CAPÍTULO 5. ACÚSTICA

5.3. Nivel sonoro y sensación auditiva

Para crear una escala que mida el nivel de intensidad del sonido es necesario tomar un valor que sirva de referencia. Este valor es

$$I_o={10}^{-12}\text{ W}/{\text{m}}^2, (5.6)$$

que corresponde al umbral mínimo audible de una persona media para un sonido de 1000 Hz. Para esa misma persona, el umbral máximo audible a esa frecuencia es de 1 W/m². Así, si queremos establecer una escala de sonidos audibles para una persona basada en el cociente I /I_o, esta escala variaría entre 1 y 10¹². No es práctico usar representaciones gráficas de escalas tan enormes.

Para tener una escala más tratable, se considera una variación menor mediante el uso de logaritmos en base 10. Se define el nivel sonoro o nivel de intensidad del sonido L como

$$L=10\text{ log }\left(\frac{I}{I_o}\right). (5.7)$$

cuya unidad es el decibelio (dB), y que varía para los sonidos audibles entre 0 y 120 dB. En el caso de ondas sonoras armónicas, esta expresión puede escribirse fácilmente también en función de la amplitud de desplazamiento o de la amplitud de presión acústica si es necesario.

A diferencia de la intensidad física del sonido dada por L, la sensación fisiológica que nos produce una onda sonora es subjetiva. Llamamos intensidad fisiológica F a la sensación que nos permite decir si un sonido es más o menos fuerte que otro.

La intensidad fisiológica depende, claro está, de la intensidad física, pero también de la frecuencia del sonido percibido. El mínimo de intensidad sonora capaz de producir sensación auditiva se denomina umbral mínimo de audi- ción, es función de la frecuencia y su valor mínimo aparece para 4000 Hz, frecuencia a la cual el oído presenta sensibilidad máxima. Aumentando la intensidad sonora se llega a producir una sensación auditiva dolorosa, y se denomina umbral máximo de audición o umbral de sensación dolorosa a la mínima intensidad capaz de producirla, que es también función de la frecuencia.

En la figura 5.2 se muestran las curvas de Fletcher y Munson, en las que todos los puntos de la misma curva se perciben con la misma sensación auditiva, por lo que todos los puntos de la misma línea azul de la figura tienen el mismo valor de la intensidad fisiológica aunque tengan valor diferente de L.

Figura 5.2: Curvas de Fletcher y Munson.

La unidad de sensación fisiológica se denomina fonio y el nivel de sensación auditiva se establece mediante la expresión

$$F=K\log \left(\frac{I}{I_o}\right). (5.8)$$

Para una frecuencia de 1000 Hz, el valor de la constante en esa expresión es K = 10, de manera que, a esa frecuencia, el número de fonios y el de decibelios coinciden. Para otras frecuencias, el valor de K se puede extraer aproximadamente de las curvas de Fletcher y Munson. Por ejemplo, un sonido con L = 20 dB tiene F = 20 fonios a una frecuencia de 1000 Hz, pero un sonido de L = 20 dB tiene aproximadamente F = 10 fonios a una frecuencia de 300 Hz, por lo que la sensación sonora es menor en el segundo caso aunque la intensidad física del sonido sea la misma en ambos.

5.4. Tabla resumen

5.5. Problemas resueltos

1. Una onda sonora armónica se propaga por un fluido con una impedancia acústica de 350 kg/(m² · s). Calcula la amplitud de la onda de presión acústica sabiendo que la amplitud de la onda de desplazamiento es 3 · 10^-5 m y que la frecuencia es de 1 kHz.

Sol. Dado que tenemos la impedancia acústica, conviene usar la fórmula

$$\text{Δ}{p}_{max}=Z{v}_{vib,max}, (5.9)$$

que nos relaciona la amplitud de la onda de presión con la velocidad de vibración máxima de las moléculas del fluido. Necesitamos esta última cantidad, que podemos obtener así:

$$v_{vib,max}=\omega A=2\pi fA=2\pi \cdot {10}^3\cdot 3\cdot {10}^{-5}\simeq 0,188\text{ m}/\text{s}.$$

Poniendo este resultado en la primera de nuestras ecuaciones, tenemos

$$\text{Δ}{p}_{max}=Z{v}_{vib,max}\simeq 350\cdot 0,188\simeq 66,0\mathrm{Pa}.$$

2. Una onda sonora se propaga en un fluido con una impedancia acústica de 500 kg/ (m² · s). La velocidad de la onda en este medio es de 360 m/s y la amplitud de la onda de presión acústica es de 43 Pa. Calcula

a) La densidad ρ₀, del fluido sin perturbar.

b) La velocidad máxima de vibración de las moléculas del fluido, v_vib,max.

