Parte II

Cuerpo de la Tesis

Organización y estructura

El cuerpo de la tesis consta de cinco capítulos. El primer capítulo está formado por definiciones y resultados conocidos sobre anillos, álgebras asociativas, álgebras de Lie y sistemas de Jordan, que serán utilizados en el resto de capítulos. En este primer capítulo podemos encontrar tres secciones. La primera de ellas está dedicada a las nociones sobre álgebras de Lie y sistemas de Jordan con las que vamos a trabajar en el segundo y tercer capítulo, la segunda sección la dedicaremos a la construcción del centroide extendido y clausura central de álgebras asociativas primas y semiprimas, citando varios resultados que nos serán de ayuda. Por último, en la tercera sección encontraremos conceptos sobre anillos que serán de utilidad para el capítulo cuatro.

En el segundo capítulo nos centraremos en la construcción de una filtración acotada asociada a un ideal interno abeliano B en un álgebra de Lie L. Esta filtración será de gran ayuda para el estudio de la especialidad del subcociente asociado a un ideal interno abeliano, (B, Ker_LB), que realizaremos en el capítulo tres. Para lograr tal construcción, necesitamos que [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B para algún natural n. En la primera sección de este capítulo analizamos esta hipótesis, llegando a la conclusión de que no es tan restrictiva como aparenta, ya que se verifica en las álgebras de Lie más usuales. En la segunda y última sección de este capítulo, construimos la citada filtración acotada inducida por un ideal interno abeliano y analizamos la relación existente entre esta filtración y la asociada por un elemento ad-nilpotente a de índice tres dada en [35, Theorem 1.2], ya que todo elemento ad-nilpotente de índice tres genera el ideal interno abeliano B = (a)_L = [a, [a, L]] + ϕa si L es libre de torsión 3. Este capítulo contiene los resultados del artículo [37], el cual se encuentra enviado para su publicación.

El tercer capítulo está dedicado al estudio de la especialidad de dos sistemas Jordan asociados a un álgebra de Lie L: el álgebra de Jordan L_a asociada a un elemento ad-nilpotente de índice menor o igual que 3 y el subcociente (B, L/Ker_LB) asociado a un ideal interno abeliano B. En este capítulo encontraremos dos secciones. En la primera de ellas damos condiciones suficientes para que el álgebra de Jordan L_a asociada a un elemento ad-nilpotente a de índice menor o igual que tres dada en [27, Theorem 2.4] sea especial. Para ello, la filtración asociada a este elemento a jugará un papel de suma importancia. En la segunda sección utilizamos la filtración asociada a un ideal interno abeliano B para dar condiciones bajo las cuales el subcociente (B, Ker_LB) es especial. Estos resultados se encuentran en el artículo publicado [36].

Para el cuarto capítulo cambiamos de ambiente. En este capítulo daremos una nueva demostración de la forma canónica de Jordan de un elemento nilpotente en un anillo arbitrario R. Si a ∈ R es un elemento nilpotente de índice n y aⁿ⁻¹ es regular von Neumann, podemos descomponer a = ea + (1 − e)a, siendo $e a \in e R e ≅ M_{n} (S)$ un bloque de Jordan de tamaño n × n, donde S es un anillo unitario, y (1 − e)a es nilpotente de índice menor que n para un idempotente e ∈ R tal que ae = ea. Este resultado hace posible caracterizar la forma canónica de Jordan de un elemento nilpotente a tal que todas sus potencias sean regulares von Neumann. Además, podremos caracterizar los anillos primos de índice acotado n con un elemento nilpotente a ∈ R del índice n y tal que aⁿ⁻¹ es regular von Neumann como un anillo de matrices sobre un dominio unitario. El contenido de este capítulo ha sido de gran utilidad para describir los elementos ad-nilpotentes en álgebras de Lie que proceden de álgebras asociativas con involución [20], y su contenido puede encontrarse en el artículo publicado [38].

En el último capítulo sintetizamos los resultados más relevantes de este trabajo, resumiendo los métodos utilizados para llegar a ellos.

Capítulo 1

Preliminares

1.1. Nociones básicas sobre álgebras de Lie y sistemas de Jordan

Por un anillo de escalares ϕ entenderemos que ϕ es un anillo asociativo, conmutativo y unitario. Trataremos con álgebras asociativas R, álgebras de Lie L, álgebras de Jordan J y pares de Jordan V sobre un anillo de escalares ϕ, con $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ ∈ ϕ. Nos referiremos a [43], [3] , [56], [51] y [25] para los resultados básicos, notación y terminología sobre álgebras de Lie y sistemas de Jordan. A lo largo de este capítulo vamos a ir introduciendo definiciones y resultados necesarios para el desarrollo de los capítulos posteriores.

Definición 1.1.1. Un álgebra de Lie L sobre un anillo de escalares ϕ es un ϕ-módulo dotado de un producto bilineal [ , ] : L × L → L anticonmutativo y verificando la identidad de Jacobi, es decir,

$[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0$

para todo x, y, z ∈ L.

Ejemplo 1.1.2. Sea R un álgebra asociativa sobre un anillo de escalares ϕ cuyo producto denotaremos por yuxtaposición. Entonces el ϕ-módulo R dotado con el producto [x, y] = xy − yx para todo x, y ∈ R es un álgebra de Lie que denotaremos por R⁽⁻⁾. Si R tiene involución *, podemos definir el conjunto de los elementos antisimétricos de R,

$Skew (R, *) = {x \in R : x^{*} = - x} .$

En este caso, se tiene que Skew(R, *) es un subálgebra de Lie de R⁽⁻⁾.

Definición 1.1.3. Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ y sea x ∈ L.

▪ Se define la aplicación adjunta determinada por x, y la denotaremos por ad_x : L → L, a la aplicación lineal definida por ad_x(y) = [x, y] para todo y ∈ L.

▪ Diremos que x es ad-nilpotente (en L) si existe n ∈ ℕ tal que ${ad}_{x}^{n} (L) = 0$ . En ese caso, se dirá que n es el índice de ad-nilpotencia de x (sobre L) si ${ad}_{x}^{n - 1} (L) \neq 0$ .

▪ A un elemento ad-nilpotente a ∈ L cuyo índice de ad-nilpotencia sea menor o igual a tres lo llamaremos elemento Jordan. En este caso, se define el núcleo de a como el conjunto ${Ker}_{L} a = {x \in L : {ad}_{a}^{2} (x) = 0}$ .

▪ Diremos que x ∈ L es un divisor absoluto de cero si x es un elemento ad-nilpotente en L con índice de ad-nilpotencia menor o igual a dos.

▪ Se dirá que L es no degenerada si L no tiene divisores absolutos de cero no nulos.

Definición 1.1.4. Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ.

▪ Diremos que L es un álgebra de Lie prima si [I, J] ≠ 0 para todo par de ideales no nulos I, J de L.

▪ Si L es un álgebra de Lie prima y no degenerada, diremos que L es un álgebra de Lie fuertemente prima.

Se tiene la siguiente caracterización para álgebras de Lie fuertemente primas ([33, Theorem 1.6]).

Teorema 1.1.5. Sea L un álgebra de Lie libre de torsión 2 y 3 sobre un anillo de escalares ϕ. Entonces L es fuertemente prima si, y solo si, para todo x, y ∈ L tales que [x, [y, L]] = 0, se tiene que x = 0 o y = 0.

