CAPÍTULO 7. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA

7.1. Leyes de Kirchhoff

Como vimos en el tema anterior, un circuito eléctrico es un conjunto de cables conductores y otros dispositivos que permiten mantener de forma ininterrumpida una corriente eléctrica. Para simplificar su estudio, son especialmente útiles las leyes de Kirchhoff, que son consecuencia de la conservación de la carga eléctrica y la conservación de la energía:

▪ La ley de Kirchhoff para las corrientes indica que la suma de las corrientes que entran en un punto de unión de varios elementos de un circuito es igual a la suma de las corrientes que salen de él. Estos puntos de unión se llaman nodos, como el punto central de la figura 7.1, que muestra una parte de un circuito. En ese nodo, la ley de Kirchhoff de las corrientes implica que I₁ + I₃ + I₄ = I₂.

▪ La ley de Kirchhoff para las caídas de tensión indica que la suma de las caídas de tensión a lo largo de un circuito cerrado o malla vale cero. La caída de tensión en cada elemento se toma positiva si recorremos el elemento desde su terminal positivo hasta su terminal negativo, y negativa si entramos por el terminal negativo. Por ejemplo, en la figura 7.2 la ley de Kirchhoff implica que V₁ + V₂ + V₃ + V₄ + V₅ = 0.

El sentido de recorrido de la malla es indiferente y lo elegimos a priori según nos convenga. Para las resistencias, la caída de tensión se toma positiva en la ley de Kirchhoff si el sentido de la corriente en ellas es el mismo que el sentido en el que estamos recorriendo la malla, y se toma negativa si estamos recorriendo la malla en sentido opuesto al de la corriente en la resistencia.

Circuito divisor de tensión

Un ejemplo sencillo en teoría de circuitos es el divisor de tensión. Consta de una fuente de tensión conectada a varias resistencias en serie. Podemos verlo montado en la figura 7.3.

En el divisor de tensión de la figura 7.3, V_in es el voltaje de entrada proporcionado por la fuente, es decir, V_in = ɛ. La idea es tratar de calcular el valor del llamado voltaje de salida V_out, que, como vemos en la figura, se corresponde en este caso con la caída de tensión en la resistencia R₂, es decir, V_out = V₂.

Usando la ley de Kirchhoff de las mallas, recorriendo ésta en sentido horario, obtenemos

$$-V_{\mathrm{in}}+V_1+V_2=0,$$

donde hemos supuesto que la (única) corriente en el circuito es I recorre la malla desde el terminal positivo de la fuente hasta su terminal negativo. Usando la ley de Ohm con las resistencias, tendremos

$$V_1=I{R}_1,V_2=I{R}_2\mathrm{.}$$

Por tanto, la ley de Kirchhoff de la malla nos da la corriente según

$$-V_{in}+I(R_1+R_2)=0\Rightarrow I=\frac{V_{in}}{R_1+R_2}\mathrm{.}$$

Como podemos ver, el valor de I obtenido es positivo, lo que indica que el sentido elegido anteriormente es el correcto. De aquí

$$V_2=I{R}_2=V_{in}\left(\frac{R_2}{R_1+R_2}\right),$$

que es la llamada ecuación del divisor. Dice simplemente que, en un circuito divisor de tensión, el voltaje de entrada se divide entre todas las resistencias proporcionalmente al valor de cada una. Conviene memorizar esta ecuación, ya que es extremadamente útil. El valor de la caída de tensión en la otra resistencia sería, con la misma regla,

$$V_1=V_{in}\left(\frac{R_1}{R_1+R_2}\right)\mathrm{.}$$

En general, si tenemos un circuito dividor de tensión formado por una fuente ideal de fem ϵ y un conjunto de N resistencias en serie, la caída de tensión en la resistencia R_i vendrá dada por la expresión

$$V_i=\varepsilon \left(\frac{R_i}{R_1+R_2+\cdots +R_N}\right)\mathrm{.} (7.1)$$

7.2. Circuitos equivalentes de Thévenin y de Norton

Una fracción importante de los circuitos utilizados en la práctica es la de los circuitos de acoplamiento. Un acoplamiento es una conexión, a través de dos terminales a y b, entre dos subcircuitos que realizan funciones diferentes. En el caso más simple, un subcircuito realiza funciones de fuente, generando una señal para otro subcircuito que se llama carga (o load, del inglés). Un subcircuito está conectado al otro mediante cables conductores con puntos de contacto a y b. La situación se puede observar en el esquema de la figura 7.4.

