xn−1en≠0 y aⁿ = 0.

Definición 4.1.14. Sea R un anillo y sea a ∈ R un elemento nilpotente de índice n tal que aⁿ⁻¹ es regular von Neumann. Diremos que a es un bloque maximal si uno de los idempotentes bloque asociados a a está en el centro de R, es decir, si existe un inverso de Rus de a tal que el idempotente construido en el Teorema 4.1.3 es central.

Proposición 4.1.15. Sea R un anillo y sea a ∈ R un bloque maximal. Entonces todos los idempotentes bloque centrales asociados a a coinciden.

Demostración. Sea a ∈ R un elemento nilpotente de índice n tal que aⁿ⁻¹ es regular von Neumann y supongamos que e es un idempotente bloque asociado a a tal que e ∈ Z(R). Por el apartado 4 del Teorema 4.1.3, tenemos que eRe≅Mn(e1Re1) у ea=∑k=1n−1 ek+1,k. Denotemos por ⟨aⁿ⁻¹⟩ al ideal generado por aⁿ⁻¹. Veamos que ⟨aⁿ⁻¹⟩ = eR. Por una parte, como ea=∑k=1n−1 ek+1,k, entonces

an−1=ean−1=(ea)n−1=en,1,

con lo que

ei,j=ei,nen,1e1,j∈an−1

para todo i, j ∈ {1, ..., n} y, por tanto, e ∈ ⟨aⁿ⁻¹⟩. Luego eR⊆an−1. Por otra parte, como an−1=ean−1∈eR y eR es un ideal de R por ser e∈Z(R), entonces an−1⊆eR. Por lo tanto, an−1 es un anillo unitario, siendo e su elemento unidad.

Supongamos ahora que e′ ∈ Z(R) es otro elemento bloque asociado a a. Repitiendo el mismo razonamiento, tenemos que ⟨aⁿ⁻¹⟩ = e′R, siendo e′ el elemento unidad de ⟨aⁿ⁻¹⟩, con lo que e′ = e.

Corolario 4.1.16. Sea R un anillo y sea a ∈ R un elemento nilpotente de R de índice maximal n tal que aⁿ⁻¹ es regular von Neumann. Entonces a es un bloque maximal y sus idempotentes bloque asociados coinciden.

Demostración. Como a es nilpotente de índice n y aⁿ⁻¹ es regular von Neumann entonces, por el Teorema 4.1.3, existen n idempotentes ortogonales no nulos {ei}i=1n tales que e=∑i=1n ei es un idempotente bloque asociado a a. Veamos que eR(1 − e) = 0 = (1 − e)Re.

Por reducción al absurdo, supongamos que eR(1 − e) ≠ 0. Como eR(1 − e) ≠ 0, existe k ∈ {1, . . . , n} y x ∈ R tales que ek,kx(1−e)≠0, con lo que

e1,1e1,2e2,2⋯ek−1,k−1ek−1,k+1ek+1,k+1⋯en,nen,kek,kx(1−e)≠0.

Por el lema 4.1.13, existe un elemento nilpotente de índice n + 1, lo cual es una contradicción, ya que R no tiene elementos nilpotentes de índice mayor que n. Luego eR(1 − e) = 0.

De forma análoga, se tiene que (1 − e)Re = 0 y, por tanto, e ∈ Z(R), con lo que todos los idempotentes bloque asociados a a son centrales. Aplicando ahora la Proposición 4.1.15, obtenemos que todos los idempotentes bloques asociados a a coinciden.

Varios autores han estudiado los anillos semiprimos con índice de nilpotencia acotado como, por ejemplo, los trabajos de Beidar y Mikhalev [15] y Hannah [40]. Mencionamos también el resultado de Armendáriz [4, Theorem 1], donde demostró que un anillo semiprimo de índice máximo n es un producto subdirecto de anillos primos de índices menores o iguales que n.

