CAPÍTULO 9. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA

9.1. Resistencias en corriente alterna

Para ver cómo se comporta una resistencia en corriente alterna, consideremos un circuito muy simple formado por un generador de corriente alterna de fem ɛ(t) = ɛ₀ sin (ωt + α₀) y una resistencia R, como en la figura 9.1. En el generador, ɛ₀ es su fem de pico y ω = 2πf es su frecuencia angular.

Por la regla de Kirchhoff de las mallas, la caída de tensión en la resistencia será igual a la fem del generador, es decir, V_R(t) = ɛ(t), de manera que

$$V_R(t)=V_{R,0}\sin (\omega t+{\alpha }_0),$$

siendo V_R,0 = ɛ₀ el valor de pico del voltaje en la resistencia. Por otro lado,

por la ecuación característica de una resistencia (la ley de Ohm) tenemos

$$I_R(t)=\frac{V_R(t)}{R}=I_{R,0}\sin (\omega t+{\alpha }_0),$$

donde la corriente de pico está dada por

$$I_{R,0}=\frac{V_{R,0}}{R}\mathrm{.}$$

Se comprueba entonces que:

▪ Los valores de pico del voltaje y la corriente en una resistencia siguen la ley de Ohm V_R,0 = RI_R,0.

▪ La corriente I_R(t) en una resistencia está en fase con su voltaje V_R(t), es decir, ambos tienen la misma dependencia angular (ωt + α₀).

Ambas características definen el comportamiento de una resistencia en corriente alterna. Como veremos más adelante, no ocurre algo tan sencillo para los condensadores e inductores.

Potencia instantánea y potencia media disipada por una resistencia

La potencia instantánea P_R(t) disipada por la resistencia en forma de calor es

$$P_R(t)=I_R(t)V_R(t)=I_{R,0}{V}_{R,0}{\sin }^2(\omega t+{\alpha }_0),$$

que es siempre positiva, pues la resistencia está consumiendo energía (casi) todo el rato.

Sin embargo, para evitar tener una dependencia temporal en la expresión de la potencia, es común referirse a la potencia media disipada en un periodo

T = 1/f = 2π/ω, que se define mediante la integral

$$P_{R,m}=\frac{1}{T}{\int }_0^T{P}_R(t)dt\mathrm{.}$$

Para una resistencia, la potencia media resulta

$$P_{R,m}=\frac{I_{R,0}{V}_{R,0}}{T}{\int }_0^T{\sin }^2(\omega t+{\alpha }_0)dt=\frac{I_{R,0}{V}_{R,0}}{2}\mathrm{.}$$

Valores eficaces

La expresión de la potencia media disipada por una resistencia en corriente alterna sinusoidal, dada por

$$P_{R,m}=\frac{I_{R,0}{V}_{R,0}}{2},$$

se puede escribir de manera que se parezca a la fórmula de potencia en corriente continua. Para ello, se definen los valores eficaces de los voltajes y las corrientes.

El valor eficaz de la corriente en la resistencia es

$$I_{R,ef}=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{[I_R(t)]}^{2}dt}=\frac{I_{R,0}}{\sqrt{2}},$$

y el valor eficaz del voltaje en la resistencia es

$$V_{R,ef}=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{[V_R(t)]}^{2}dt}=\frac{V_{R,0}}{\sqrt{2}}\mathrm{.}$$

Con ellos, la potencia media disipada en una resistencia en un circuito de corriente alterna sinusoidal es

$$P_{R,m}=I_{R,ef}{V}_{R,ef}\mathrm{.}$$

Obtenemos exactamente la misma forma que en corriente continua. También la ley de Ohm se puede escribir en términos de valores eficaces como V_R,ef = I_R,ef R, así que la potencia media en una resistencia se puede escribir en cualquiera de las formas de la corriente continua,

$$P_{R,m}=I_{R,ef}{V}_{R,ef}=\frac{V_{R,ef}^2}{R}=I_{R,ef}^{2}R\mathrm{.}$$

En la red eléctrica española, la tensión de pico en los hogares es de unos 311 V y la frecuencia es f = 50 Hz, de manera que la fem instantánea se puede escribir como ɛ = 311 V sin(100π t). La tensión eficaz es ${\varepsilon }_{ef}={\varepsilon }_0/\sqrt{2}=220\text{ V}$. En las viviendas, los aparatos enchufados directamente a la red están en paralelo, de manera que todos soportan una tensión eficaz de 220 V. Muchos cableados domésticos soportan corrientes máximas del orden de 20 A, dado que una corriente mayor sobrecalentaría los cables. Para evitar este problema, cada circuito está equipado con un interruptor automático o fusible que salta, abriendo el circuito, cuando la corriente supera ese valor máximo. Para tener mayor potencia se suelen instalar varios circuitos, cada uno con su interruptor.