Circuito equivalente de Thévenin

No resulta práctico tener que calcular todas las corrientes y tensiones del circuito total cada vez que hagamos un cambio en el subcircuito de carga. Lo bueno es que en realidad no tenemos que hacerlo en muchos casos (siempre que el subcircuito fuente esté formado por elementos lineales tales como fuentes de tensión o de corriente y resistencias), y esto es debido a la posibilidad de usar el llamado teorema de Thévenin:

Cualquier subcircuito fuente lineal, formado por una red de resistencias y fuentes, es equivalente a una única fuente de fem ideal en serie con una única resistencia.

El teorema de Thévenin se ilustra en la figura 7.5. Entre los terminales a y b, toda la red de resistencias y fuentes de tensión que forman el subcircuito fuente puede sustituirse por una única fuente de fem de valor V_Th y una única resistencia de valor R_Th.

Veamos cómo calcular los valores de V_Th y R_Th:

▪ El voltaje de Thévenin V_Th es el que hay entre los terminales de salida a y b cuando el subcircuito fuente original se deja en abierto, es decir, cuando no se conecta ningú n subcircuito de carga,

$$V_{Th}=V_{\mathit{\text{abierto.}}} (7.2)$$

▪ La resistencia de Thévenin R_Th es el cociente entre el voltaje de Théve- nin V_Th y la corriente que hay entre los terminales de salida a y b si se conecta un cortocircuito entre ambos,

$$R_{\mathit{T}\mathit{h}}\mathit{=}\frac{{\mathit{V}}_{\mathit{T}\mathit{h}}}{{\mathit{I}}_{\mathit{\text{cortocircuito}}}}\mathit{.} (7.3)$$

▪ Una manera alternativa de calcular R_Th es igualarla con la resistencia equivalente entre los terminales a y b cuando todas las fuentes de tensión del circuito original se sustituyen por cortocircuitos (o por las resistencias internas de las fuentes si éstas no son ideales) y las fuentes de corriente del circuito original (dispositivos que veremos un poco más abajo) se sustituyen por circuitos abiertos.

Una vez obtenido el equivalente de Thévenin, podemos conectarle el subcircuito de carga y obtener cualquier cantidad que se nos pida sobre él.

Fuentes de corriente

Una fuente de corriente ideal es un dispositivo que mantiene cierto valor de la corriente independientemente de lo que se conecte a ella. Hay dispositivos en la práctica que se comportan como fuentes de corriente, construidos con transistores. El símbolo que emplearemos para una fuente de corriente es el que podemos ver en la figura 7.6.

Un ejemplo de uso de fuentes de corriente es el circuito divisor de corriente, formado por una fuente de corriente de valor I_t conectada a un conjunto de resistencias en paralelo, como vemos en la figura 7.7.

Para calcular el valor de I₁ e I₂ (las corrientes que circulan por las resistencias), podemos usar la ley de Kirchhoff de los nodos en la confluencia de éstas con I_t y la ley de Kirchhoff de las mallas en la que no contiene a la fuente de corriente. Se obtienen las ecuaciones

$$\begin{array}{rl}{\mathit{I}}_{\mathit{t}}& \mathit{=}{\mathit{I}}_{\mathit{1}}\mathit{+}{\mathit{I}}_{\mathit{2}}\\ \mathit{0}& \mathit{=}\mathit{-}{\mathit{I}}_{\mathit{1}}{\mathit{R}}_{\mathit{1}}\mathit{+}{\mathit{I}}_{\mathit{2}}{\mathit{R}}_{\mathit{2}}\mathit{,}\end{array}$$

donde suponemos que el valor I_t de la fuente es conocido. Resolviendo este sistema,

$$I_1=I_t\left(\frac{R_2}{R_1+R_2}\right),I_2=I_t\left(\frac{R_1}{R_1+R_2}\right)\mathrm{.}$$

La expresión general de las corrientes en las resistencias de un divisor de corriente es

$$I_i=I_t\left(\frac{R_{eq}}{R_i}\right), (7.4)$$

donde R_eq es la resistencia equivalente de la asociación en paralelo de las resistencias del divisor y R_i es la resistencia en la que estamos calculando la corriente.

Circuito equivalente de Norton

Además del equivalente de Thévenin existe otra opción para tratar un subcircuito fuente formado por una red de fuentes y resistencias. Se trata del teorema de Norton:

Cualquier subcircuito fuente lineal, formado por una red de resistencias y fuentes, es equivalente a una única fuente de corriente ideal en paralelo con una única resistencia.

El teorema de Norton se ilustra en la figura 7.8.