En el siguiente resultado describimos la estructura de los anillos con un elemento nilpotente a de índice máximo n y tal que a^n-1 es regular von Neumann. Con algunas condiciones adicionales sobre la regularidad del anillo, damos descripciones más precisas sobre los coeficientes de los anillos de matrices involucrados. Algunos de los apartados de este teorema ya han aparecido en la literatura (por ejemplo, el segundo punto es [39, Lemma 7.17] y el quinto punto es [39, Theorem 7.9]).

Teorema 4.1.17. Sea R un anillo y sea a ∈ R un elemento nilpotente de índice maximal n tal que aⁿ⁻¹ es regular von Neumann. Entonces

Cualquier inverso de Rus de a da lugar al mismo idempotente (central) e y R = eRe ⊕ (1 − e)R(1 − e). Además, eRe≅Mn(S), donde S es un anillo unitario sin elementos nilpotentes no nulos.

Si R es regular von Neumann, eRe≅Mn(S), donde S es regular abeliano.

Si R es indescomponible, R≅Mn(S), donde S es un anillo unitario sin elementos nilpotentes no nulos.

Si R es primo, R≅Mn(S), donde S es dominio unitario.

Si R es indescomponible y regular von Neumann, R≅Mn(Δ), donde Δ es un anillo de división.

En cualquer caso, si R es indescomponible, e = 1 y a es un elemento bloque.

Demostración. Como a es nilpotente de índice n y aⁿ⁻¹ es regular von Neumann entonces, por el Teorema 4.1.3, existen n idempotentes ortogonales no nulos eii=1n tales que e=∑i=1n ei y ea=ae∈eRe≅Mne1Re1.

Por el Corolario 4.1.16, solo existe un idempotente bloque (central) asociado a a y R = eRe ⊕ (1 − e)R(1 − e). Supongamos que b ∈ e₁Re₁ es un elemento nilpotente no nulo de índice m. Veamos que b+∑k=1n−1 ek,k+1 es nilpotente de índice n + 1. En primer lugar, nótese que como b ∈ e₁Re₁ ⊂ R y el índice de nilpotencia maximal en R es n, entonces m ≤ n. Ahora bien, dado l ∈ ℕ, tenemos que b+∑k=1n−1 ek,k+1l=bl+be1,l+∑k=1n−l ek,k+l, ya que b = e_1,1be_1,1 ∈ e₁Re₁. En particular, tenemos que b+∑k=1n−1 ek,k+1n−1=bn−1+be1,n−1+e1,n, con lo que b+∑k=1n−1 ek,k+1n=bn+be1,n=be1,n≠0 por ser b = be_1,1 = be_1,ne_n,1 ≠ 0. Por lo tanto, b+∑k=1n−1 ek,k+1 es un elemento nilpotente de índice n + 1 > n, lo cual es una contradicción. Luego e₁Re₁ no tiene elementos nilpotentes no nulos.

Si R es regular von Neumann, entonces S = e₁Re₁ es regular von Neumann. Como S no tiene elementos nilpotentes no nulos y es regular von Neumann, entonces S es regular abeliano ([39, Theorem 3.2]).

Si R es indescomponible entonces e = 1, ya que eaⁿ⁻¹ = aⁿ⁻¹ = 0, por ser a nilpotente de índice n. Luego, por el apartado 1, tenemos que R≅Mn(S) y S = e₁Re₁ es un anillo unitario sin elementos nilpotentes no nulos.

Si R es primo, entonces R es indescomponible y, por tanto, e = 1 y R≅Mn(S). Como R es primo, entonces S = e₁Re₁ es también primo. Como S es un anillo primo y no tiene elementos nilpotentes no nulos, entonces S es un dominio.