Definición 1.1.6. Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ y sea B un submódulo de L. Diremos que B es un ideal interno abeliano de L si [B, [B, L]] ⊂ B y [B, B] = 0. En ese caso, definimos el núcleo de B como

${Ker}_{L} B = {x \in B : [B, [B, x]] = 0} .$

Observación 1.1.7. Todo elemento b ∈ B es un elemento Jordan de L, ya que

${ad}_{b}^{3} (L) = [b, [b, [b, L]]] \subset [B, B] = 0 .$

Ejemplo 1.1.8. Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ y sea a ∈ L un elemento Jordan. Si L es libre de torsión 3, entonces [a]_L = [a, [a, L]] y (a)_L = [a, [a, L]] + ϕa son ideales internos abelianos de L [14, Lemma 1.8]. Además, si L es no degenerada, por [30, Lemma 3.7]

${Ker}_{L} a = {Ker}_{L} {(a)}_{L} = {Ker}_{L} {[a]}_{L} .$

Definición 1.1.9. Sea ϕ un anillo de escalares. Un álgebra de Jordan es un ϕ-módulo J junto con dos aplicaciones cuadráticas

$U : J ⟶ {End}_{ϕ} (J) y {()}^{2} : J ⟶ J$

verificando las siguientes identidades en todas las extensiones por escalares de J:

1. x² o y = U_{x, y}(x),

2. x o U_x(y) = U_x(x o y),

3. (x²)² = U_x(x²),

4. (U_x(y))² = U_xU_y(x²),

5. $U_{x^{2}} = U_{x}^{2}$ ,

6. U_{U_x}(y) = U_xU_yU_x

para todo x, y ∈ J, donde x o y = (x + y)² – x² − y² y U_x,_z (y) = (U_x+z − U_x − U_z)(y) para todo x, y, z ∈ J [51, 1.6].

Observación 1.1.10. Como vamos a trabajar con anillos de escalares ϕ tales que $\frac{1}{2}$ ∈ ϕ, por [42, 1.4] podremos caracterizar un álgebra de Jordan como un ϕ-módulo J dotado con un producto bilineal, que denotaremos por •, satisfaciendo las siguientes condiciones:

1. x • y = y • x, y

2. x² • (y • x) = (x² • y) • x

para todo x, y ∈ J, donde x² = x • x.

Además, para cada x ∈ J, se define la aplicación U_x : J → J dada por U_xy = 2x • (x • y) − x² • y para todo y ∈ J.

Ejemplo 1.1.11. Sea R un álgebra asociativa sobre un anillo de escalares ϕ, con $\frac{1}{2} \in ϕ$ . Entonces el ϕ-módulo R dotado con el producto $x • y = \frac{1}{2} (x y + y x)$ para todo x, y ∈ R es un álgebra de Jordan que denotaremos por R⁽⁺⁾. Si R tiene involución *, podemos definir el conjunto de los elementos simétricos de R,

$H (R, *) = {x \in R : x^{*} = x} .$

En este caso, se tiene que H(R, *) es un subálgebra de Jordan de R⁽⁺⁾.

Definición 1.1.12. Sea J un álgebra de Jordan sobre un anillo de escalares ϕ. Diremos que J es especial si J es un subálgebra del álgebra de Jordan R⁽⁺⁾ definido por un áigebra asociativa R sobre ϕ. En otro caso, diremos que J es excepcional.

Definición 1.1.13. Sea J un álgebra de Jordan sobre un anillo de escalares ϕ tal que $\frac{1}{2}$ ∈ ϕ.

▪ Un ϕ-submódulo I de J se dirá que es un ideal de J si I • J ⊂ I.

▪ Sean I, K dos ideales de J. Diremos que J es prima si I • K = 0 implica I = 0 o K = 0.

▪ Un elemento x ∈ J se dirá que es un divisor absoluto de cero si U_xJ = 0. Diremos que J es no degenerada si no tiene divisores absolutos de cero no nulos.

▪ Diremos que J es fuertemente prima si J es prima y no degenerada.

En [2, Lemma 1.13] aparece la siguiente caracterización para álgebras de Jordan fuertemente primas.

Teorema 1.1.14. Sea J un álgebra de Jordan sobre un anillo de escalares ϕ. Entonces J es fuertemente prima si, y solo si, para todo x, y ∈ J tales que U_xU_JU_y = 0, se tiene que x = 0 o y = 0.

Teorema 1.1.15. [27, Theorem 2.4] Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ tal que $\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in ϕ y$ sea a ∈ L un elemento Jordan. Entonces L dotado con el producto definido por $x • y = \frac{1}{2} [[x, a], y]$ , para todo x, y ∈ L, es un álgebra no asociativa, denotada por L^(a), tal que:

1. Ker_La es un ideal de L^(a).

2. L_a := L^(a)/Ker_La es un álgebra de Jordan, cuyo operador U viene dado por

$U_{\bar{x}} \bar{y} = \frac{1}{8} \bar{{ad}_{x}^{2} {ad}_{a}^{2} b},$

para todo x, y ∈ L, donde $\bar{x}$ denota la clase de equivalencia de x respecto de Ker_La.

Definición 1.1.16. Sea ϕ un anillo de escalares. Un par de Jordan es un par de ϕ-módulos V = (V⁺, V⁻) junto con dos aplicaciones cuadráticas

$Q^{+} : V^{+} ⟶ {Hom}_{ϕ} (V^{-}, V^{+})$

$Q^{-} : V^{-} ⟶ {Hom}_{ϕ} (V^{+}, V^{-})$

verificando las siguientes identidades en todas las extensiones por escalares de V:

1. $D^{σ} (x, y) Q_{x}^{σ} = Q_{x}^{σ} D^{σ} (y, x)$ ,

2. $D^{σ} (Q_{x}^{σ} (y), y) = D^{σ} (x, Q_{y}^{- σ} (x)),$

3. $Q_{Q_{x}^{σ} (y)}^{σ} = Q_{x}^{σ} Q_{y}^{- σ} Q_{x}^{σ},$

para todo x ∈ V^σ y para todo y ∈ V^−σ, con σ = ±, y donde

$D^{σ} : V^{σ} \times V^{- σ} ⟶ {End}_{ϕ} (V^{σ})$

es la aplicación bilineal dada por

$D^{σ} (x, y) (z) = Q_{x + z}^{σ} (y) - Q_{x}^{σ} (y) - Q_{z}^{σ} (y)$

para todo x, z ∈ V^σ y para todo y ∈ V^−σ.

Observación 1.1.17. Como vamos a trabajar con anillos de escalares ϕ tales que $\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in ϕ$ , por [51, Proposition 2.2], vamos a poder caracterizar un par de Jordan como aquellos pares de ϕ-módulos V = (V⁺, V⁻) dotados con dos aplicaciones trilineales

${,,} : V^{+} \times V^{-} \times V^{+} ⟶ V^{+},$

${,,} : V^{-} \times V^{+} \times V^{-} ⟶ V^{-}$

tales que {x, y, z} = {z, y, x} y

${x, y, {u, v, z}} - {u, v, {x, y, z}} = {{x, y, u}, v, z} - {u, {y, x, v}, z}$

para todo x, z, u ∈ V^σ y para todo y, v ∈ V^−σ, con σ = ±.

Por ello, de ahora en adelante, las definiciones y resultados sobre pares de Jordan las sustituiremos por sus caracterizaciones equivalentes en función del producto triple

${,,} : V^{σ} \times V^{- σ} \times V^{σ} ⟶ V^{σ},$

con σ = ±.