Veamos cómo calcular los valores de I_N y R_N:

▪ La corriente de Norton I_N es la que hay entre los terminales de salida a y b del subcircuito fuente original si se conecta un cortocircuito entre ambos,

$$I_N=I_{\mathit{cortocircuito}}\mathrm{.}$$

▪ La resistencia de Norton R_N es el cociente entre el voltaje que hay entre los terminales a y b del subcircuito original si se deja un circuito abierto entre ellos y la corriente de Norton, es decir,

$$R_N=\frac{V_{\mathit{abierto}}}{I_N}\mathrm{.}$$

Dado que, tanto el circuito de Thévenin como el de Norton, son equivalentes al subcircuito fuente original, han de serlo entre ellos. Esto implica que los valores de ambos circuitos han de coincidir, por lo que

$$\begin{array}{rl}{R}_N& =R_{Th},\\ I_N& =\frac{V_{Th}}{R_{Th}},\\ V_{Th}& =I_N{R}_N\mathrm{.}\end{array}$$

7.3. Circuitos de corriente continua con condensadores

En los circuitos que hemos considerado hasta ahora, los voltajes e intensidades permanecían constantes en el tiempo. Sin embargo, es posible que los voltajes e intensidades varíen en el tiempo aunque el circuito sea de corriente continua. Esto ocurre, por ejemplo, si conectamos condensadores descargados a fuentes y resistencias. Los condensadores permiten construir, por ejemplo, circuitos temporizadores (en los que algo ocurre una vez ha ocurrido otra cosa).

Los condensadores se representan, en los diagramas de circuitos, mediante dos barras paralelas de la misma longitud, como ya vimos en el tema anterior. Este símbolo recuerda al de un condensador plano, aunque en realidad hay gran variedad de formas y tamaños. La ecuación característica de un condensador la vimos en el tema anterior y era

$$Q=CV,$$

donde Q es la carga acumulada en la placa positiva del condensador, C es su capacidad y V es la diferencia de potencial entre sus placas. Para el estudio de los condensadores en circuitos, se requiere, sin embargo, una relación entre voltaje y corriente. Obtenemos esta relación derivando la ecuación del condensador respecto al tiempo y usando que I = dQ/dt. Así llegamos a la ecuación

$$I=C\frac{dV}{dt},$$

siendo I la corriente que va, por el exterior del condensador, desde su placa negativa a su placa positiva, que es el sentido convencional que hemos adoptado. Esta relación expresa que cuanto mayor sea la corriente más deprisa crece el voltaje. Como vemos, un condensador no satisface la ley de Ohm.

Descarga de un condensador

Veamos, en primer lugar, un circuito básico de descarga de un condensador, que es algo tan sencillo como un condensador cargado conectado a una resistencia, como muestra la figura 7.9.

A la derecha de la figura 7.9 vemos cómo varía el voltaje del condensador con el tiempo. Inicialmente tiene un voltaje V₀, y una carga Q₀ = CV₀. Como está conectado con la resistencia, ésta tiene el mismo voltaje y, por la ley de Ohm, deja pasar una corriente inicial I₀ = V₀/R que comienza a descargar el condensador. Esto ocurre hasta que el voltaje del condensador es cero, el condensador se ha descargado y ya no hay corriente por la resistencia. El tiempo característico de descarga del condensador en este circuito es igual al producto RC y se llama constante de tiempo del circuito. De hecho, cuando ha pasado un tiempo t = RC, el voltaje ha decaído en el condensador hasta un 37 % aproximadamente del valor inicial.

Carga de un condensador

Para cargar un condensador que esté inicialmente descargado, se puede conectar a una fuente de tensión en serie con una resistencia, como vemos en la figura 7.10.

Inicialmente, el condensador tiene voltaje nulo y carga nula. Por ello, la resistencia tiene inicialmente todo el voltaje que proporciona la fuente y comienza a dejar pasar una corriente inicial I₀ = V/R que comienza a cargar el condensador. Esto ocurre hasta que el voltaje del condensador iguala el de la fuente, con lo que ningún voltaje cae en la resistencia y la corriente es cero. En ese momento, la carga final del condensador es Q = CV. El comportamiento del voltaje del condensador con el tiempo se ve en la figura, y la constante de tiempo del circuito es, de nuevo, el producto RC. A efectos prácticos, despúes de transcurrido un tiempo igual a cinco veces la constante de tiempo, esto es, 5RC, el voltaje ha alcanzado el 99 % de su valor final y consideramos cargado el condensador.