9.2. Condensadores en corriente alterna

Veamos cómo se comporta un condensador en corriente alterna sinusoidal. Como ya vimos, cuando se carga un condensador con una batería, la corriente se establece entre las placas del condensador durante un periodo de tiempo muy breve, del orden de 5 RC. Despúes la corriente se va a cero. Si fúesemos capaces en ese momento de cambiar la polaridad de la batería, volvería a aparecer una corriente en sentido opuesto para descargar y luego cargar el condensador de acuerdo con la nueva conexión. Esto es, básicamente, lo que que ocurre en corriente alterna, pues la polaridad del generador va cambiando y la carga fluye sin parar en un sentido y luego en el otro.

Para entenderlo, tomemos el circuito simple de la figura 9.2 formado por un generador de fem ɛ(t) = ɛ₀ sin (ωt + α₀) y un condensador de capacidad C. Por la regla de Kirchhoff de las mallas, la diferencia de potencial entre las placas del condensador es igual a la fem del generador, es decir, V_C(t) = ɛ(t), de manera que

$$V_C(t)=V_{C,0}\sin (\omega t+{\alpha }_0),$$

siendo V_C,0 = ɛ₀ el valor de pico del voltaje. La ecuación característica de un condensador es Q = C VC, o bien IC = C dVC/dt, lo que implica

$$I_C(t)=C\frac{d{V}_C(t)}{dt}=\omega C{V}_{C,0}\cos (\omega t+{\alpha }_0)\mathrm{.}$$

Podemos escribir entonces la corriente entre las placas del condensador en la forma

$$I_C(t)=I_{C,0}\sin (\omega t+{\alpha }_0+\pi /2)\mathrm{.}$$

Analicemos el resultado comparando las funciones armónicas V_C(t) e I_C(t) que hemos obtenido:

▪ Los valores de pico del voltaje y la corriente en un condensador en corriente alterna están relacionados mediante la expresión

$$V_{C,0}=X_C{I}_{C,0}$$

▪ donde la cantidad

$$X_C=\frac{1}{\omega C} (9.1)$$

▪ se llama reactancia capacitiva. La relación entre valores eficaces $V_{C,ef}=V_{C,0}/\sqrt{2},I_{C,ef}=I_{C,0}/\sqrt{2}$ es la misma, es decir,

$$V_{C,ef}=X_C{I}_{C,ef}\mathrm{.}$$

La reactancia capacitiva juega aquí un papel similar a la resistencia, y tiene unidades de resistencia, pues es el cociente entre el voltaje de pico y la corriente de pico. Pero tiene una diferencia fundamental respecto a ella, que es la dependencia con la frecuencia. Cuando la frecuencia es muy grande, X_C tiende a cero, lo que implica que el condensador apenas ofrece oposición al paso de la corriente. En contraste, cuando la frecuencia tiende a cero (el límite de corriente continua), la reactancia capacitiva se hace infinita y no hay corriente, que era lo que pasaba en el régimen estacionario de corriente continua.

▪ A diferencia de lo que ocurre en una resistencia, el voltaje y la corriente en un condensador están desfasados en un ángulo de π/2 rad. Esto se debe a que lo que es proporcional al voltaje no es la corriente, sino la carga del condensador, y cuando el voltaje es máximo la carga lo es, por lo que la corriente es nula. Como vemos en las expresiones anteriores de VC(t) e IC(t), la corriente tiene un sumando +π/2 extra en la fase, y por eso se dice que, en un condensador en corriente alterna, la corriente está adelantada al voltaje en +π/2.

Potencia instantánea y potencia media en un condensador

La potencia instantánea P_C (t) que consume un condensador en corriente alterna es

$$\begin{array}{rl}{P}_C(t)& =I_C(t)V_C(t)=I_{C,0}{V}_{C,0}\sin (\omega t+{\alpha }_0)\cos (\omega t+{\alpha }_0)\\ & =\frac{I_{C,0}{V}_{C,0}}{2}\sin (2\omega t+2{\alpha }_0),\end{array}$$

es decir, alcanza valores positivos y negativos. En los instantes de valores positivos de la potencia, el condensador está tomando energía del generador para cargarse pero, en los instantes de valores negativos, el condensador devuelve energía al generador. Esto explica que la potencia media sea nula,

$$P_{C,m}=\frac{1}{T}{\int }_0^T{P}_C(t)dt=0,$$

lo que implica que, en promedio, el condensador no usa energía del generador en corriente alterna.