Ejemplo 1.1.18. [30, Lemma 3.2 (a)] Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ, con $\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in ϕ$ , y sea B ⊂ L un ideal interno abeliano de L. Asociado a B podemos considerar el subcociente (B, L/Ker_LB), que es un par de Jordan con productos

${b_{1}, \bar{x}, b_{2}} = [[b_{1}, x], b_{2}] y {\bar{x}, b_{1}, \bar{y}} = \bar{[[x, b], y]}$

para todo b₁, b₂ ∈ B y para todo $\bar{x}, \bar{y}$ ∈ L/Ker_LB, donde $\bar{x}$ = x + Ker_LB, $\bar{y}$ = y + Ker_LB.

En particular, si a ∈ L es un elemento Jordan, ([a, [a, L]], L/Ker_L[a]_L) y ([a, [a, L]] + ϕa, L/ Ker_L(a)_L) son pares de Jordan.

Observación 1.1.19. Sea V = (V⁺, V⁻) un par de Jordan sobre un anillo de escalares ϕ, con $\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in ϕ$ , y sea a ∈ V^−σ, σ = ±. El ϕ-módulo V^σ tiene estructura de álgebra de Jordan con el producto dado por $x • y = \frac{1}{2} {x, a, y}$ para todo x, y ∈ V^σ. Esta álgebra de Jordan se denota por V^(a) y se denomina el álgebra a-homótopa de V [51, 1.9].

Si L es un álgebra de Lie no degenerada sobre un anillo de escalares ϕ, con $\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in ϕ$ , y a ∈ L es un elemento Jordan de L, podemos considerar el par de Jordan V = ([a, [a, L]] + ϕa, L/Ker_L(a)_L). Entonces V^(a) coincide con el álgebra de Jordan L_a con el producto $\bar{x} • \bar{y} = \frac{1}{2} \bar{[[x, a], y]}$ para todo x, y ∈ L [30, Remark 3.6].

Definición 1.1.20. Sea ϕ un anillo de escalares. Un par asociativo A = (A⁺, A⁻) es un par de ϕ-módulos dotado con dos aplicaciones trilineales

$\begin{array}{ccc} A^{σ} \times A^{- σ} \times A^{σ} & ⟶ & A^{σ} \\ (x, y, z) & ⟼ & x y z \end{array},$

tales que

$u v (x y z) = u (v x y) z = (u v x) y z$

para todo x, z, u ∈ A^σ y para todo y, v ∈ A^−σ, donde σ = ±.

Ejemplo 1.1.21. Sea ϕ un anillo de escalares y sea R un álgebra asociativa sobre ϕ. Entonces V = (R, R) con producto triple dado por xyz para todo x, y, z ∈ R es un par asociativo.

Ejemplo 1.1.22. Si X e Y son dos ϕ-módulos sobre un anillo de escalares ϕ, entonces el par

$V = ({Hom}_{ϕ} (X, Y), {Hom}_{ϕ} (Y, X))$

con el triple producto f₁g₁f₂ y g₁f₁g₂, para todo f₁, f₂ ∈ Hom_ϕ(X, Y) y para todo g₁, g₂ ∈ Hom_ϕ(Y, X), es un par asociativo.

Observación 1.1.23. Si A = (A⁺, A⁻) es un par asociativo sobre un anillo de escalares ϕ, entonces el par (A⁺, A⁻) con producto $Q_{x}^{σ} (y) = x y x$ para todo x ∈ A^σ y para todo y ∈ A^−σ, donde σ = ±, es un par de Jordan que denotaremos por V = (A⁺, A⁻)⁽⁺⁾.

Si $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ ∈ ϕ, en términos del producto triple tenemos que V = (A⁺, A⁻)⁽⁺⁾ es un par de Jordan con productos

${x, y, z} = x y z + z y x y {y, x, t} = y x t + t x y$

para todo x, z ∈ A^σ y todo y, t ∈ A^−σ, para σ = ±.

Definición 1.1.24. Sea V = (V⁺, V⁻) un par de Jordan sobre un anillo de escalares ϕ, con $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ ∈ ϕ.

▪ Diremos que el par de ϕ-módulos S = (S⁺, S⁻) es un subpar del par de Jordan V = (V⁺, V⁻) si los módulos S^σ son submódulos de V^σ tales que {S^σ, S^−σ, S^σ} ⊂ S^σ, para σ = ±.

▪ Un ideal de V es un par de ϕ-módulos I = (I⁺, I⁻), con I^σ ⊂ V^σ, tales que

${I^{σ}, V^{- σ}, V^{σ}} + {V^{σ}, I^{- σ}, V^{σ}} \subset I^{σ},$

para σ = ±.

▪ Sea I = (I⁺, I⁻) un ideal del par de Jordan V = (V⁺, V⁻). Definimos el anulador de I como el par de ϕ-módulos

${Ann}_{V} (I) = ({Ann}_{V} {(I)}^{+}, {Ann}_{V} {(I)}^{-}),$

donde Ann_V(I)^σ es el conjunto de todos los elementos x ∈ V^σ tales que

${x, I^{- σ}, V^{σ}} = {I^{σ}, V^{- σ}, x} = 0, {I^{- σ}, x, V^{- σ}} = 0,$

para σ = ±. En este caso, se tiene que Ann_V(I) es un ideal de V.

▪ Dados dos pares de Jordan V = (V⁺, V⁻) y W = (W⁺, W⁻) sobre el mismo anillo de escalares ϕ, un homomorfismo entre V y W es un par de aplicaciones ϕ-lineales, φ = (φ⁺, φ⁻), con φ^σ : V^σ → W^σ, para σ = ±, tales que

$φ^{σ} ({x, y, z}) = {φ^{σ} (x), φ^{- σ} (y), φ^{σ} (z)}$

para todo x, z ∈ V^σ y para todo y ∈ V^−σ, σ = ±. Tal y como ocurre en el caso de las álgebras asociativas, se tiene que la imagen de un homomorfismo de pares de Jordan φ : V → W es un subpar de W y el núcleo es un ideal de V.

▪ Diremos que el par V es primo si {I^σ, J^−σ, I^σ} = 0, para σ = ±, implica I = 0 o J = 0 para ideales cualesquiera I, J de V.

▪ Un par de Jordan V es no degenerado si no tiene divisores absolutos de cero no nulos, es decir, si para todo x ∈ V^σ tal que {x, V^−σ, x} = 0, entonces x = 0, donde σ = ±. Diremos que V es fuertemente primo si V es primo y no degenerado.

Por [2, Lemma 1.10] se tiene la siguiente caracterización para pares de Jordan fuertemente primos.

Teorema 1.1.25. Sea V = (V⁺, V⁻) un par de Jordan sobre un anillo de escalares ϕ. Entonces V es fuertemente primo si, y solo si, para todo x, y ∈ V^σ tales que $Q_{x}^{σ} Q_{V - σ}^{- σ} Q_{y}^{σ} = 0$ , se tiene que x = 0 o y = 0 (σ = ±).

Definición 1.1.26. Sea ϕ un anillo de escalares y sea V = (V⁺, V⁻) un par de Jordan. Diremos que V es especial si V es un subpar del par de Jordan (A⁺, A⁻)⁽⁺⁾ para algún par asociativo A = (A⁺, A⁻) sobre ϕ.

Ejemplo 1.1.27. [25] Un ejemplo de par de Jordan especial que será relevante en lo que sigue es

$V = {({Hom}_{ϕ} (X, Y), {Hom}_{ϕ} (Y, X))}^{(+)},$

donde X e Y son dos ϕ-módulos sobre un anillo de escalares ϕ.

Definición 1.1.28. Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ. Una ℤ-graduación finita es una ℤ-graduación no trivial de L tal que el soporte, supp L = {m ∈ ℤ : L_m ≠ 0}, es finito. En este caso

$L = L_{- n} \oplus L_{- (n - 1)} \oplus \dots \oplus L_{0} \oplus \dots \oplus L_{n - 1} \oplus L_{n}$

para algún entero positivo n ∈ ℤ. Si L_−n + L_n ≠ 0, diremos que esta ℤ-graduación es una (2n + 1)-graduación.