Como R es indescomponible y regular von Neumann, entonces R≅Mn(S), donde S es regular abeliano. Veamos que S es un anillo de división. Sea x ∈ S, con x ≠ 0. Como S es regular von Neumann, existe entonces y ∈ S tal que xyx = x y, por tanto, xy es un idempotente (central) de S distinto de cero. Luego ∑i=1n (xy)ei,i∈R es un idempotente central no nulo de R. Ahora bien, como R≅Mn(S) es indescomponible y xy ≠ 0, entonces 1=∑i=1n (xy)ei,i=(xy)∑i=1n ei,i, con lo que xy = 1. Por lo tanto, S es un anillo de división.

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CAPÍTULO 5 <target target-type="page" id="pges_88"/><target target-type="page" id="pges_89"/>RESULTADOS Y MÉTODOS

5.1. <bold>Resultados principales</bold>

A modo de resumen, los principales resultados de este trabajo son los siguientes:

El Corolario 3.1.4 ([36]), que nos indica bajo qué condiciones un álgebra de Jordan L_a, asociada a un elemento ad-nilpotente a de índice menor o igual que 3 en un álgebra de Lie L, es especial. Concretamente:

Sea L un álgebra de Lie fuertemente prima sobre un anillo de escalares ϕ, con12,13∈ϕ, y sea a ∈ L un elemento Jordan. Si Ker_La no es subálgebra de L, entonces L_a es un álgebra de Jordan fuertemente prima y especial.

El Corolario 3.2.6 ([36]), con el que obtenemos la especialidad del subcociente asociado a un ideal interno abeliano B de un álgebra de Lie L:

Sea L un álgebra de Lie fuertemente prima sobre un anillo de escalares ϕ. Sea B un ideal interno abeliano de L y consideremos Ker_LB. Supongamos que existe n ∈ ℕ tal que [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B. Si Ker_LB no es subálgebra de L, entonces el subcociente (B, L/Ker_LB) es un par de Jordan especial fuertemente primo.

El apartado 4 del Teorema 4.1.3 ([38]) que nos permite caracterizar un elemento ea ∈ R como un bloque de Jordan de tamaño n × n, donde a es un elemento nilpotente de R de índice n, con aⁿ⁻¹ regular von Neumann, y e es un idempotente de R que se construye a partir de a:

Sea R un anillo y sea a ∈ R un elemento nilpotente de R con índice n tal que aⁿ⁻¹ es regular von Neumann. Sea b ∈ R un inverso de Rus de a. Entonces existen n idempotentes ortogonales no nulos {ek}k=1n en R (que dependen de b) tales que, si e=∑k=1nek, entonces eRe ≌ M_n(e₁Re₁) y, si {ei,j}i,j=1n denotan a las matrices unidades del anillo de matrices eRe, entonces ea=eae=∑k=1n−1ek+1,k.

Gracias a este resultado y al hecho que se recoge en el punto 3 del Teorema 4.1.3, que nos indica que (1 − e)a es nilpotente de índice menor que n, tenemos el Corolario 4.1.9 ([38]) que nos descompone un elemento nilpotente a en un anillo arbitario R como suma de elementos bloque nilpotentes siempre que todas las potencias del elemento a sean regular von Neumann:

Sea R un anillo y sea a ∈ R un elemento nilpotente no nulo de índice n tal que a^s es regular von Neumann para todo s ∈ ℕ. Entonces existe una familia de idempotentes ortogonales no nulos uii=1k de R que conmutan con a y tales que a=∑i=1k u_ia donde, para cada i ∈ {1, 2,…, k}, u_ia es un elemento bloque nilpotente de índice n_i, con n = n₁ > n₂ > … > n_k, asociado al idempotente bloque u_i.

En otras palabras, este resultado nos aporta una forma canónica de Jordan del elemento nilpotente a.

5.2. <bold>Métodos utilizados</bold>

La metodología aplicada para lograr los resultados citados anteriormente podrían resumirse de la siguiente forma:

Para el estudio de la especialidad del álgebra de Jordan L_a, la clave está en utilizar el álgebra 5-graduada L^=G−2⊕G−1/G−2⊕G0/G−1⊕G1/G0⊕G2/G1, que aparece gracias a la filtración principal definida por a, G−2⊂G−1⊂G0⊂G1⊂G2, donde 𝒢₋₂ = (a)_L = [a, [a, L]] + Φ_a. 𝒢₁ = Ker_La y 𝒢₂ = L, dada en [35].

