La posibilidad de poder ver un sistema de Jordan dentro de un sistema asociativo ha sido considerada desde el comienzo de la Teoría de Jordan. Por ello, uno de los resultados principales de este trabajo ha sido dar condiciones bajo las cuales sistemas de Jordan asociados a un álgebra de Lie L fuertemente prima son especiales. Se ha estudiado la especialidad tanto del álgebra de Jordan asociado a un elemento ad-nilpotente de índice menor o igual que 3 como del subcociente asociado a un ideal interno abeliano. Además, ambas condiciones son condiciones Lie, aunque tratamos con sistemas de Jordan.
En el caso del álgebra de Jordan La asociada a un elemento ad-nilpotente a de índice menor o igual que 3 de un álgebra de Lie L fuertemente prima sobre un anillo de escalares ϕ, con , tenemos que La es especial si KerLa no es un subálgebra de L.
Cuando B es un ideal interno abeliano de un álgebra de Lie L fuertemente prima, tal que [B, KerLB]n ⊂ B para algún n ∈ ℕ y KerLB no sea un subálgebra de L, entonces el subcociente (B, L/KerLB) es especial. Gracias a este resultado obtenemos que si R es un álgebra asociativa sobre un anillo de escalares ϕ, tal que , y consideramos el álgebra de Lie L = R− /Z(R) entonces el subcociente (B, L/KerLB) es especial y fuertemente primo para cualquier ideal interno abeliano B de L. Estos resultados se encuentra en el artículo publicado [36].
Otro resultado de suma importancia es poder caracterizar un elemento ea ∈ R como un bloque de Jordan de tamaño n × n, donde a es un elemento nilpotente de R de índice n, con an−1 regular von Neumann, y e es un idempotente de R. Concretamente, si a ∈ R es un elemento nilpotente del índice n con an–1 es regular von Neumann, podemos encontrar un elemento b ∈ R tal que an–1ban–1 = an–1, ban–1b = b y bakb = 0 para todo k ∈ {0, 1, …, n − 2}.
A un elemento con estas características se le denomina inverso de Rus de b. Dado un inverso de Rus del elemento a, construimos una familia de idempotentes , con ei = ai–1ban–i. De esta forma, obtenemos que es un idempotente que conmuta con a y tal que eRe ≅ Mn(S), donde S es un anillo unitario. Haciendo uso de este idempotente e, el elemento a se descompone como a = ea + (1 − e)a, siendo ea ∈ eRe ≅ Mn(S) un bloque de Jordan de tamaño n ⨯ n, asociado al idempotente bloque e, y (1 – e)a un elemento nilpotente de índice menor que n.
Gracias a esto podemos describir la estructura de los anillos con un elemento nilpotente a de índice máximo n y tal que an–1 es regular von Neumann. Concretamente, si R es indescomponible, entonces a es un elemento bloque asociado al idempotente e = 1 y R ≅ Mn(S), donde S es un anillo unitario sin elementos nilpotentes no nulos. Si además R es regular von Neumann, entonces R ≅ Mn(Δ), donde Δ es un anillo de división. Por otra parte, si R es regular von Neumann, entonces eRe ≅ Mn(S), donde S es regular abeliano y, si R es primo, R ≅ Mn(S), donde S es dominio unitario.
Además, podemos utilizar también este resultado para determinar la forma canónica de un elemento nilpotente en un anillo R. Si a es un elemento nilpotente de R tal que para todo s ∈ ℕ se verifica que as es regular von Neumann, podemos construir una familia de idempotentes ortogonales no nulos , tales que uia = aui para todo i = 1, 2, …, k, de manera que a se puede descomponer en una suma finita de elementos bloques nilpotentes de índices decrecientes asociados a esos idempotentes. Concretamente, se tiene que , donde cada elemento uia es un elemento bloque nilpotente de índice ni, con n = n1 > n2 > … > nk, asociado al idempotente bloque ui. A esta descomposición en bloques de Jordan se le denomina forma canónica de Jordan del elemento nilpotente a. Estos resultados pueden verse en el artículo publicado [38].