Observación 1.1.29. Si L = L_−n ⊕ . . . ⊕ L_n es un álgebra de Lie (2n + 1)-graduada sobre un anillo de escalares ϕ, con $\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in ϕ$ , entonces V = (L_−n, L_n) es un par de Jordan con productos

${x, y, z} = [[x, y], z] y {y, x, t} = [[y, x], t]$

para todo x, z ∈ L_−n y para todo y, t ∈ L_n [62, p. 351]. A este par de Jordan se le denomina par de Jordan asociado a L.

Definición 1.1.30. Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ. Una ℤ-filtración ${F_{i}}_{i \in ℤ}$ es una cadena de submódulos de L

$\dots \subset F_{- 2} \subset F_{- 1} \subset F_{0} \subset F_{1} \subset F_{2} \subset \dots$

tal que $[F_{i}, F_{j}] \subset F_{i + j}$ para todo i, j ∈ ℤ. Diremos que esta filtración es acotada si existen n, m ∈ ℤ, con n < m, tales que $F_{i} = 0$ para todo i ≤ n y $F_{j} = L$ para todo j ≥ m.

Observación 1.1.31. Si ${F_{i}}_{i \in ℤ}$ es una ℤ-filtración de un álgebra de Lie L sobre ϕ, podemos considerar el ϕ-módulo

$\hat{L} = \dots \oplus \underset{L_{i - 1}}{\underset{⏟}{F_{i - 1} / F_{i - 2}}} \oplus \underset{L_{i}}{\underset{⏟}{F_{i} / F_{i - 1}}} \oplus \underset{L_{i + 1}}{\underset{⏟}{F_{i + 1} / F_{i}}} \oplus \dots$

con el producto $[\bar{x}, \bar{y}] = \bar{[x, y]} \in F_{i + j} / F_{i + j - 1}$ para todo $\bar{x} = x + F_{i - 1}$ ∈ $F_{i} / F_{i - 1}$ y para todo $\bar{y} = y + F_{j - 1} \in F_{j} / F_{j - 1}$ . De esta forma, tenemos que L̂ tiene estructura de álgebra de Lie ℤ-graduada sobre ϕ, y se le llama álgebra de Lie ℤ-graduada inducida por la ℤ-filtración ${F_{i}}_{i \in ℤ}$ .

Ejemplo 1.1.32. [35, Theorem 1.2] Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ, con $\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in ϕ$ . Sea a ∈ L un elemento Jordan y consideremos los conjuntos

$\begin{matrix} G_{i} = 0, i \leq - 3, G_{- 2} = [a, [a, L]] + ϕ a, G_{- 1} = [a, {Ker}_{L} a] + ϕ a, \\ G_{0} = {x \in L : [x, a] \in [a, [a, L]]}, G_{1} = {Ker}_{L} a, G_{j} = L, j \geq 2 . \end{matrix}$

Así, tenemos que ${\{G_{i}\}}_{i \in ℤ}$ es una ℤ-filtración acotada de L. A esta filtración se le denomina filtración principal de L definida por a.

1.2. Centroide extendido y clausura central

En esta sección trabajaremos con anillos no necesariamente unitarios. Nos referiremos a [9, Chapter 2] y a [25] para la definición y propiedades sobre el centroide extendido de un anillo semiprimo.

Definición 1.2.1. Un anillo R se dirá que es semiprimo si 1² ≠ 0 para todo ideal no nulo I de R. Diremos que R es primo si IJ ≠ 0 para todo par de ideales no nulos I, J de R.

Observación 1.2.2. Se tiene que R es semiprimo si, y solo si, aRa ≠ 0 para todo elemento no nulo a ∈ R. Análogamente, R es primo si, y solo si, aRb ≠ 0 para todo a, b ∈ R, con a, b ≠ 0.

Definición 1.2.3. Sea R un anillo y sea I un ideal de R.

▪ Si R tiene involución *, se dirá que I es un *-ideal de R si y* ∈ I para todo y ∈ I.

▪ Diremos que R es *-primo si IJ ≠ 0 para todo par de *-ideales no nulos I, J de R.

▪ Se dirá que I es un ideal primo de R si R/I es primo.

▪ Si R tiene involución *, se dirá que un *-ideal I de R es *-primo si R/I es *-primo.

Observación 1.2.4. Si R es un anillo semiprimo, por [53] y [16] , se tiene que existe una familia de ideales primos, {I_α}_α∈Δ, tal que $\cap_{α \in Δ} I_{α} = 0 y$ , por tanto, R puede verse como producto subdirecto de anillos primos.

Análogamente, si R es un anillo semiprimo con involución *, entonces existe una familia de *-ideales *-primos, {I_α}_α∈Δ, tal que $\cap_{α \in Δ} I_{α} = 0 y$ , por tanto, R puede verse como producto subdirecto de anillos *-primos.

Definición 1.2.5. Sea R un anillo y sea I un ideal de R.

▪ Diremos que I es un ideal esencial de R si I ⋂ J ≠ 0 para todo ideal J no nulo de R.

▪ Si R tiene involucion * e I es un *-ideal de R tal que I ⋂ J ≠ 0 para todo *-ideal no nulo J de R, diremos que I es un *-ideal esencial.

Definición 1.2.6. Sea R un anillo semiprimo y denotemos por ɛ al conjunto de los ideales esenciales de R. Si I, J ≠ ɛ, entonces I ∩ J, I J ≠ ɛ. Consideremos el conjunto

$\{(f, I) : I \in ɛ y f : I_{R} ⟶ R_{R}\},$

donde por f : I_R → R_R entendemos que f es un homomorfismo de R-módulos por la derecha. Diremos que los pares (f, I) y (g, J) están relacionados, y lo denotaremos por (f, I) ~ (g, J), si existe un ideal esencial K ⊂ I ∩ J tal que f(x) = g(x) para todo x ∈ K. De esta forma, se tiene que ~ es una relación de equivalencia. Por [f, I] denotaremos a la clase de equivalencia de (f, I).

En estas circunstancias, el conjunto de las clases de equivalencia anterior con las operaciones

$[f, I] + [g, J] = [f + g, I \cap J], [f, I] \cdot [g, J] = [f g, (I \cap J)^{2}]$

tiene estructura de anillo unitario [9, Chapter 2]. A este anillo unitario se le denomina el anillo de cocientes de Martindale por la derecha de R, y se denota por $Q_{m}^{r} (R)$ .

Observación 1.2.7. Nótese que si R es un anillo semiprimo, entonces la aplicación $φ : R ⟶ Q_{m}^{r} (R)$ , definida por φ(r) = [λ_r, R] para todo r ∈ R, donde λ_r : R → R viene dado por λ_r (x) = rx para todo x ∈ R, es un monomorfismo de anillos, es decir, R puede considerarse subanillo de su anillo de cocientes de Martindale por la derecha. Además, dado cualquier $0 \neq q = [f, I] \in Q_{m}^{r} (R)$ , se tiene que 0 ≠ qI ⊂ R, con lo que todo subanillo S de $Q_{m}^{r} (R)$ que contenga a R es semiprimo (primo, si R es un anillo primo), ya que todo ideal no nulo de S tiene intersección no nula con R.

