Parte III

Discusión General

Análisis de los resultados y conclusiones parciales

En la primera parte de este trabajo nos centramos en estudiar la especialidad del álgebra de Jordan asociado a un elemento ad-nilpotenten de índice menor o igual a 3 y la especialidad del subcociente asociado a un ideal interno abeliano ([36]).

En el caso del álgebra de Jordan L_a asociada a un elemento ad-nilpotente a de índice menor o igual a 3 de un álgebra de Lie L fuertemente prima sobre un anillo de escalares ϕ, con $\frac{1}{2},\frac{1}{3}\in \varphi$, tenemos que L_a es especial si el conjunto

$${\mathrm{Ker}}_{L}a=\{x\in L:[a,[a,x]]=0\}$$

no es un subálgebra de L. Para ello, utilizamos el trabajo de Esther García y Miguel Gómez [35] en el que se demuestra que para cualquier elemento ad-nilpotente de índice menor o igual que 3 a ∈ L da lugar a una filtración

$${\mathcal{G}}_{-2}\subset {\mathcal{G}}_{-1}\subset {\mathcal{G}}_0\subset {\mathcal{G}}_1\subset {\mathcal{G}}_2,$$

donde ${\mathcal{G}}_{-2}=(a{)}_L=[a,[a,L]]+\mathrm{\Phi }a,{\mathcal{G}}_1={\mathrm{Ker}}_{L}a$ y ${\mathcal{G}}_2=L$, lo que induce un álgebra 5-graduada

$$\widehat{L}={\mathcal{G}}_{-2}\oplus {\mathcal{G}}_{-1}/{\mathcal{G}}_{-2}\oplus {\mathcal{G}}_0/{\mathcal{G}}_{-1}\oplus {\mathcal{G}}_1/{\mathcal{G}}_0\oplus {\mathcal{G}}_2/{\mathcal{G}}_1.$$

Nótese que, es este caso, se tiene que

$$\left[(a{)}_L,{\mathrm{Ker}}_{L}a\right]=\left[{\mathcal{G}}_{-2},{\mathcal{G}}_1\right]\subset {\mathcal{G}}_{-1},$$

con lo que [(a)_L, Ker_La]² ⊂ 𝒢_–2 = (a)_L y [(a)_L, Ker_La]³ = 0. Esta filtración principal asociada a un elemento ad-nilpotente de índice menor o igual que 3 y sus propiedades serán de utilidad para poder construir posteriormente una filtración asociada a un ideal interno abeliano de un álgebra de Lie.

Cuando B es un ideal interno abeliano de un álgebra de Lie L fuertemente prima, no solo tenemos que pedir que el conjunto

$${\mathrm{Ker}}_{L}B=\{x\in L:[B,[B,x]]=0\}$$

no sea un subálgebra de L, sino que necesitamos que [B, Ker_LB] sea una subálgebra nilpotente de L. Esta condición se tiene cuando existe n ∈ ℕ tal que [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B, ya que esto implica que

$${\left[B,{\mathrm{Ker}}_{L}B\right]}^{n+1}\subset \left[B,\left[B,{\mathrm{Ker}}_{L}B\right]\right]=0.$$

Bajo la condición [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B para algún n ∈ ℕ, podemos construir una ℤ-filtración acotada asociada al ideal interno abeliano B de manera que B es el primer submódulo no nulo de la filtración. Además, el par de Jordan asociado al álgebra de Lie ℤ-graduada inducida por esta filtración coincide con el subcociente (B, L/Ker_LB). Esta filtración extiende a la filtración principal inducida por un elemento ad-nilpotente de índice menor o igual que 3 definida en [35].

Por lo tanto, si pedimos como condición extra que exista n ∈ ℕ tal que [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B, no solo tendremos que [B, Ker_LB] es nilpotente, sino que además podremos utilizar la filtración inducida por el ideal interno abeliano B para demostrar la especialidad del subcociente (B, L/Ker_LB).