Sol.

a) La densidad del fluido sin perturbar se puede obtener a partir de la impedancia acústica y la velocidad de la onda:

$$Z={\rho }_{0}v\Rightarrow {\rho }_0=\frac{Z}{v}=\frac{500}{360}\simeq 1,39\text{ kg}/{\text{m}}^3.$$

b) La velocidad máxima de vibración resulta

$$\text{Δ}{p}_{max}=Z{v}_{vib,max}\Rightarrow v_{vib,max}=\frac{\text{Δ}{p}_{max}}{Z}=\frac{43}{500}=0,086\text{ m}/\text{s}.$$

3. Una onda sonora armónica se propaga a lo largo de una varilla produciendo una velocidad máxima de vibración de las partículas de la varilla de 5 mm/s y una intensidad sonora de 150 W/m². Teniendo en cuenta que la varilla tiene una sección circular de radio 10 mm, calcula:

a) La amplitud de la onda de presión acústica.

b) La impedancia acústica.

c) La potencia sonora.

Sol.

a) Usando la relación entre intensidad del sonido, amplitud de velocidad de vibración y amplitud de presión acústica, tenemos

$$I=\frac{1}{2}{v}_{vib,max}\text{Δ}{p}_{max}\Rightarrow \text{Δ}{p}_{max}=\frac{2I}{v_{vib,max}}=\frac{2\cdot 150}{5\cdot {10}^{-3}}=6\cdot {10}^4\mathrm{Pa}.$$

b) Para la impedancia acústica, tenemos

$$\begin{array}{rl}& \text{Δ}{p}_{max}=Z{v}_{vib,max}\\ \Rightarrow & Z=\frac{\text{Δ}{p}_{max}}{v_{vib,max}}=\frac{6\cdot {10}^4}{5\cdot {10}^{-3}}=1,2\cdot {10}^7\text{ kg}/({\text{m}}^2\cdot \text{s}).\end{array}$$

c) La potencia se calcula por su relación con la intensidad:

$$I=\frac{P}{S}\Rightarrow P=IS=I\left(\pi r^2\right)=150\cdot \pi \cdot (0,01{)}^2\simeq 4,71\cdot {10}^{-2}\text{ W}.$$

4. Admitamos que un altavoz emite una onda sonora armónica con una frecuencia de 4 kHz, lo que produce una vibración de las moléculas del aire de amplitud 10 µm. Teniendo en cuenta que la densidad del aire sin perturbar es 1,29 kg/m³, la velocidad del sonido en el aire es v = 340 m/s y que la membrana vibrante del altavoz tiene un área de 100 cm², calcula

a) La impedancia acústica del aire.

b) La amplitud de la onda de presión acústica.

c) La intensidad sonora.

d) La potencia del sonido.

Sol.

a) La impedancia acústica del aire es

$$Z={\rho }_{0}v=1,29\cdot 340\simeq 439\text{ kg}/({\text{m}}^2\cdot \text{s}).$$

b) La amplitud de presión acústica está ralacionada con la de desplazamiento mediante

$$\begin{array}{rl}\text{Δ}{p}_{max}& =\kappa Ak={\rho }_0{v}^{2}A\frac{\omega }{v}=2\pi f{\rho }_{0}vA\\ & =2\pi \cdot 4\cdot {10}^3\cdot 1,29\cdot 340\cdot {10}^{-5}\simeq 112\mathrm{Pa}.\end{array}$$

c) La intensidad del sonido puede calcularse con la expresión

$$I=\frac{1}{2}\frac{{\left(\text{Δ}{p}_{max}\right)}^2}{Z}\simeq \frac{{112}^2}{2\cdot 439}\simeq 28,5\text{ W}/{\text{m}}^2.$$

d) Utilizando la relación entre la potencia del sonido y el área del diafragma,

$$I=\frac{P}{S}\Rightarrow P=IS\simeq 28,5\cdot 100\cdot {10}^{-4}=0,285\text{ W}.$$

5. Una fuente de 5 W de potencia genera una onda sonora armónica que se propaga a 5000 m/s por una barra de 10 cm² de sección. Teniendo en cuenta que la barra tiene una densidad de 2500 kg/m³, calcula la amplitud de la onda de presión acústica.