Definición 1.2.8. Sea R un anillo semiprimo y sea $Q_{m}^{r} (R)$ su anillo de cocientes de Martindale por la derecha. Se define el anillo simétrico de cocientes de Martindale de R como el conjunto

$Q_{m}^{s} (R) = \{q \in Q_{m}^{r} (R) : \exists un ideal esencial J de R tal que q J + J q \subset R\} .$

Observación 1.2.9. Como R es un anillo semiprimo, entonces $Q_{m}^{s} (R)$ es un anillo semiprimo, ya que $Q_{m}^{s} (R)$ es un subanillo de $Q_{m}^{r} (R)$ que contiene a R.

Observación 1.2.10. Si R es un anillo semiprimo con involución*, podemos reemplazar el conjunto de ideales esenciales por el conjunto de *-ideales esenciales en la definición del anillo simétrico de cocientes de Martindale. Esta involución puede extenderse de forma única a $Q_{m}^{s} (R)$ de la siguiente manera: sea $q = [f, I] \in Q_{m}^{s} (R)$ , donde I en un *-ideal esencial de R y f : I_R → R_R es un homomorfismo de R-módulos por la derecha. Entonces q* = [g, I], donde g(y) := (f (y*))* para todo y ∈ I ([8, p. 858-859]).

Definición 1.2.11. Sea R un anillo semiprimo y sea $Q_{m}^{s} (R)$ su anillo simétrico de cocientes de Martindale. Se define el centroide extendido de R, y se denota por C(R), como el centro de $Q_{m}^{s} (R)$ .

Definición 1.2.12. Sea R un anillo y sea a ∈ R. Se dirá que a es regular von Neumann si existe b ∈ R tal que aba = a. Si todo elemento de R es regular von Neumann, diremos que R es regular von Neumann.

Teorema 1.2.13. Sea R un anillo semiprimo. Entonces C(R) es un anillo asociativo, conmutativo y regular von Neuman ([9, Theorem 2.3.9 (iii)]). En particular, C(R) no tiene elementos nilpotentes. Además, si R es primo, entonces C(R) es un cuerpo ([9, p. 70]).

Definición 1.2.14. Sea R un anillo primo con involución *. Diremos que * es de primera especie si la involución inducida en C(R) es la identidad. En otro caso, diremos que * es de segunda especie.

Definición 1.2.15. Sea R un anillo semiprimo. Se define la clausura central de R como R̂ = C(R) + C(R)R. Diremos que R es centralmente cerrado si R coincide con su clausura central.

Observación 1.2.16. R puede verse como subanillo de $\hat{R}$ . Así, como $\hat{R}$ es un subanillo de $Q_{m}^{s} (R)$ que contiene a R, entonces $\hat{R}$ es semiprimo.

Por otra parte, cuando R tiene involución *, podemos extender esta involución a $\hat{R}$ , ya que * puede extenderse a $Q_{m}^{s} (R)$ y posteriormente restringirse de $Q_{m}^{s} (R)$ a $C (R) = Z (Q_{m}^{s} (R))$ . Además, si R es un anillo primo centralmente cerrado y libre de torsión 2 con involución * de segunda especie, entonces existe 0 ≠ λ ∈ Skew(C(R), *), con lo que λ² ≠ 0 tiene inverso en H(C(R), *) y, por tanto,

$\begin{matrix} R = H (R, *) \oplus Skew (R, *) = λ^{2} H (R, *) \oplus Skew (R, *) \subset \\ λ Skew (R, *) \oplus Skew (R, *) \subset R \end{matrix}$

con lo que R = λSkew(R, *) ⊕ Skew(R, *).

En el caso en el que R sea *-primo pero no primo, siempre existe 0 ≠ λ ∈ Skew(C(R), *) tal que R = λSkew (R, *)⊕ Skew (R, *) ya que, en este caso, existe un ideal no nulo I de R tal que I ∩ I* ≠ 0, por lo que podemos definir un elemento antisimétrico no nulo λ : I ⊕ I* → R en C(R) dado por λ(x + y) = x – y para todo x ∈ I y todo y ∈ I * (ver [21, §2.4]).

Aunque hemos trabajado con anillos, los conceptos de centroide extendido y clausura central tienen análogos en álgebras asociativas. Supongamos que R es un álgebra asociativa semiprima sobre un anillo de escalares ϕ. De manera análoga, podemos definir el álgebra de cocientes de Martindale por la derecha de R, y se denota por $Q_{m}^{r} (R)$ , y el álgebra simétrica de cocientes de Martindale de R, $Q_{m}^{s} (R)$ . El centroide extendido de R es $C (R) = Z (Q_{m}^{s} (R))$ y la clausura central de R es $\hat{R} = C (R) + C (R) R$ . Diremos que el álgebra R es centralmente cerrada si R coincide con $\hat{R}$ (ver [25, p. 15], [32] y [55]).

1.3. Algunos conceptos en anillos

Trataremos con anillos R no necesariamente unitarios R. Si R no tiene unidad, por expresiones del tipo (1 − x)y, para x, y ∈ R, entenderemos y − xy ∈ R. Usaremos como referencia el libro de K. R. Goodearl [39].

Recordemos que un elemento a en un anillo R se dirá que es regular von Neumann si existe b ∈ R tal que aba = a. Además, si todo elemento de R es regular von Neumann, diremos que R es regular von Neumann.

Definición 1.3.1. Sea R un anillo y sea a ∈ R. Si R tiene unidad, diremos que a es unit-regular si existe b ∈ R invertible tal que aba = a.

Definición 1.3.2. Sea R un anillo y sea a ∈ R.

▪ Diremos que a es nilpotente si existe m ∈ ℕ tal que a^m = 0.

▪ Si es a nilpotente, se dirá que el índice de nilpotcncia de a es n si aⁿ = 0 y aⁿ⁻¹ ≠ 0. En particular, 0 es nilpotente de índice 1.

▪ Diremos que a es nilpotente de índice maximal si a es nilpotente de índice n y R no tiene elementos nilpotentes de índice mayor que n.

Definición 1.3.3. Sea R un anillo y sean e, f ∈ R.

▪ Diremos que e es idempotente si e² = e.

▪ Si e y f son dos idempotentes tales que ef = fe = 0, se dirá que e y f son idempotentes ortogonales.

Definición 1.3.4. Diremos que un anillo R es regular abeliano si R es regular von Neumann y todo idempotente es central, es decir, si todo idempotente de R está contenido en Z(R), el centro de R.

Observación 1.3.5. Por [39, Theorem 3.2], se tiene que un anillo regular von Neumann R es regular abeliano si, y solo si, R no tiene elementos nilpotentes no nulos.

Definición 1.3.6. Sea R un anillo no necesariamente unitario y sean I, J dos ideales de R. Diremos que R es indescomponible (como anillo) si R = I ⊕ J implica I = 0 y J = R, o bien I = R y J = 0.

Observación 1.3.7. Si R es un anillo indescomponible, entonces los únicos idempotentes centrales son 0 y 1.

En efecto, si R es indescomponible y e ∈ Z(R) es un idempotente de R, entonces R = eR ⊕ (1 − e)R, donde eR y (1 − e)R son ideales de R. Por lo tanto, o eR = 0 y (1 − e)R = R, o bien eR = R y (1 − e)R = 0. En cualquier caso, se tiene que e = 0 o e = 1.

Capítulo 2

Filtración asociada a un ideal interno abeliano

Sea L un álgebra de Lie y sea B un ideal interno abeliano de L. En este capítulo vamos a demostrar que, cuando existe n ∈ ℕ tal que [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B, el ideal interno abeliano B induce una filtración acotada en L donde B es el primer submódulo no nulo de la filtración. Además, el par de Jordan asociado al álgebra de Lie ℤ-graduada inducida por esta filtración coincide con el subcociente determinado por B. Esta filtración extiende a la filtración principal inducida por un elemento ad-nilpotente de índice menor o igual que tres definida en [35]. El contenido de este capítulo está recogido en el artículo [37], el cual se encuentra enviado para su publicación.