Gracias a esta filtración, obtenemos que el par de aplicaciones Ψ1:G−2⟶Hom(G1/G0,G−1/G−2) Ψ−1:G2/G1⟶Hom(G−1/G−2,G1/G0) definidas por Ψ₁(b) = ad_b para todo b∈[a,[a,L]]+ϕa,yΨ−1(x¯)=adx¯ para todo x¯∈L/KerLa, es un homomorfismo de pares de Jordan entre V=(G−2,G2/G1) y el par de Jordan especial (Hom(G1/G0,G−1/G−2),Hom(G−1/G−2,G1/G0))(+). Por último, gracias a un resultado técnico, obtenemos que el núcleo de este homomorfismo entre pares de Jordan es cero si L es un álgebra de Lie fuertemente prima tal que Ker_La no sea un subálgebra de L.

Dado un ideal interno abeliano B, para determinar las condiciones bajo las cuales el subcociente (B, Ker_LB) es especial se sigue el mismo procedimiento, sin embargo, en este caso no disponemos de una filtración adecuada. Por ello, el primer paso es construir una filtración asociada a B, es decir, una cadena de conjuntos …⊂F−n⊂F−n+1⊂…⊂F0⊂…⊂Fn−1⊂Fn⊂… donde F−m:={0} y Fm:=L para todo m > n y F−n:=B⋮F−k:=[B,KerLB]k+B, para k=1,…,n−1⋮F0:={x∈L:[x,B]⊂B}a⋮Fs:=ad[B,KerLB]n−s−1(KerLB)+F0, para s=1,…,n−1⋮Fn:=L De esta forma, se obtiene que el álgebra de Lie ℤ-graduada inducida L^=F−n⏟L^−n⊕⋯⊕Fn/Fn−1⏟L^n tiene como par de Jordan asociado al subcociente (L^−n,L^n)=(B,L/KerLB) y, por tanto, el par de aplicaciones Ψn−1:L^−n→Hom(L^n−1,L^−1) Ψ1−n:L^n→Hom(L^−1,L^n−1) definidas por Ψ_σ(n−1)(x)(y) = ad_xy para todo x∈L^−σn y para todo y∈L^n−1, si σ=+ o y∈L^−1 si σ=−, es un homomorfismo de pares de Jordan entre (B,L/KerLB)=(L^−n,L^n) y el par de Jordan especial (Hom(L^n−1,L^−1),Hom(L^−1,L^n−1))(+). Para poder determinar esta ℤ-filtración acotada asociada a un ideal interno abeliano B necesitamos una condición aparentemente fuerte: que exista n ∈ ℕ tal que [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B. Esta restricción termina resultando menos restrictiva de lo que parece, ya que se verifica en las álgebras de Lie mas usuales.

Por último, gracias a algunos resultados técnicos, obtenemos que el núcleo del homomorfismo entre pares de Jordan (Ψ_n−1, Ψ_1−n) es nulo si L es un álgebra de Lie fuertemente prima y Ker_LB no es un subálgebra de L.

Para determinar la forma canónica de Jordan del elemento nilpotente a dada en el Corolario 4.1.9, debemos construir un idempotente e de R, que conmuta con a, y tal que eRe ≌ M_n(S), donde S es un anillo unitario. Gracias a este idempotente, podemos expresar el elemento a como a = ea + (1 − e)a, siendo ea ∈ eRe ≌ M_n(S) un bloque de Jordan de tamaño n × n.

Para ello, hacemos uso de un inverso de Rus de a, esto es, un elemento b ∈ R tal que aⁿ⁻¹baⁿ⁻¹ = aⁿ⁻¹, baⁿ⁻¹b = b y ba^kb = 0 para todo k ∈ {0, 1, …, n − 2}. Dado un inverso de Rus b del elemento a, podemos construir una familia de idempotentes {ei}i=1n de manera que e=∑i=1nei.