Sol. La intensidad de la onda puede calcularse a partir de la potencia y el área de la barra:

$$I=\frac{P}{S}=\frac{5}{10\cdot {10}^{-4}}=5\cdot {10}^3\text{ W}/{\text{m}}^2.$$

La impedancia acústica de la barra vale

$$Z={\rho }_{0}v=2500\cdot 5000=1,25\cdot {10}^7\text{ kg}/({\text{m}}^2\cdot \text{s}).$$

Usando la relación entre intensidad de la onda y amplitud de presión acústica, tenemos

$$\begin{array}{rl}& I=\frac{1}{2}\frac{{\left(\text{Δ}{p}_{max}\right)}^2}{Z}\\ \Rightarrow & \text{Δ}{p}_{max}=\sqrt{2IZ}=\sqrt{2\cdot 5\cdot {10}^3\cdot 1,25\cdot {10}^7}\simeq 3,54\cdot {10}^5\mathrm{Pa}.\end{array}$$

6. Una onda sonora de intensidad I_i se propaga por una varilla, con impedancia Z₁ y densidad ρ₁, hasta que incide en la frontera de separación con otra varilla, de igual grosor pero impedancia Z₂ y densidad ρ₂. En este momento, la mitad de la intensidad de la onda se transmite y la otra mitad se refleja. Teniendo en cuenta que la velocidad del sonido en la primera varilla es el doble de la velocidad del sonido en la segunda, calcula los cocientes Z₂/Z₁ y ρ₂/ρ₁.

Sol. El cociente entre la intensidad de sonido reflejada y la incidente en la superficie de separación de dos medios es

$$\frac{I_r}{I_i}=1-\frac{I_t}{I_i}=\frac{(r-1{)}^2}{(r+1{)}^2},$$

donde r = Z₂/Z₁ es el cociente de impedancias acústicas. En nuestro caso, I_r/_Ii = 1/2, por lo que

$$\frac{1}{2}=\frac{(r-1{)}^2}{(r+1{)}^2}\Rightarrow \frac{r-1}{r+1}=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow r_{\pm }=\frac{\sqrt{2}\pm 1}{\sqrt{2}\mp 1},$$

con

$$r_{+}\simeq 5,83;r_{-}\simeq 0,172.$$

Obtenemos dos valores posibles del cociente de impedancias. Ambos son físicamente posibles. A partir de la definición de impedancia acústica, tenemos

$$r=\frac{Z_2}{Z_1}=\frac{{\rho }_2{v}_2}{{\rho }_1{v}_1}=\frac{{\rho }_2}{2{\rho }_1}\Rightarrow \frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}=2r.$$

Como tenemos dos posibles valores de r, también tenemos sendos valores del cociente de densidades:

$$\begin{array}{lll}{r}_{+}\simeq 5,83& \to & \frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}=2r_{+}\simeq 11,7;\\ r_{-}\simeq 0,172& \to & \frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}=2r_{-}\simeq 0,343\mathrm{.}\end{array}$$

7. Durante la demolición de un edificio, se produce una detonación controlada. Un observador a una distancia de 300 m de la explosión capta una intensidad de 0,10 W/m². Determina:

(a) El nivel sonoro que capta un segundo observador a 50 m de la explosión.

(b) La distancia a la explosión a la que debe colocarse el segundo observador para captar 10 dB más que el primero.

Sol.

(a) La potencia P del sonido viene dado por

$$I_{300}=\frac{P}{4\pi d_1^2}\Rightarrow P=4\pi d_1^2{I}_{300},$$

donde d₁ = 300 m e I₃₀₀ = 0,10 W/m². El nivel sonoro L₅₀ a 50 m será

$$L_{50}=10{\text{ log}}_{10}\left(\frac{I_{50}}{I_o}\right),$$

donde I_o = 10^-12 W/m² es la intensidad umbral e

$$I_{50}=\frac{P}{4\pi d_2^2},$$

con d₂ = 50 m. Así, usando la expresión de P anterior,

$$L_{50}=10{\text{ log}}_{10}\left(\frac{I_{300}}{I_o}\frac{d_1^2}{d_2^2}\right)\simeq 10{\text{ log}}_{10}\left(\frac{0,1}{{10}^{-12}}\frac{{300}^2}{{50}^2}\right)\simeq 126\text{dB}.$$

(b) Si d₃ es la distancia pedida, debe ser

$$L_{d_3}-L_{300}=10\Rightarrow 10{\text{ log}}_{10}\left(\frac{I_{d_3}}{I_{300}}\right)=10.$$

Usando la relación entre I y P:

$$10{\text{ log }}_{10}\left(\frac{{300}^2}{d_3^2}\right)=10\Rightarrow d_3=\frac{300}{\sqrt{10}}\simeq 94,9\text{ m}.$$

8. Dos focos puntuales tienen, cada uno, una potencia de 1 mW. Si los focos emiten desde el mismo punto sendas ondas en fase, calcula el nivel sonoro a una distancia de 10 m.