2.1. La condición [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B

Veamos en primer lugar que la condición [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B se verifica en las álgebras de Lie más usuales.

La siguiente proposición pertenece al artículo publicado [36]. Por el contexto de la sección se ha decidido poner en este capítulo.

Proposición 2.1.1. Sea R un álgebra asociativa prima centralmente cerrada sobre un anillo de escalares ϕ, tal que $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ ∈ ϕ, y sea B un ideal interno abeliano de R⁻. Entonces se verifica:

1. Para todo b ∈ B, existe un único λ_b ∈ C(R) tal que (b – λ_b)² = 0.

2. B′ := {b – λ_b : b ∈ B} es un ideal interno abeliano de R⁽⁻⁾ tal que B′ B′ = 0 y B′(Ker_R⁽⁻⁾B)B′ = 0.

3. B* := B+B′RB′ es un ideal interno abeliano de R⁽⁻⁾ tal que Ker_R⁽⁻⁾ B* coincide con Ker_R(−)B.

4. [[B*, Ker_R⁽⁻⁾ B], [B*, Ker_R⁽⁻⁾ B] ⊂ B*, con lo que tanto [B*, Ker_R⁽⁻⁾ B] como [B, Ker_R⁽⁻⁾ B] son nilpotentes de índice menor o igual que 3.

Demostración.

1. Por [19, Theorem 3.2] para todo b ∈ B, existe un único λ_b ∈ C(R) tal que (b − λ_b)² = 0.

2. Para cualquier b ∈ B, consideramos b′ = b − λ_b, donde λ_b es el único elemento de C(R) dado en el punto anterior. Veamos primero que B′ B′ = 0. Para todo b, c ∈ B y todo x ∈ R, tenemos que

$[b^{'}, c^{'}] = [b - λ_{b}, c - λ_{c}] = [b, c] - [b, λ_{c}] - [λ_{b}, c] + [λ_{b}, λ_{c}] = [b, c],$

con lo que

$0 = [b, c] = [b^{'}, c^{'}] = b^{'} c^{'} - c^{'} b^{'}$

$0 = [c, [b, [b, x]]] = [c^{'}, [b^{'}, [b^{'}, x]]] = - 2 [c^{'}, b^{'} x b^{'}] = - 2 (c^{'} b^{'} x b^{'} - b^{'} x b^{'} c^{'}) .$

Luego, por [19, Corollary 2.14], existe λ₁ ∈ C(R) tal que c′b′ = λ₁ b′. Análogamente, existe λ₂ ∈ C(R) tal que b′c′ = λ₂c′. Por lo tanto,

$0 = λ_{1} b^{'} b^{'} = b^{'} λ_{1} b^{'} = b^{'} c^{'} b^{'} = λ_{2} c^{'} b^{'}$

y, como C(R) es un cuerpo. entonces b′c′ = c′b′ = 0.

B′ es un submódulo de R, ya que para todo b, c ∈ B, se tiene que

${(b + c - λ_{b} - λ_{c})}^{2} = {(b^{'} + c^{'})}^{2} = b^{' 2} + b^{'} c^{'} + c^{'} b^{'} + c^{' 2} = b^{' 2} + 2 b^{'} c^{'} + c^{' 2} = 0,$

con lo que b′ + c′ = (b + c)′ ∈ B′ . Veamos entonces que [B′, [B′, R⁻]] ⊂ B′. Por una parte, tenemos que

$\begin{matrix} [b^{'}, [c^{'}, x]] = [b - λ_{b}, [c - λ_{c}, x]] = \\ [b, [c, x]] - [λ_{b}, [c, x] - [b, [λ_{c}, x]] + [λ_{b}, [λ_{c}, x]] = [b, [c, x]] \in B \end{matrix}$

para todo b, c ∈ B y para todo x ∈ R. Además, como

$[b^{'}, [c^{'}, x]] = b^{'} c^{'} x - b^{'} x c^{'} - c^{'} x b^{'} + x b^{'} c^{'}$

y B′B′ = 0, entonces [b′, [c′,x]]² = 0, con lo que [b′, [c′, x]] ∈ B′. Por último, si z ∈ Ker_R⁽⁻⁾ B,

$0 = [b, [c, z]] = [b^{'}, [c^{'}, z]] = - b^{'} z c^{'} - c^{'} z b^{'},$

con lo que

$b^{'} z c^{'} = - c^{'} z b^{'}$

y, por tanto,

$\begin{matrix} 0 = - \frac{1}{2} [c, [[b, [b, x]], z]] = - \frac{1}{2} [c^{'}, [[b^{'}, [b^{'}, x]], z]] = [c^{'}, [b^{'} x b^{'}, z]] = \\ - b^{'} x b^{'} z c^{'} - c^{'} z b^{'} x b^{'} = b^{'} x c^{'} z b^{'} + b^{'} z c^{'} x b^{'} . \end{matrix}$

Aplicando de nuevo [19, Corollary 2.14], existe μ₁ ∈ C(R) tal que b′zc′ = μ₁b′. Intercambiando los papeles de b′ y c′ en el argumento anterior, obtenemos que existe μ₂ ∈ C(R) tal que c′zb′ = μ₂c′, con lo que $μ_{1} b^{'} = b^{'} z c^{'} = - c^{'} z b^{'} = - μ_{2} c^{'} .$
Si b′ y c′ son linealmente independientes sobre C(R), entonces b′zc′ = 0.
Si por el contrario existe α ∈ C(R) tal que c′ = αb′, entonces

$\begin{matrix} 0 = α [b, [b, z]] = α [b^{'}, [b^{'}, z]] = α (- 2 b^{'} z b^{'}) = \\ - 2 (α b^{'}) z b^{'} = - 2 c^{'} z b^{'} = 2 b^{'} z c^{'}, \end{matrix}$

obteniendo de nuevo que b′zc′ = 0, con lo que B′(Ker_R⁽⁻⁾B)B′ = 0.

3. Para todo b, c ∈ B, $b_{1}^{'}$ , $b_{2}^{'}$ , $c_{1}^{'}$ , $c_{2}^{'}$ . ∈ B′ y x, y, u ∈ R tenemos que

$\begin{matrix} [b + b_{1}^{'} x b_{2}^{'}, [c + c_{1}^{'} y c_{2}^{'}, u]] = [b^{'} + b_{1}^{'} x b_{2}^{'}, [c^{'} + c_{1}^{'} y c_{2}^{'}, u]] = \\ - (c^{'} + c_{1}^{'} y c_{2}^{'}) u (b^{'} + b_{1}^{'} x b_{2}^{'}) - (b^{'} + b_{1}^{'} x b_{2}^{'}) u (c^{'} + c_{1}^{'} y c_{2}^{'}) \in B^{'} R B^{'}, \end{matrix}$

lo que implica que B* es un ideal interno abeliano de R⁻.

Ahora, si z ∈ Ker_R⁽⁻⁾B, para todo b, c ∈ B, $b_{1}^{'}$ , $b_{2}^{'}$ , $c_{1}^{'}$ , $c_{2}^{'}$ ∈ B′, x, y ∈ R, tenemos que

$[b + b_{1}^{'} x b_{2}^{'}, [c + c_{1}^{'} y c_{2}^{'}, z]] = [b^{'} + b_{1}^{'} x b_{2}^{'}, [c^{'} + c_{1}^{'} y c_{2}^{'}, z]] = 0$

ya que B′(Ker_R⁽⁻⁾B)B′ = 0 y, por tanto, Ker_R⁽⁻⁾B ⊂ Ker_R⁽⁻⁾B*. La contención Ker_R⁽⁻⁾B* ⊂ Ker_R⁽⁻⁾B es trivial, ya que B ⊂ B*.