9.3. Inductores en corriente alterna

Vamos ahora a examinar el comportamiento de los inductores o bobinas en corriente alterna. Para ello, consideremos un generador de fem ɛ(t) = ɛ₀ sin (ωt + α₀) conectado a una bobina de autoinductancia L, como en la figura 9.3.

Como no hay nada más conectado entre ellos, la caída de tensión en la bobina es igual a la fem del generador, V_L(t) = ɛ(t), de modo que

$$V_L(t)=V_{L,0}\sin (\omega t+{\alpha }_0),$$

siendo V_L,0 = ɛ₀ el valor de pico del voltaje. La ecuación característica del inductor viene de la ley de Faraday, V_L(t) = L dI_L/dt. Integrando para obtener la corriente, encontramos

$$I_L(t)=\frac{1}{L}\simeq V_L(t)dt=\frac{-1}{\omega L}{V}_{L,0}\cos (\omega t+{\alpha }_0)\mathrm{.}$$

que podemos escribir como

$$I_L(t)=I_{L,0}\sin (\omega t+{\alpha }_0-\pi /2)\mathrm{.}$$

Comparamos V_L(t) e I_L(t):

▪ Los valores de pico del voltaje y la corriente en una bobina en corriente alterna están relacionados mediante la expresión

$$V_{L,0}=X_L{I}_{L,0}$$

donde la cantidad

$$X_L=\omega L (9.2)$$

▪ se llama reactancia inductiva. También se cumple V_L,ef = X_L I_L,ef. La reactancia inductiva aparece de nuevo como una resistencia y tiene unidades de resistencia, pues es el cociente entre el voltaje de pico y la corriente de pico, pero depende de la frecuencia. Cuando la frecuencia es muy grande, X_L tiende a infinito y la bobina se comporta como un circuito abierto. Cuando la frecuencia tiende a cero (límite de corriente continua), la reactancia inductiva se hace nula y la bobina se comporta como un cortocircuito.

▪ El voltaje y la corriente en un inductor están desfasados en π/2 rad. La corriente tiene un sumando −π/2 extra en la fase, y por eso se dice que, en un inductor en corriente alterna, la corriente está retrasada respecto al voltaje en −π/2.

Potencia instantánea y potencia media en un inductor

La potencia instantánea P_L(t) que consume una bobina en corriente alterna es

$$\begin{array}{rl}{P}_L(t)& =I_L(t)V_L(t)=-I_{L,0}{V}_{L,0}\sin (\omega t+{\alpha }_0)\cos (\omega t+{\alpha }_0)\\ & =-\frac{I_{L,0}{V}_{L,0}}{2}\sin (2\omega t+2{\alpha }_0),\end{array}$$

y alcanza valores positivos y negativos. En los instantes de valores positivos de la potencia, el inductor toma energía del generador, y en los instantes de valores negativos, el inductor devuelve energía al generador. Como en el caso del condensador, la potencia media se anula,

$$P_{L,m}=\frac{1}{T}{\int }_0^T{P}_L(t)dt=0,$$

lo que implica que, en promedio, el inductor no usa energía del generador en corriente alterna.

9.4. Números complejos

Debido a que, como hemos visto, los voltajes y las corrientes en condensadores e inductores están desfasados en corriente alterna, es muy útil estudiar este tipo de circuitos mediante una técnica que se basa en el uso de números complejos.

Un número complejo z es un par de números reales x e y escritos en la forma

$$z=x+iy,$$

donde $i=\sqrt{-1}$ es la llamada unidad imaginaria, tal que i² = −1. Se dice que x es la parte real de z e y es la parte imaginaria de z, y se escriben x = Re(z), y = Im(z).

Operaciones básicas con números complejos

Las operaciones más comunes con números complejos son:

▪ Para sumar o restar dos números complejos z1 = x1 +iy1, z2 = x2 +iy2, se suman o restan sus partes real e imaginaria por separado,

$$z_1\pm z_2=(x_1\pm x_2)+i(y_1\pm y_2)\mathrm{.}$$

▪ Para multiplicar dos números complejos z₁ = x₁ + iy₁, z₂ = x₂ + iy₂, se multiplica cada factor usando que i² = −1,

$$z_1{z}_2=(x_1+i{y}_1)(x_2+i{y}_2)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+i(x_1{y}_2+x_2{y}_1)\mathrm{.}$$

▪ Se define el conjugado del número complejo z = x + iy como el número complejo z^∗ = x − iy, obtenido con la misma parte real que z pero opuesta parte imaginaria. Se puede comprobar entonces que z + z^∗ = 2Re(z), z − z^∗ = 2iIm(z).