Sol. La intensidad del sonido a 10 m debida sólo a un foco es

$$I_1=\frac{P}{S}=\frac{P}{4\pi r^2}=\frac{{10}^{-3}}{4\pi \cdot {10}^2}\simeq 7,96\cdot {10}^{-7}\text{ W}/{\text{m}}^2.$$

Si dos focos emiten desde el mismo lugar, con la misma potencia y en fase, la intensidad del sonido a 10 m es

$$I=2I_1\simeq 1,59\cdot {10}^{-6}\text{ W}/{\text{m}}^2.$$

El nivel sonoro es

$$L=10\text{ log }\left(\frac{I}{I_o}\right)\simeq 10\cdot \log \left(\frac{1,59\cdot {10}^{-8}}{{10}^{-12}}\right)\simeq 62,0\text{ dB}.$$

9. Calcula la potencia con la que habla una persona, supuesta fuente de sonido puntual, a otra a 2 m de distancia. Para ello, ten en cuenta que la segunda persona percibe un nivel sonoro de 59 dB.

Sol. Primero, calculemos la intensidad I a partir del nivel sonoro L:

$$\begin{array}{rl}L& =10\text{ log }\left(\frac{I}{I_o}\right)\\ \Rightarrow I& =I_o{10}^{L/10}={10}^{-12}\cdot {10}^{59/10}={10}^{-6,1}\simeq 7,94\cdot {10}^{-7}\text{ W}/{\text{m}}^2.\end{array}$$

Ahora podemos obtener la potencia de la intensidad, asumiendo una emisión de fuente puntual:

$$I=\frac{P}{S}\Rightarrow P=4\pi r^{2}I\simeq 4\pi \cdot 2^2\cdot 7,94\cdot {10}^{-7}\simeq 3,99\cdot {10}^{-5}\text{ W}.$$

10. Se sabe que una fuente puntual produce 10 dB de nivel sonoro a 25 m.

a) ¿Cuál es el nivel sonoro a 10 m de la fuente?

b) ¿A qué distancia el nivel sonoro es el menor audible?

Sol.

a) Calculemos primero la intensidad a 25 m:

$$\begin{array}{rl}& L_{25}=10\text{ log }\left(\frac{I_{25}}{I_o}\right)\\ \Rightarrow & I_{25}=I_o{10}^{L_{25}/10}={10}^{-12}\cdot {10}^{10/10}={10}^{-11}\text{ W}/{\text{m}}^2.\end{array}$$

Con esto, la potencia del sonido resulta

$$I_{25}=\frac{P}{S}\Rightarrow P=4\pi r^2{I}_{25}=4\pi \cdot {25}^2\cdot {10}^{-11}=25\pi \cdot {10}^{-9}\text{ W}.$$

Por tanto, la intensidad a 10 m es

$$I_{10}=\frac{P}{S}=\frac{25\pi \cdot {10}^{-9}}{4\pi \cdot {10}^2}=6,25\cdot {10}^{-11}\text{ W}/{\text{m}}^2.$$

y, finalmente, podemos calcular el nivel sonoro

$$L_{10}=10\text{ log }\left(\frac{I_{10}}{I_o}\right)=10\cdot \log \left(\frac{6,25\cdot {10}^{-11}}{{10}^{-12}}\right)\simeq 18,0\text{ dB}.$$

b) El sonido deja de percibirse por una persona media cuando la intensidad es I = I_o = 10^-12 W/m². La distancia del foco d a la que esto ocurre viene dada por

$$I_o=\frac{P}{S}=\frac{P}{4\pi d^2}\Rightarrow d=\sqrt{\frac{P}{4\pi I}}=\sqrt{\frac{25\pi \cdot {10}^{-9}}{4\pi \cdot {10}^{-12}}}\simeq 79,1\text{ m}.$$

11. A un metro de una máquina, supuesta fuente de sonido puntual, percibimos un nivel sonoro de 60 dB. ¿Cuánto debemos alejarnos para que el nivel se reduzca a 30 dB?