4. Como Ker_R⁽⁻⁾B = Ker_R⁽⁻⁾B^*, entonces

$[B^{*}, [{Ker}_{R^{(-)}} B, [B^{*}, {Ker}_{R^{(-)}} B]]] = [[B^{*}, {Ker}_{R^{(-)}} B], [B^{*}, {Ker}_{R^{(-)}} B]] .$

Sean b, c ∈ B^* y u, v ∈ Ker_R⁽⁻⁾B. Por 1, para todo b ∈ B^* existe λ_b ∈ C(R) tal que b−λ_b ∈ B′+B′RB′. Para todo b ∈ B^*, denotaremos por b′ al elemento b − λ_b ∈ B′ + B′RB′. Entonces

a) Como B′B′ = 0 y B′(Ker_R⁽⁻⁾B)B′ = 0, tenemos que

$\begin{matrix} [[b, u], [c, u]] = [[b^{'}, u], [c^{'}, u]] = \\ b^{'} u c^{'} u - b^{'} u^{2} c^{'} - u b^{'} c^{'} u + u b^{'} u c^{'} - c^{'} u b^{'} u + c^{'} u^{2} b^{'} + u c^{'} b^{'} u - u c^{'} u b^{'} = \\ b^{'} (- u^{2}) c^{'} + c^{'} u^{2} b^{'} \in B^{*} . \end{matrix}$

b) 2[[b, u], [b, v]] = [b, [b, [u, v]]] ∈ B^*.

c) Como

$\begin{matrix} 2 ([[b, u], [c, v]] + [[c, u], [b, v]]) = \\ [b + c, [b + c, [u, v]]] - 2 [b, [b, [u, v]]] - 2 [c, [c, [u, v]]] \in B^{*} \end{matrix}$

por b), entonces

$[[b, u], [c, v]] - [[b, v], [c, u]] = [[b, u], [c, v]] + [[c, u], [b, v]] \in B^{*} .$

d) Usando a), tenemos que

$\begin{matrix} [[b, u], [c, v]] + [[b, v], [c, u]] = \\ [[b, u + v], [c, u + v]] - [[b, u], [c, u]] - [[b, v], [c, v]] \in B^{*}, \end{matrix}$

e) Como

$[[b, u], [c, v]] - [[b, v], [c, u]] \in B^{*}$

$[[b, u], [c, v]] + [[b, v], [c, u]] \in B^{*},$

entonces [[b, u], [c, v]] ∈ B^*, es decir,

$[[B^{*}, {Ker}_{R^{(-)}} B], [B^{*}, {Ker}_{R^{(-)}} B]] \subset B^{*} .$

Luego

$\begin{matrix} [[B^{*}, {Ker}_{R^{(-)}} B], [[B^{*}, {Ker}_{R^{(-)}} B], [B^{*}, {Ker}_{R^{(-)}} B]]] \\ \subset [[B^{*}, {Ker}_{R^{(-)}} B], B^{*}] = 0 \end{matrix}$

y, por tanto

$\begin{matrix} [[B, {Ker}_{R^{(-)}} B], [[B, {Ker}_{R^{(-)}} B], [B, {Ker}_{R^{(-)}} B]]] \\ \subset [[B^{*}, {Ker}_{R^{(-)}} B], B^{*}] = 0 \end{matrix}$

ya que [B, Ker_R⁽⁻⁾B] ⊂ [B^*, Ker_R⁽⁻⁾B].

Observación 2.1.2. Acabamos de ver que en un álgebra asociativa prima R, centralmente cerrada y sobre un anillo de escalares ϕ, con $\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in ϕ$ , [B, Ker_R⁽⁻⁾B] es nilpotente de índice menor o igual que 3 para todo ideal interno abeliano B de R⁽⁻⁾. Podemos extender este resultado a álgebras asociativas semiprimas. De hecho, dado un ideal interno abeliano B de un álgebra asociativa semiprima R, como R es un producto subdirecto de álgebras asociativas primas R_i, B se descompone en un producto subdirecto de ideales internos abelianos B_i de R_i. Para cada i, consideremos la clausura central ${\hat{R}}_{i}$ , y extendamos B_i a un ideal interno abeliano ${\hat{B}}_{i} = C (R_{i}) B_{i}$ de ${\hat{R}}_{i}$ . Así, tenemos que $[{\hat{B}}_{i}, {Ker}_{{\hat{R}}^{(-)}} {\hat{B}}_{i}]$ es nilpotente del índice menor o igual que 3 para cada i y, por tanto, $[B, {Ker}_{R^{(-)}} B]$ es nilpotente de índice menor o igual que 3. Luego, se tiene entonces que

$[[B, {Ker}_{R^{(-)}} B], [[B, {Ker}_{R^{(-)}} B], [B, {Ker}_{R (-)} B]]] = 0 .$

Corolario 2.1.3. Sea R un álgebra asociativa semiprima sobre un anillo de escalares ϕ, con $\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in ϕ$ , y sea B un ideal interno abeliano de R⁽⁻⁾. Entonces [B, Ker_R⁽⁻⁾B] es una subálgebra nilpotente de R⁽⁻⁾ de índice menor o igual que 3.

Veamos ahora qué ocurre si R es un álgebra asociativa con involución ∗.

Proposición 2.1.4. Sea R un álgebra asociativa centralmente cerrada, con involución ∗, sobre un anillo de escalares ϕ tal que $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5} \in ϕ$ . Supongamos que R es *-prima. Sea L = Skew(R, *) y sea B un ideal interno abeliano de L. Entonces [B, Ker_LB] es una subálgebra de L nilpotente de índice n, donde n depende de las siguientes condiciones:

1. Si R es *-prima pero no es prima, o R es prima y * es de segunda especie, entonces n ≤ 3.

2. Si R es prima y * es de primera especie, entonces n ≤ 4. En particular, si [L, L] = 0, entonces n = 1. En otro caso, b³ = 0 para todo b ∈ B y

▪ o bien existe b ∈ B tal que b³ = 0, pero b² ≠ 0. En este caso n = 2 y L admite una 3-graduación L = L₋₁ ⊕ L₀ ⊕ L₁, con B = L₋₁ y Ker_LB = L₋₁ ⊕ L₀,

▪ o bien B² = 0 y n ≤ 4. Si, además, B(Ker_LB)B = 0, entonces n ≤ 3.

Demostración.

1. Si R es *-prima pero no prima o si es prima y la involución * es de segunda especie, existe un elemento antisimétrico no nulo λ ∈ C(R) tal que R = Skew(R, *) ⊕ λSkew(R, *). En este caso se tiene que $\hat{B} = B + λ B$ es un ideal interno abeliano de $R^{(-)} {yKer}_{R (-)} \hat{B} = {Ker}_{L} B + λ {Ker}_{L} B$ . Por el teorema anterior, tenemos que $[\hat{B}, {Ker}_{R^{(-)}} \hat{B}]$ es nilpotente de índice menor o igual que 3, con lo que [B, Ker_LB] es nilpotente de índice menor o igual que 3 por el punto 4 de la Proposicion 2.1.1.

2. Si la involución es de primera especie y [L, L] = 0, entonces es obvio que [B, Ker_LB] = 0. Si [L, L] ≠ 0 entonces, por [17, Proposition 6.2], b³ = 0 para todo b ∈ B.