Condensadores en régimen estacionario de corriente continua

Finalmente, vamos a tratar también el comportamiento de los condensadores en circuitos de corriente continua en los que los voltajes y las corrientes son constantes. Esta situación se conoce con el nombre de régimen estacionario, que es el que hemos estado tratando todo el tiempo en circuitos con resistencias.

El comportamiento de un condensador en el régimen estacionario de corriente continua está dado por su ecuación característica

$$I=C\frac{dV}{dt}, (7.5)$$

pero con V constante. Por tanto, en el estacionario de corriente continua, un condensador cumple

$$I=0,$$

y es, por tanto, equivalente a un circuito abierto.

7.4. Tabla resumen

7.5. Problemas resueltos

1. Determina la diferencia de potencial V₂ − V₄ entre los puntos 2 y 4 del circuito de la figura.

Sol. Aplicamos la regla de Kirchhoff de las mallas a la única malla del circuito. Dado que sólo hay una corriente I, resulta

$$\begin{array}{rl}& -\varepsilon +I{R}_1+I{R}_2+I{R}_3=0\\ & \Rightarrow I=\frac{\varepsilon }{R_1+R_2+R_3}=\frac{5}{1000+1000+3000}={10}^{-3}\mathrm{A}\mathrm{.}\end{array}$$

Ya tenemos lo que necesitamos para calcular cualquier diferencia de potencial. Para determinar V₂ − V₄, nos dirigimos desde el punto 2 al punto 4 por cualquier camino del circuito y vamos sumando las caídas de potencial que nos encontremos en el camino. Por ejemplo, si vamos por el camino de las resistencias de 1 kΩ (derecha) y 3kΩ,

$$V_2-V_4=I{R}_2+I{R}_3={10}^{-3}\cdot {10}^3+{10}^{-3}\cdot 3\cdot {10}^3=4\mathrm{V}\mathrm{.}$$

Si vamos por el camino de la resistencia de 1 kΩ (arriba) y la batería,

$$V_2-V_4=-{\mathit{I\; R}}_1+\varepsilon =-{10}^{-3}\cdot {10}^3+5=4\mathrm{V}\mathrm{.}$$

2. Obtén la potencia disipada por la resistencia de 50 Ω del circuito de la figura. Además, calcula la diferencia de potencial entre los puntos a y b.

Sol. Para realizar el ejercicio, necesitamos las corrientes a través de las resistencias. Llamaremos I₁ a la corriente que atraviesa la batería y la resistencia R₁ = 10 Ω, I₂ será la corriente que atraviesa la resistencia R₂ = 80 Ω (hacia abajo) e I₃ será la corriente que pasa por R₃ = 20 Ω y R₄ = 50 Ω (hacia abajo).

NOTA: El sentido de las corrientes se toma inicialmente como queramos. Si alguna resulta negativa despúes, es que el sentido es el contrario del que habíamos imaginado al principio.

Dado que tenemos 3 incógnitas (las corrientes), nos hacen falta 3 ecuaciones. Planteamos las reglas de Kirchhoff en las dos mallas internas del circuito y en el nodo a,

$$\begin{array}{rl}{I}_1& =I_2+I_3,\\ 0& =-\varepsilon +I_1{R}_1+I_2{R}_2,\\ 0& =-I_2{R}_2+I_3{R}_3+I_3{R}_4\mathrm{.}\end{array}$$

Poniendo los datos ɛ = 12 V, R₁ = 10 Ω, R₂ = 8 Ω, R₃ = 20 Ω y R₄ = 50 Ω en el sistema de ecuaciones anterior, se obtiene

$$I_1\simeq \mathrm{0,903}\mathrm{A},I_2\simeq \mathrm{0,372}\mathrm{A},I_3=\mathrm{0,0425}\mathrm{A}\mathrm{.}$$

Una vez resuelto el circuito, podemos responder a las preguntas que se nos plantean. La potencia disipada en la resistencia R₄ = 50 Ω es

$$P_4=I_3{V}_4=I_3^2{R}_4\simeq (\mathrm{0,0425}{)}^2\cdot 50\simeq \mathrm{0,0902}\mathrm{W}\mathrm{.}$$

La diferencia de potencial entre los puntos a y b es

$$V_a-V_b=I_2{R}_2\simeq \mathrm{0,372}\cdot 8\simeq \mathrm{2,97}\mathrm{V}\mathrm{.}$$

3. Calcula todas las corrientes del circuito de la figura. Además, calcula la diferencia de potencial entre los puntos 1 y 2, entre 2 y 3, y entre 1 y 4.