▪ El producto de un número complejo z = x + iy por su conjugado es un número real positivo,

$$z{z}^{*}=x^2+y^2,$$

tal que su raíz cuadrada (con signo positivo) se llama módulo |z| del número complejo z,

$$|z|=+\sqrt{z{z}^{*}}=+\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{.}$$

▪ Dados dos números complejos z₁ = x₁ + iy₁, z₂ = x₂ + iy₂, con z₂ ≠ 0, el cociente se puede calcular como

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1{z}_2^{*}}{z_2{z}_2^{*}}=\frac{(x_1{x}_2+y_1{y}_2)+i(-x_1{y}_2+x_2{y}_1)}{x_2^2+y_2^2}\mathrm{.}$$

Forma polar de un número complejo

La expresión de un número complejo como una pareja (x, y) de números reales recuerda la representación de un punto en un plano XY. Para este caso, este plano se llama plano de Argand y en él el eje X se llama eje real y el eje Y se llama eje imaginario. En la figura 9.4 podemos ver que la distancia al origen r es el módulo del número complejo z, es decir, r = |z|.

Según la figura 9.4, podemos escribir el número complejo z = x + iy como

$$z=x+iy=r\cos \varphi +ir\sin \varphi =|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )\mathrm{.}$$

Esta última expresión se llama la forma polar del número complejo. El ángulo φ con el eje real positivo se llama argumento del número complejo z, arg(z), y, mediante trigonometría básica, se puede calcular como

$$\arg (z)=\varphi =\arctan \left(\frac{y}{x}\right)=\arctan \left(\frac{\mathrm{Im}(z)}{\mathrm{Re}(z)}\right),$$

cuyo valor principal es aquel valor φ que satisface −π < φ ≤ π.

Hagamos ahora uso de una igualdad muy importante al estudiar números complejos, que es la identidad de Euler. Dice que, si φ es un número real, entonces la exponencial de iφ cumple

$$e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .$$

Combinando esta identidad con la igualdad z = |z|(cos φ + i sin φ), llegamos a que podemos representar cualquier número complejo z en forma polar como

$$z=\left|z\right|e^{i\varphi },$$

siendo |z| su módulo y φ su argumento.

9.5. Fasores, impedancias y ley de Ohm genaralizada

Los circuitos de corriente alterna con componentes reactivos (es decir, con reactancia), como se conocen colectivamente a los condensadores e inductores, son más complicados que los circuitos resistivos (es decir, con resistencia). Esto se debe a que los circuitos reactivos tienen un comportamiento que depende de la frecuencia y, además, las señales se adelantan o retrasan unas de otras, impidiendo que se siga una ley proporcional.

Consideremos circuitos de corriente alterna con un sólo generador de frecuencia angular ω. Vamos a ver cómo, mediante los números complejos y la representación en fasores de voltajes y corrientes alternas, se puede generalizar la ley de Ohm y usarla tanto para componentes reactivos como para componentes resistivos, reemplazando la palabra resistencia por la palabra impedancia.

La representación en fasores se basa en las siguientes reglas:

▪ Asociamos a cada voltaje o corriente un número complejo definido mediante el valor de pico y la fase inicial, eliminando la frecuencia angular ω. Por ejemplo,

$$V(t)=V_0\sin (\omega t+{\alpha }_0)\Rightarrow \hat{V}=V_0{e}^{i{\alpha }_0}\mathrm{.}$$

Estos números complejos que representan voltajes o corrientes se llaman fasores.

▪ Para volver a la forma sinusoidal del voltaje o la corriente, se multiplica el fasor por e^iωt y se toma la parte imaginaria del resultado. Por ejemplo,

$$\begin{array}{rl}\hat{V}=V_0{e}^{i{\alpha }_0}\Rightarrow V(t)& =\mathrm{Im}\left(\hat{V}{e}^{i\omega t}\right)=\mathrm{Im}\left(V_0{e}^{i(\omega t+{\alpha }_0)}\right)\\ & =V_0\sin (\omega t+{\alpha }_0)\mathrm{.}\end{array}$$

Impedancia y ley de Ohm generalizada

El uso de fasores permite generalizar la ley de Ohm a circuitos de corriente alterna que contienen resistencias, condensadores e inductores. Veamos cada elemento en fasores.