Además, se tiene que el anillo unitario S que aparecía como anillo de escalares bajo el isomorfismo eRe ≌ M_n(S) es S = e₁Re₁.

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PARTE III <target target-type="page" id="pges_93"/>DISCUSIÓN GENERAL

<bold><target target-type="page" id="pges_94"/><target target-type="page" id="pges_95"/>ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS Y CONCLUSIONES PARCIALES</bold>

En la primera parte de este trabajo nos centramos en estudiar la especialidad del álgebra de Jordan asociado a un elemento ad-nilpotenten de índice menor o igual a 3 y la especialidad del subcociente asociado a un ideal interno abeliano ([36]).

En el caso del álgebra de Jordan L_a asociada a un elemento ad-nilpotente a de índice menor o igual a 3 de un álgebra de Lie L fuertemente prima sobre un anillo de escalares ϕ, con 12,13∈ϕ, tenemos que L_a es especial si el conjunto

KerLa={x∈L:[a,[a,x]]=0}

no es un subálgebra de L. Para ello, utilizamos el trabajo de Esther García y Miguel Gómez [35] en el que se demuestra que para cualquier elemento ad-nilpotente de índice menor o igual que 3 a ∈ L da lugar a una filtración

G−2⊂G−1⊂G0⊂G1⊂G2,

donde G−2=(a)L=[a,[a,L]]+Φa,G1=KerLa y G2=L, lo que induce un álgebra 5-graduada

L^=G−2⊕G−1/G−2⊕G0/G−1⊕G1/G0⊕G2/G1.

Nótese que, es este caso, se tiene que

(a)L,KerLa=G−2,G1⊂G−1,

con lo que [(a)_L, Ker_La]² ⊂ 𝒢_–2 = (a)_L y [(a)_L, Ker_La]³ = 0. Esta filtración principal asociada a un elemento ad-nilpotente de índice menor o igual que 3 y sus propiedades serán de utilidad para poder construir posteriormente una filtración asociada a un ideal interno abeliano de un álgebra de Lie.

Cuando B es un ideal interno abeliano de un álgebra de Lie L fuertemente prima, no solo tenemos que pedir que el conjunto

KerLB={x∈L:[B,[B,x]]=0}

no sea un subálgebra de L, sino que necesitamos que [B, Ker_LB] sea una subálgebra nilpotente de L. Esta condición se tiene cuando existe n ∈ ℕ tal que [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B, ya que esto implica que

B,KerLBn+1⊂B,B,KerLB=0.

Bajo la condición [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B para algún n ∈ ℕ, podemos construir una ℤ-filtración acotada asociada al ideal interno abeliano B de manera que B es el primer submódulo no nulo de la filtración. Además, el par de Jordan asociado al álgebra de Lie ℤ-graduada inducida por esta filtración coincide con el subcociente (B, L/Ker_LB). Esta filtración extiende a la filtración principal inducida por un elemento ad-nilpotente de índice menor o igual que 3 definida en [35].

Por lo tanto, si pedimos como condición extra que exista n ∈ ℕ tal que [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B, no solo tendremos que [B, Ker_LB] es nilpotente, sino que además podremos utilizar la filtración inducida por el ideal interno abeliano B para demostrar la especialidad del subcociente (B, L/Ker_LB).

En ese caso, debemos analizar la hipótesis [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B para algún n ∈ ℕ, llegando a la conclusión de que no es una hipótesis muy restrictiva, ya que se verifica en las álgebras de Lie más usuales: si B es un ideal interno abeliano de un álgebra asociativa semiprima R, B es un ideal interno abeliano de los elementos antisimétricos de un álgebra asociativa semiprima con involución, o B es un ideal interno abeliano de longitud finita de un álgebra de Lie no degenerada, la condición [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B siempre se verifica para un cierto n ∈ ℕ. Sin embargo, queda abierta la cuestión de si siempre existe n ∈ ℕ tal que [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B en un álgebra de Lie L no degenerada, fuertemente prima o simple.