Sol. Llamamos I₁ a la corriente que parte del terminal positivo de la batería y pasa por R₁, I₂ a la que pasa por R₂ hacia abajo e I₃ a la que pasa por R₃ y R₄ hacia abajo. Las reglas de Kirchhoff en el nodo 1 y en las dos mallas interiores dan las ecuaciones

$$\begin{array}{rl}{I}_1& =I_2+I_3,\\ 0& =-\varepsilon +I_1{R}_1+I_2{R}_2+I_1{R}_5,\\ 0& =-I_2{R}_2+I_3{R}_3+I_3{R}_{4\mathrm{.}}\end{array}$$

De estas tres ecuaciones, se obtienen

$$I_1\simeq \mathrm{0,171}\mathrm{A},I_2\simeq \mathrm{0,129}\mathrm{A}{I}_3\simeq \mathrm{0,0429}\mathrm{A}\mathrm{.}$$

La diferencia de potencial entre 1 y 2 es

$$V_1-V_2=I_3{R}_3\simeq \mathrm{0,857}\mathrm{V},$$

entre 2 y 3 es

$$V_2-V_3=I_3{R}_4\simeq \mathrm{0,429}\mathrm{V},$$

y entre 1 y 4 es

$$V_1-V_4=-I_1{R}_1+\varepsilon \simeq \mathrm{4,71}\mathrm{V}.$$

4. Calcula la potencia suministrada por la fuente de 10 V así como la potencia disipada por las resistencias del siguiente circuito.

Sol. Para aligerar la notación, escribimes directamente el valor de las resistencias en lugar de nombrarlas con letras. Las reglas de Kirchhoff en las dos mallas interiores y en el nodo de arriba dan las ecuaciones

$$\begin{array}{rl}{I}_{10}& =I_5+I^{\prime },\\ 0& =4I_5-10+I_5+5.\\ 0& =-10+2I^{\prime }+3I^{\prime },\end{array}$$

donde I′ es la corriente por las resistencias de 2 Ω y 3 Ω (hacia abajo), I₁₀ es la corriente por la batería de 10 V (hacia arriba) e I₅ es la corriente por la batería de 5 V (hacia abajo). Resolviendo el sistema,

$$I_{10}=3\mathrm{A},I_5=1\mathrm{A}{I}^{\prime }=2\mathrm{A}\mathrm{.}$$

La potencia suministrada por la batería de 10 V es igual a la corriente que la atraviesa (de su terminal negativo a su terminal positivo) por su fem, es decir,

$$P_{10}=I_{10}·10=3·10=30\mathrm{W}\mathrm{.}$$

La potencia disipada por las resistencias es la suma de las disipadas por cada una de ellas,

$$P_R=I_5^2·4+I_5^2·1+{\left(I^{\prime }\right)}^2·2+{\left(I^{\prime }\right)}^2·3=1^2·5+2^2·5=25\mathrm{W}\mathrm{.}$$

Los resultados anteriores nos dicen que la batería de 10 V proporciona más potencia que la que disipan todas las resistencias. Por tanto, la batería de 5 V no proporciona ninguna potencia al circuito, sino que consume parte de la potencia que proporciona la de 10 V. La potencia consumida por la batería de 5 V es igual a la que proporciona la batería de 10 V menos la que consumen las resistencias, es decir,

$$P_{5,\mathit{consumida}}=P_{10}-P_R=30-25=5\mathrm{W}\mathrm{.}$$

Para explicar esto, podemos calcular la potencia que proporciona esa misma batería. Será igual a la corriente que la atreviesa del terminal negativo al positivo por su fem. Pero la corriente I₅ va del terminal positivo al negativo de la batería, por lo que

$$P_5=-I_5·5=-2·10=-5\mathrm{W},$$

lo que coincide con el cálculo anterior. De hecho, en este circuito, la batería de 10 V se usa para cargar la batería de 5 V.

5. Calcula el potencial de los puntos 1, 2 y 3 del siguiente circuito teniendo en cuenta que el potencial del punto 0 es cero.