▪ En el apartado dedicado a las resistencias, habíamos estudiado el circuito de la figura 9.1 formado por un generador de fem ɛ(t) = ɛ₀ sin (ωt) (tomamos α₀ = 0 eligiendo el origen de tiempos de forma conveniente) y una resistencia R. El resultado para el voltaje en la resistencia era

$$V_R\left(t\right)=V_{R,0}\sin \left(\omega t\right),$$

con V_R,0 = E₀, y para la corriente

$$I_R\left(t\right)=I_{R,0}\sin \left(\omega t\right),$$

con I_R,0 = V_R,0/R. Los fasores correspondientes a ambas cantidades son

$$\begin{array}{rl}& {\hat{V}}_R=V_{R,0},\\ & {\hat{I}}_R=I_{R,0}=\frac{V_{R,0}}{R}\mathrm{.}\end{array}$$

El cociente entre el fasor voltaje y el fasor corriente se llama impedancia Z del elemento. Así, la impedancia resistiva es, simplemente, la propia resistencia

$$Z_R=R, (9.3)$$

y la resistencia sigue la ley de Ohm generalizada

$${\hat{V}}_R=Z_R{\hat{I}}_R\mathrm{.}$$

▪ Pasemos al caso de los condensadores. Teníamos el circuito de la figura 9.2 con un generador de fem ɛ(t) = ɛ₀ sin (ωt) y un condensador de capacidad C. El voltaje en el condensador resultaba

$$V_C(t)=V_{C,0}\sin (\omega t),$$

con V_C,0 = ɛ0, y la corriente

$$I_C(t)=I_{C,0}\sin (\omega t+\pi /2),$$

con I_C,0 = V_C,0/X_C, donde la reactancia capacitiva estaba dada por X_C = 1/(ωC). Con estos datos, el fasor voltaje es

$${\hat{V}}_C=V_{C,0}$$

y el fasor corriente

$${\hat{I}}_C=I_{C,0}{e}^{i\pi /2}=\frac{V_{C,0}}{X_C}{e}^{i\pi /2}\mathrm{.}$$

En consecuencia, la impedancia capacitiva resulta

$$Z_C=\frac{{\hat{V}}_C}{{\hat{I}}_C}=X_C{e}^{-i\pi /2}=-i{X}_C=\frac{-i}{\omega C}, (9.4)$$

por lo que el condensador sigue la ley de Ohm generalizada

$${\hat{V}}_C=Z_C{\hat{I}}_C\mathrm{.}$$

▪ Terminamos con el caso de una bobina. En el circuito de la figura 9.3 con un generador de fem ɛ(t) = ɛ₀ sin (ωt) y una bobina de autoinductancia L, el voltaje en el inductor era

$$V_L(t)=V_{L,0}\sin (\omega t),$$

con V_L,0 = ɛ₀, y la corriente era

$$I_L(t)=I_{L,0}\sin (\omega t-\pi /2),$$

con I_L,0 = V_L,0/X_L y la reactancia inductiva dada por X_L = ωL. En el formalismo de fasores, el fasor voltaje es

$${\hat{V}}_L=V_{L,0}$$

y el fasor corriente es

$${\hat{I}}_L=I_{L,0}{e}^{-i\pi /2}=\frac{V_{L,0}}{X_L}{e}^{-i\pi /2}\mathrm{.}$$

Se obtiene que la impedancia inductiva es

$$Z_L=\frac{{\hat{V}}_L}{{\hat{I}}_L}=X_L{e}^{i\pi /2}=i{X}_L=i\omega L (9.5)$$

y la bobina sigue la ley de Ohm generalizada

$${\hat{V}}_L=Z_L{\hat{I}}_L\mathrm{.}$$

En conclusión, la relación entre los fasores de corriente y voltaje se puede expresar mediante una sola ley, que es la ley de Ohm generalizada

$$\hat{V}=Z\hat{I}\mathrm{.} (9.6)$$

Además, la impedancia Z de varios elementos conectados en serie o en paralelo obedece las mismas reglas que las asociaciones de resistencias, teniendo en cuenta que se opera ahora con números complejos, y podemos analizar los circuitos de corriente alterna con los mismos métodos aprendidos para los circuitos de corriente continua pero aplicados a los fasores: leyes de Kirchhoff, divisor de voltaje, equivalente de Thévenin o de Norton, etc.