En ese caso, debemos analizar la hipótesis [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B para algún n ∈ ℕ, llegando a la conclusión de que no es una hipótesis muy restrictiva, ya que se verifica en las álgebras de Lie más usuales: si B es un ideal interno abeliano de un álgebra asociativa semiprima R, B es un ideal interno abeliano de los elementos antisimétricos de un álgebra asociativa semiprima con involución, o B es un ideal interno abeliano de longitud finita de un álgebra de Lie no degenerada, la condición [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B siempre se verifica para un cierto n ∈ ℕ. Sin embargo, queda abierta la cuestión de si siempre existe n ∈ ℕ tal que [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B en un álgebra de Lie L no degenerada, fuertemente prima o simple.

Analizamos también la relación existente entre la filtración principal asociada a un elemento ad-nilpotente a ∈ L de índice menor o igual que 3 en un álgebra de Lie no degenerada sobre un anillo de escalares ϕ, con $\frac{1}{2},\frac{1}{3}\in \varphi$, y la filtración asociada al ideal interno abeliano B = (a)_L = [a, [a, L]] + Φa. Si denotamos por {𝒢_i}_i∈ℤ a la filtración principal definida por a dada en [35] y por {F_i}_i∈ℤ a la filtración asociada al ideal interno abeliano B = (a)_L, tenemos entonces que

$$\begin{array}{ccccccccc}\mathcal{F}-2& \subset & {\mathcal{F}}_{-1}& \subset & {\mathcal{F}}_0& \subset & {\mathcal{F}}_1=K& \subset & {\mathcal{F}}_2=L\\ \parallel & & \parallel & & \cup & & \parallel & & \parallel \\ {\mathcal{G}}_{-2}& \subset & {\mathcal{G}}_{-1}& \subset & {\mathcal{G}}_0& \subset & {\mathcal{G}}_1=K& \subset & {\mathcal{G}}_2=L\end{array}$$

Además, ambas filtraciones coinciden cuando a ∈ [a, [a, L]].

En la segunda parte del trabajo obtenemos una forma canónica de Jordan de un elemento nilpotente en un anillo arbitrario ([38]). Si a ∈ R es un elemento nilpotente del índice n y a^n–1 es regular von Neumann, podemos construir un idempotente e ∈ R, que conmuta con a, y tal que eRe ≌ M_n(S), donde S es un anillo unitario. Además, el elemento a se descompone como a = ea + (1 − e)a, siendo ea ∈ eRe ≅ M_n(S) un bloque de Jordan de tamaño n ⨯ n y (1 − e)a un elemento nilpotente de índice menor que n. Tal idempotente e aparece gracias al concepto de inverso de Rus del elemento a, esto es, un elemento b de R verificando que a^n–1ba^n–1 = a^n–1, ba^n–1b = b y ba^kb = 0 para todo k ∈ {0, 1,…, n – 2}. Dado un inverso de Rus de a, definimos una familia de idempotentes ${\left\{e_i\right\}}_{i=1}^n,$ con $e_i=a^{i-1}b{a}^{n-i}$, tal que $e=\sum _{i=1}^n e_i$.

Gracias a este resultado, demostramos que si a ∈ R es un elemento nilpotente tal que a^s es regular von Neumann para todo s ∈ ℕ, entonces existe una familia de idempotentes ortogonales no nulos ${\left\{u_i\right\}}_{i=1}^k$, todos ellos conmutando con a, tales que a se pueden descomponer como $a=\sum _{i=1}^k u_{i}a$, donde cada elemento u_ia es un elemento bloque nilpotente de índice n_i, con n = n₁ > n₂ > · · · > n_k, asociado al idempotente bloque u_i. Al ser cada sumando u_ia un bloque de Jordan, llamaremos forma canónica de Jordan del elemento nilpotente a a la suma de estos bloques de Jordan.

Aplicamos estos resultados para describir la estructura de los anillos con un elemento nilpotente a de índice máximo n y tal que a^n–1 es regular von Neumann. Con algunas condiciones adicionales sobre la regularidad del anillo, damos descripciones más precisas sobre los coeficientes de los anillos de matrices involucrados. Por ejemplo, si R es regular von Neumann, entonces eRe ≌ M_n(S), donde S es regular abeliano y, si además R es indescomponible, entonces S resulta ser un anillo de división.

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