Sol. Esto se puede resolver mediante un método similar al ejercicio anterior, pero vamos a hacerlo de otra manera, algo más rápida. La diferencia entre el nivel sonoro a 1 m y el nivel sonoro a la distancia d, donde se perciben 30 dB, es

$$\begin{array}{rl}{L}_1-L_d& =60\text{ dB}-30\text{ dB}=30\text{ dB}\\ & =10\text{ log }\left(\frac{I_1}{I_o}\right)-10\text{ log }\left(\frac{I_d}{I_o}\right)=10\text{ log }\left(\frac{I_1}{I_d}\right)\end{array}$$

Por otro lado, usando que la fuente es puntual,

$$\frac{I_1}{I_d}=\frac{P/\left(4\pi 1^2\right)}{P/\left(4\pi d^2\right)}=d^2.$$

Poniendo todo en la misma ecuación, llegamos a

$$30=10\text{ log }{d}^2\Rightarrow d^2={10}^3\Rightarrow d=\sqrt{{10}^3}\simeq 31,6\text{ m}.$$

Como ya estamos a 1 m de la máquina, tendremos que alejarnos 30, 6 m.

12. El nivel de intensidad sonora cerca de un avión es de 90 dB. Aproximando el ruido del avión por una onda la onda acústica armónica de frecuencia de 4 kHz, calcula el desplazamiento máximo de las moléculas del aire. Toma la densidad del aire sin perturbar como 1,3 kg/m³ y la velocidad del sonido como 340 m/s.

Sol. A partir del nivel de intensidad sonora, podemos calcular I:

$$L=10\text{ log }\left(\frac{I}{I_o}\right)\Rightarrow I=I_o{10}^{L/10}={10}^{-12}\cdot {10}^{90/10}={10}^{-3}\text{ W}/{\text{m}}^2.$$

Con esto, la amplitud de desplazamiento A de la onda armónica resulta

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{1}{2}{\rho }_0{\omega }^2{A}^{2}v\\ \Rightarrow A& =\sqrt{\frac{2I}{(2\pi f{)}^2{\rho }_{0}v}}=\sqrt{\frac{2\cdot {10}^{-3}}{(2\pi \cdot 4000{)}^2\cdot 1,3\cdot 340}}\simeq 8,46\cdot {10}^{-8}\text{ m}.\end{array}$$

13. Calcula la pérdida de nivel sonoro cuando una onda se transmite de un medio a otro con el doble de impedancia.

Sol. El dato que nos da el ejercicio es que hay dos medios en contacto cuyas impedancias acústicas cumplen

$$r=\frac{Z_2}{Z_1}=\frac{2}{1}=2.$$

Por tanto, la relación entre la intensidad incidente en el medio 1 y la transmitida al medio 2 es

$$I_t=I_i\frac{4r}{(r+1{)}^2}=I_i\cdot \frac{4\cdot 2}{(2+1{)}^2}=\frac{8I_i}{9}\Rightarrow \frac{I_i}{I_t}=\frac{I_1}{I_2}=\frac{9}{8}.$$

La pérdida de nivel sonoro en la transmisión es

$$\begin{array}{rl}{L}_1-L_2& =10\text{ log }\left(\frac{I_1}{I_o}\right)-10\text{ log }\left(\frac{I_2}{I_o}\right)=10\text{ log }\left(\frac{I_1}{I_2}\right)\\ & =10\text{ log }\left(\frac{9}{8}\right)\simeq 0,512\text{ dB}.\end{array}$$

14. El sonido producido en la habitación de una casa, con 50 dB de nivel sonoro, penetra una de sus paredes y es percibido en la habitación contigua con un nivel de 35 dB. ¿Qúe porcentaje de la intensidad absorbe la pared?

Sol. La pérdida de nivel sonoro es

$$\begin{array}{ll}{L}_2-L_1& =35\text{dB}-50\text{ dB }=-15\text{ dB }\\ & =10\text{ log }\left(\frac{I_2}{I_o}\right)-10\text{ log }\left(\frac{I_1}{I_o}\right)=10\text{ log }\left(\frac{I_2}{I_1}\right).\end{array}$$

Despejando I₂/I₁, tenemos

$$-15=10\text{ log }\left(\frac{I_2}{I_1}\right)\Rightarrow \frac{I_2}{I_1}={10}^{-15/10}\simeq 0,0316=3,16\%.$$

Por tanto, el porcentaje absorbido por la pared es de 96,8 %.

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1 Como veremos en captulos siguientes, la ley de Ohm establece una relacion lineal entre la diferencia de potencial V entre los extremos de una resistencia de valor R y la intensidad I que la atraviesa: V = RI.