Sol. El potencial del punto 1 se puede calcular fácilmente porque entre él y el punto 0 está solo la batería de ɛ₁ = 10 V, por lo que

$$V_1=V_1-V_0={\varepsilon }_1=10\mathrm{V}\mathrm{.}$$

Lo mismo ocurre en el punto 3, pero ahora con la batería de ɛ₂ = 5 V:

$$V_3=V_3-V_0={\varepsilon }_2=5\mathrm{V}\mathrm{.}$$

Para calcular el potencial del punto 2 nos hace falta la corriente que pasa por alguna resistencia. Suponemos que I₁ es la corriente que parte del terminal positivo de 10 V, I₂ parte del terminal positivo de 5 V e I′ pasa por R₃ de arriba hacia abajo. Por las reglas de Kirchhoff en el nodo 2 y las dos mallas interiores, tenemos

$$\begin{array}{rl}{I}^{\prime }& =I_1+I_2,\\ 0& =-10+I_1+3I^{\prime },\\ 0& =-3I^{\prime }-2I_2+5.\end{array}$$

$$I_1=\frac{35}{11}\mathrm{A},I_2=-\frac{10}{11}\mathrm{A},I^{\prime }=\frac{25}{11}\mathrm{A}\mathrm{.}$$

El resultado nos indica que I₂ va en sentido opuesto al que habíamos pensado (recorre la batería de 5 V hacia abajo). Con todo esto, el potencial del punto 2 es

$$V_2=V_2-V_0=I^{\prime }{R}_3=3\frac{25}{11}\simeq \mathrm{6,82}\mathrm{V}\mathrm{.}$$

6. Calcula la potencia suministrada o disipada por cada elemento del siguiente circuito.

Sol. Tomamos las intensidades I₁, I₂ e I₃ de las fuentes de 1 V, 2 V y 3 V saliendo de los polos positivos, respectivamente. Las reglas de Kirchhoff en el nodo central superior y las dos mallas interiores dan las ecuaciones

$$\begin{array}{rl}{I}_2& =I_1+I_3,\\ 0& =10I_1-1-2+20I_2,\\ 0& =-20I_2+2+3-30I_3.\end{array}$$

Resolviendo el sistema, tenemos

$$I_1=\frac{1}{22}\mathrm{A},I_2=\frac{7}{55}\mathrm{A},I_3=\frac{9}{110}\mathrm{A}\mathrm{.}$$

Las potencias proporcionadas por las baterías son

$$\begin{array}{rl}& P_1=1·I_1=\frac{1}{22}\simeq \mathrm{0,0455}\mathrm{W},\\ & P_2=2I_2=\frac{14}{55}\simeq \mathrm{0,255}\mathrm{W},\\ & P_3=3I_3=\frac{27}{110}\simeq \mathrm{0,245}\mathrm{W}.\end{array}$$

Las potencias disipadas por las resistencias son

$$\begin{array}{rl}& P_{10}={\left(\frac{1}{22}\right)}^{2}10\simeq \mathrm{0,0207}\mathrm{W},\\ & P_{20}={\left(\frac{7}{55}\right)}^{2}20\simeq \mathrm{0,324}\mathrm{W},\\ & P_{30}={\left(\frac{9}{110}\right)}^{2}30\simeq \mathrm{0,201}\mathrm{W}\mathrm{.}\end{array}$$

7. Usando el equivalente de Thévenin del circuito fuente, calcula la corriente en la resistencia de carga conectada entre los terminales a y b.

Sol. Para calcular el equivalente de Thévenin, lo primero es quitar la resistencia de carga entre los terminales a y b. El voltaje de Thévenin es la diferencia de potencial entre los puntos a y b, que coincide con la caída de potencial en la resistencia de 6 Ω. Dado que el circuito es un divisor de tensión, tenemos

$$V_{Th}=V_a-V_b=\varepsilon \frac{R_{ab}}{R_{eq}}=2·\frac{6}{4+6}=\mathrm{1,2}\mathrm{V}\mathrm{.}$$

Para calcular la resistencia de Thévenin, podemos poner un cortocircuito entre a y b. En la asociación en parelelo entre ese cortocircuito (con resistencia nula) y la resistencia de 6 Ω, toda la corriente pasa por el cortocircuito. Por tanto, la corriente entre a y b coincide con la que habría en el circuito sin la resistencia de 6 Ω, que es

$$I_{\mathit{cortocircuito}}=\frac{2}{4}=\mathrm{0,5}\mathrm{A}\mathrm{.}$$

De aquí,

$$R_{Th}=\frac{V_{Th}}{I_{\mathit{cortocircuito}}}=\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,5}}=\mathrm{2,4}\mathrm{\Omega }\mathrm{.}$$

De manera alternativa, podemos calcular la resistencia de Thévenin como la equivalente entre a y b cuando se reemplaza la batería de 2 V por un cortocircuito. Entonces, las resistencias de 4 Ω y 6 Ω están en paralelo y resulta

$$\frac{1}{R_{Th}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12}\Rightarrow R_{Th}=\mathrm{2,4}\mathrm{\Omega }\mathrm{.}$$