Analizamos también la relación existente entre la filtración principal asociada a un elemento ad-nilpotente a ∈ L de índice menor o igual que 3 en un álgebra de Lie no degenerada sobre un anillo de escalares ϕ, con 12,13∈ϕ, y la filtración asociada al ideal interno abeliano B = (a)_L = [a, [a, L]] + Φa. Si denotamos por {𝒢_i}_i∈ℤ a la filtración principal definida por a dada en [35] y por {F_i}_i∈ℤ a la filtración asociada al ideal interno abeliano B = (a)_L, tenemos entonces que

F−2⊂F−1⊂F0⊂F1=K⊂F2=L∥∥∪∥∥G−2⊂G−1⊂G0⊂G1=K⊂G2=L

Además, ambas filtraciones coinciden cuando a ∈ [a, [a, L]].

En la segunda parte del trabajo obtenemos una forma canónica de Jordan de un elemento nilpotente en un anillo arbitrario ([38]). Si a ∈ R es un elemento nilpotente del índice n y a^n–1 es regular von Neumann, podemos construir un idempotente e ∈ R, que conmuta con a, y tal que eRe ≌ M_n(S), donde S es un anillo unitario. Además, el elemento a se descompone como a = ea + (1 − e)a, siendo ea ∈ eRe ≅ M_n(S) un bloque de Jordan de tamaño n ⨯ n y (1 − e)a un elemento nilpotente de índice menor que n. Tal idempotente e aparece gracias al concepto de inverso de Rus del elemento a, esto es, un elemento b de R verificando que a^n–1ba^n–1 = a^n–1, ba^n–1b = b y ba^kb = 0 para todo k ∈ {0, 1,…, n – 2}. Dado un inverso de Rus de a, definimos una familia de idempotentes eii=1n, con ei=ai−1ban−i, tal que e=∑i=1n ei.

Gracias a este resultado, demostramos que si a ∈ R es un elemento nilpotente tal que a^s es regular von Neumann para todo s ∈ ℕ, entonces existe una familia de idempotentes ortogonales no nulos uii=1k, todos ellos conmutando con a, tales que a se pueden descomponer como a=∑i=1k uia, donde cada elemento u_ia es un elemento bloque nilpotente de índice n_i, con n = n₁ > n₂ > · · · > n_k, asociado al idempotente bloque u_i. Al ser cada sumando u_ia un bloque de Jordan, llamaremos forma canónica de Jordan del elemento nilpotente a a la suma de estos bloques de Jordan.

Aplicamos estos resultados para describir la estructura de los anillos con un elemento nilpotente a de índice máximo n y tal que a^n–1 es regular von Neumann. Con algunas condiciones adicionales sobre la regularidad del anillo, damos descripciones más precisas sobre los coeficientes de los anillos de matrices involucrados. Por ejemplo, si R es regular von Neumann, entonces eRe ≌ M_n(S), donde S es regular abeliano y, si además R es indescomponible, entonces S resulta ser un anillo de división.

URJC

PARTE IV <target target-type="page" id="pges_98"/><target target-type="page" id="pges_99"/>CONCLUSIONES GENERALES

<bold><target target-type="page" id="pges_100"/><target target-type="page" id="pges_101"/>PRINCIPALES HALLAZGOS E IMPLICACIONES</bold>

La posibilidad de poder ver un sistema de Jordan dentro de un sistema asociativo ha sido considerada desde el comienzo de la Teoría de Jordan. Por ello, uno de los resultados principales de este trabajo ha sido dar condiciones bajo las cuales sistemas de Jordan asociados a un álgebra de Lie L fuertemente prima son especiales. Se ha estudiado la especialidad tanto del álgebra de Jordan asociado a un elemento ad-nilpotente de índice menor o igual que 3 como del subcociente asociado a un ideal interno abeliano. Además, ambas condiciones son condiciones Lie, aunque tratamos con sistemas de Jordan.