Ya tenemos calculado el equivalente de Thévenin, así que volvemos a colocar la resistencia de carga entre a y b. El ejercicio nos pide la corriente a través de esa resistencia. En el circuito que nos ha quedado, las resistencias R_{T h} y la de carga R_L están en serie. La corriente en ese circuito es

$$I=\frac{V_{Th}}{R_{Th}+R_L}=\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{2,4}+8}\simeq \mathrm{0,115}\mathrm{A}\mathrm{.}$$

8. Usando el equivalente de Norton del circuito fuente, calcula la corriente en la resistencia de carga.

Sol. Primero, quitamos la resistencia de carga. La resistencia de Norton (que es igual a la de Thévenin) puede obtenerse reemplazando la batería por un cortocircuito y calculando la resistencia equivalente de la configuración resultante entre a y b. Como las tres resistencias están en paralelo, tenemos

$$\frac{1}{R_N}=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}=\frac{13}{24}\Rightarrow R_N=\frac{24}{13}\simeq \mathrm{1,85}\mathrm{\Omega }\mathrm{.}$$

Por otro lado, la corriente de Norton es la que hay entre a y b cuando ponemos un cortocircuito entre ellos. Al ponerlo, este cortocircuito está en paralelo con las resistencias de 6 Ω y 8 Ω, por lo que no pasa corriente por estas dos resistencias. Así, I_N es la corriente total en un circuito en el que sólo está la resistencia de 4 Ω,

$$I_N=I_{\mathit{cortocircuito}}=\frac{2}{4}=\mathrm{0,5}\mathrm{A}\mathrm{.}$$

Una vez calculado el equivalente de Norton, colocamos en él la resistencia de carga R_L = 10 Ω. Este circuito es un divisor de corriente, con la fuente de corriente I_N = 0,5 A en paralelo con la resistencia de Norton R_N ⋍ 1,85 Ω y la resistencia de carga R_L = 10 Ω. La resistencia equivalente de la asociación en paralelo de R_N y R_L es

$$\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_N}+\frac{1}{R_L}=\frac{13}{24}+\frac{1}{10}=\frac{77}{120}\Rightarrow R_{eq}=\frac{120}{77}\simeq \mathrm{1,56}\mathrm{\Omega }\mathrm{.}$$

Por la ecuación del divisor, la corriente a través de R_L es

$$I_L=I_N\frac{R_{eq}}{R_L}=\mathrm{0,5}·\frac{120}{77·10}\simeq \mathrm{0,0779}\mathrm{A}\mathrm{.}$$

9. Obtén el equivalente de Thévenin respecto de los terminales a y b del siguiente subcircuito fuente.

Sol. Para obtener el voltaje de Thévenin, hemos de calcular la diferencia de potencial entre a y b. Dado que no pasa corriente por la batería de 2 V ni por la resistencia de 5 Ω, la corriente por la resistencia de 6 Ω es

$$I_6=\frac{{\varepsilon }_1}{R_{eq}}=\frac{3}{12+6}=\frac{1}{6}\mathrm{A}\mathrm{.}$$

Con esto,

$$V_a-V_b=-{\varepsilon }_2+I_6{R}_6=-2+(\frac{1}{6}·6)=-1\mathrm{V}\mathrm{.}$$

Por tanto, resulta que el terminal positivo del equivalente de Thévenin no es a, sino b. El voltaje de Thévenin es

$$V_{Th}=V_b-V_a=1\mathrm{V}\mathrm{.}$$

Para la resistencia de Thévenin, sustituimos todas las baterías por cortocircuitos. Las resistencias de 12 Ω y 6 Ω están en paralelo, de modo que

$$\frac{1}{R_{12}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{1}{12}+\frac{1}{6}=\frac{3}{12}\Rightarrow R_{12}=4\mathrm{\Omega }\mathrm{.}$$

Dado que R₁₂ está en serie con la resistencia de 5 Ω,

$$R_{Th}=R_{12}+R_5=4+5=9\mathrm{\Omega }\mathrm{.}$$

10. Calcula el equivalente de Norton del siguiente subcircuito fuente.

Sol. Para obtener la resistencia de Norton, sustituimos todas las baterías por cortocircuitos y calculamos la resistencia equivalente entre a y b. Las resistencias R₁ y R₂ están en serie, de manera que

$$R_{12}=R_1+R_2=20+100=120\mathrm{\Omega }\mathrm{.}$$

R₁₂ está en paralelo con R₃:

$$\frac{1}{R_{123}}=\frac{1}{R_{12}}+\frac{1}{R_3}=\frac{1}{120}+\frac{1}{30}=\frac{5}{120}\Rightarrow R_{123}=\frac{120}{5}=24\mathrm{\Omega }\mathrm{.}$$