En el caso del álgebra de Jordan L_a asociada a un elemento ad-nilpotente a de índice menor o igual que 3 de un álgebra de Lie L fuertemente prima sobre un anillo de escalares ϕ, con 12,13∈ϕ, tenemos que L_a es especial si Ker_La no es un subálgebra de L.

Cuando B es un ideal interno abeliano de un álgebra de Lie L fuertemente prima, tal que [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B para algún n ∈ ℕ y Ker_LB no sea un subálgebra de L, entonces el subcociente (B, L/Ker_LB) es especial. Gracias a este resultado obtenemos que si R es un álgebra asociativa sobre un anillo de escalares ϕ, tal que 12,13∈ϕ, y consideramos el álgebra de Lie L = R⁻ /Z(R) entonces el subcociente (B, L/Ker_LB) es especial y fuertemente primo para cualquier ideal interno abeliano B de L. Estos resultados se encuentra en el artículo publicado [36].

Otro resultado de suma importancia es poder caracterizar un elemento ea ∈ R como un bloque de Jordan de tamaño n × n, donde a es un elemento nilpotente de R de índice n, con aⁿ⁻¹ regular von Neumann, y e es un idempotente de R. Concretamente, si a ∈ R es un elemento nilpotente del índice n con a^n–1 es regular von Neumann, podemos encontrar un elemento b ∈ R tal que a^n–1ba^n–1 = a^n–1, ba^n–1b = b y ba^kb = 0 para todo k ∈ {0, 1, …, n − 2}.

A un elemento con estas características se le denomina inverso de Rus de b. Dado un inverso de Rus del elemento a, construimos una familia de idempotentes eii=1n, con e_i = a^i–1ba^n–i. De esta forma, obtenemos que e=∑i=1n ei es un idempotente que conmuta con a y tal que eRe ≅ M_n(S), donde S es un anillo unitario. Haciendo uso de este idempotente e, el elemento a se descompone como a = ea + (1 − e)a, siendo ea ∈ eRe ≅ M_n(S) un bloque de Jordan de tamaño n ⨯ n, asociado al idempotente bloque e, y (1 – e)a un elemento nilpotente de índice menor que n.

Gracias a esto podemos describir la estructura de los anillos con un elemento nilpotente a de índice máximo n y tal que a^n–1 es regular von Neumann. Concretamente, si R es indescomponible, entonces a es un elemento bloque asociado al idempotente e = 1 y R ≅ M_n(S), donde S es un anillo unitario sin elementos nilpotentes no nulos. Si además R es regular von Neumann, entonces R ≅ M_n(Δ), donde Δ es un anillo de división. Por otra parte, si R es regular von Neumann, entonces eRe ≅ M_n(S), donde S es regular abeliano y, si R es primo, R ≅ M_n(S), donde S es dominio unitario.

Además, podemos utilizar también este resultado para determinar la forma canónica de un elemento nilpotente en un anillo R. Si a es un elemento nilpotente de R tal que para todo s ∈ ℕ se verifica que a^s es regular von Neumann, podemos construir una familia de idempotentes ortogonales no nulos {ui}i=1k, tales que u_ia = au_i para todo i = 1, 2, …, k, de manera que a se puede descomponer en una suma finita de elementos bloques nilpotentes de índices decrecientes asociados a esos idempotentes. Concretamente, se tiene que a=∑i=1k uia, donde cada elemento u_ia es un elemento bloque nilpotente de índice n_i, con n = n₁ > n₂ > … > n_k, asociado al idempotente bloque u_i. A esta descomposición en bloques de Jordan se le denomina forma canónica de Jordan del elemento nilpotente a. Estos resultados pueden verse en el artículo publicado [38].

URJC

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