Finalmente, R₁₂₃ está en serie con R₄, por lo que

$$R_N=R_{123}+R_4=24+100=124\mathrm{\Omega }\mathrm{.}$$

La corriente de Norton es la corriente entre a y b cuando se coloca un cortocircuito entre esos puntos. Para este caso, sin embargo, es mucho más sencillo calcular el voltaje en circuito abierto entre a y b (voltaje de Thévenin) y luego usar la resistencia de Norton que ya tenemos. Dado que no hay corriente en R₄, la corriente en la malla cerrada (tomada en sentido antihorario), usando la regla de Kirchhoff, está dada por

$$0=2+I(20+100+30)-3\Rightarrow I=\frac{1}{150}\mathrm{A}\mathrm{.}$$

Por tanto,

$$V_{\mathit{abierto}}=V_a-V_b=-I30+3=-\frac{30}{150}+3=\frac{14}{5}\mathrm{V}\mathrm{.}$$

Y, usando la resistencia de Norton, tenemos

$$I_N=\frac{V_{\mathit{abierto}}}{R_N}=\frac{14}{5·124}\simeq \mathrm{0,0223}\mathrm{A}\mathrm{.}$$

11. En el circuito de la figura, V₀ = 10 V, R₁ = 100 Ω, R₂ = 300 Ω, C = 4 µF.

12. Teniendo en cuenta que el condensador del siguiente circuito está inicialmente descargado, calcula la constante de tiempo del proceso de carga, así como la carga de su placa positiva una vez finalizado el proceso de carga.

Sol. Sabemos que la constante de tiempo de la carga de un condensador conectado a una batería y a una resistencia en serie es RC. Pero, en este circuito, tenemos dos resistencias. Para reducirlo, hacemos el equivalente de Thévenin quitando el condensador. El voltaje de Thévenin será el de la resistencia de 150 Ω en el divisor de tensión resultante:

$$V_{Th}=5\frac{150}{50+150}=10·\frac{300}{100+300}=\mathrm{3,75}\mathrm{V}\mathrm{.}$$

La resistencia de Thévenin, sustitutyendo la batería por un cortocircuito, estará dada por

$$\frac{1}{R_{Th}}=\frac{1}{50}+\frac{1}{150}=\frac{4}{150}\Rightarrow R_{Th}=\frac{150}{4}=\mathrm{37,5}\mathrm{\Omega }\mathrm{.}$$

Una vez calculado el equivalente de Thévenin, colocamos en él el condensador. Tenemos ahora una batería con V_Th = 3,75 V en serie con una resistencia R_Th = 37,5 Ω y un condensador C = 2 µF. La constante de tiempo del proceso de carga será

$$RC=\mathrm{37,5}·2·{10}^{-6}=\mathrm{7,5}·{10}^{-5}\mathrm{s}\mathrm{.}$$

Una vez cargado el condensador, ya no hay corriente en el equivalente de Thévenin y el voltaje del condensador se iguala al voltaje de la batería, por lo que

$$V_C=V_{Th}=\mathrm{3,75}\mathrm{V}\mathrm{.}$$

De aquí, la carga del condensador resulta

$$C=\frac{Q}{V_C}\Rightarrow Q=C{V}_C=2·{10}^{-6}·\mathrm{3,75}=\mathrm{7,5}·{10}^{-6}\mathrm{C}\mathrm{.}$$

13. Determina la carga del condensador una vez está completamente cargado.

Sol. En el régimen estacionario, por la rama en la que está el condensador no circula corriente (C se comporta como un circuito abierto), de modo que no hay corriente por R₃. La diferencia de potencial V_C entre las placas del condensador es, entonces, igual a la caída de potencial V₂ en R₂. Dado que el circuito formado por V, R₁ y R₂ es un divisor de tensión,

$$V_C=V_2=V\frac{R_2}{R_1}=V\frac{R_2}{R_1+R_0}=6\frac{2}{3}=4\mathrm{V}\mathrm{.}$$

Con esto, la carga de la plaza positiva del condensador resulta

$$Q=C{V}_C={10}^{-12}·4=4·{10}^{-12}\mathrm{C}\mathrm{.}$$