▪ Si existe b ∈ B tal que b² ≠ 0, entonces B es un ideal interno Clifford de L. Veamos que L es un álgebra de Lie 3-graduada con L₋₁ = B. Por [18, Definition 3.1], b es un elemento Clifford de R, b² es regular von Neumann de R por [18] y existe d ∈ H(R, *) tal que d² = 0, b²db² = b² y db²d = d. Así, se tiene que e = db² es un *-idempotente ortogonal, es decir, e² = e y ee* = 0 = e*e (ver [18]) y, por [18, Proposition 3.5], e induce una 3-graduación en L con

$\begin{matrix} L_{- 1} = κ ((1 - e) L e) \\ L_{0} = κ (e R e) + (1 - e - e^{*}) L (1 - e - e^{*}) y \\ L_{1} = κ (e L (1 - e)), \end{matrix}$

donde κ(x) = x − x^* para todo x ∈ R. Por [18, Proposition 3.6(4)] b ∈ κ((1 − e)Le) = L₋₁. Por otra parte, el ideal interno abeliano contiene a b, ya que

$\begin{matrix} [b, [b, - (b d + d b)] = - [b, b^{2} d + b d b - b d b - d b^{2}] = \\ - (b^{3} d - b d b^{2} - b^{2} d b + d b^{3}) = b d b^{2} + b^{2} d b = b \end{matrix}$

por [18, Proposition 3.6(3)]. Aplicando [17, Proposition 6.2], [b, [b, L]] es un ideal interno Clifford y un ideal interno abeliano maximal de L por [17, Proposition 5.1(b)]. Luego [b, [b, L]] = B = L₋₁ y, por tanto, [B, Ker_LB] es nilpotente con índice n menor o igual que 2. Nótese que n ≠ 1 ya que, en ese caso,

$B = [b, [b, L]] \subset [b, {Ker}_{L} B] = 0.$

Luego Ker_LB = L₋₁ ⨁ L₀ y [B, Ker_LB] es nilpotente con índice n = 2.

▪ Si b² = 0 para todo b ∈ B entonces, para todo b₁, b₂ ∈ B,

$\begin{matrix} 0 = {(b_{1} + b_{2})}^{2} = b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{1} b_{2} + b_{2} b_{1} = \\ b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + 2 b_{1} b_{2} = 2 b_{1} b_{2} \end{matrix}$

ya que 0 = [b₁, b₂] = b₁b₂ – b₂b₁. Luego

$B^{2} = 0 . (1)$

Por otra parte, para todo z ∈ Ker_LB,

$0 = [b_{1}, [b_{2}, z]] = - b_{1} z b_{2} - b_{2} z b_{1},$

es decir,

$b_{1} z b_{2} = - b_{2} z b_{1} . (2)$

En particular,

$b z b = 0 (3)$

para todo b ∈ B y para todo z ∈ Ker_LB.

Veamos ahora que (b₁z₁b₂z₂b₃)R(b₁z₁b₂z₂b₃) = 0 para todo b₁, b₂, b₃ ∈ B y todo z₁, z₂ ∈ Ker_LB. Para todo x ∈ R tenemos que

$(b_{1} z_{1} b_{2} z_{2} b_{3}) x (b_{1} z_{1} b_{2} z_{2} b_{3}) = b_{3} z_{1} b_{1} z_{2} b_{2} x b_{1} z_{1} b_{2} z_{2} b_{3} =$

$\begin{matrix} b_{3} z_{1} b_{1} x^{*} b_{2} z_{2} b_{1} z_{1} b_{2} z_{2} b_{3} + b_{3} z_{1} b_{1} (z_{2} b_{2} x - x^{*} b_{2} z_{2}) b_{1} z_{1} b_{2} z_{2} b_{3} \overset{(⋆)}{=} \\ 0 - \frac{1}{2} b_{3} z_{1} [b_{1}, [b_{1}, z_{2} b_{2} x - x^{*} b_{2} z_{2}]] z_{1} b_{2} z_{2} b_{3} = \\ - \frac{1}{2} b_{3} z_{1} [b_{1}, [b_{1}, z_{2} b_{2} x - {(z_{2} b_{2} x)}^{*}]] z_{1} b_{2} z_{2} b_{3} \overset{(**)}{=} 0, \end{matrix}$

donde (*) es por ser b₂z₂b₁z₁b₂ = 0 por (2) y (3) y (**) ocurre porque [b₁, [b₁, z₂b₂x − (z₂b₂x)*]] ∈ B, con lo que podemos aplicar (2) y (3). Como (b₁z₁b₂z₂b₃)x(b₁z₁b₂z₂b₃) = 0 para todo x ∈ R y R es prima, entonces

$b_{1} z_{1} b_{2} z_{2} b_{3} = 0 . (4)$

Queremos ver que [B, Ker_LB]⁴ = 0. Co mo L es no degenerada por [11, Theorem 2.10] y [34, Proposition 4.6], es suficiente con ver que para todo b₁, b₂, b₃, b₄ ∈ B y todo z₁, z₂, z₃, z₄ ∈ Ker_LB se tiene que

$a := [[b_{1}, z_{1}], [[b_{2}, z_{2}], [[b_{3}, z_{3}], [b_{4}, z_{4}]]]]$

es un divisor absoluto de cero de L, es decir, [a, [a, L]] = 0.

Para todo u ∈ L se tiene que [a, [a, u]] es una suma de monomios de la forma

$[B_{i}, Z_{i}] [B_{j}, Z_{j}] [B_{k}, Z_{k}] [B_{l}, Z_{l}] [B_{m}, Z_{m}] [B_{n}, Z_{n}] [B_{o}, Z_{o}] [B_{p}, Z_{p}] (u), (5)$

con i, j, k, l, m, n, o ∈ {1, 2, 3, 4}, donde las letras mayúsculas denotan aplicaciones adjuntas, es decir, X = ad_x para todo x ∈ R. Como [B_p, Z_p](u) = z′ ∈ Ker_LB, podemos reducir la expresión de cada monomio en (5) por monomios de la forma

$[B_{i}, Z_{i}] [B_{j}, Z_{j}] [B_{k}, Z_{k}] [B_{l}, Z_{l}] [B_{m}, Z_{m}] [B_{n}, Z_{n}] [B_{o}, Z_{o}] (z^{'}) . (6)$

Expandamos estos corchetes y expresemos (6) como una suma de monomios asociativos. Si dos o más elementos de B aparecen juntos, el monomio es cero por (1). Estudiemos el resto de monomios asociativos por separado y demostremos que todos son cero.

1. El monomio empieza y acaba en elementos de Ker_LB

$z_{j_{1}} b_{i_{1}} z_{j_{2}} b_{i_{2}} \dots b_{i_{7}} z_{j_{8}} .$

Este monomio contiene una subcadena de la forma $b_{i_{1}} z_{i_{1}} b_{i_{2}} z_{i_{2}} b_{i_{3}}$ y esto es cero por (4).

2. La cadena comienza con un elemento de B y termina con un elemento de Ker_LB (o viceversa, la cadena comienza con un elemento de Ker_LB y termina con un elemento de B). Entonces dos elementos de Ker_LB deben aparecer juntos en la cadena:

$\begin{matrix} b_{i_{1}} z_{j_{1}} \dots b_{i_{k}} z_{j_{k}} z_{j_{k + 1}} b_{i_{k + 1}} \dots b_{i_{7}} z_{j_{8}} \\ (0 z_{j_{1}} \dots b_{i_{k}} z_{j_{k}} z_{j_{k + 1}} b_{i_{k + 1}} \dots z_{j_{8}} b_{i_{7}}) \end{matrix}$

Esto significa que en ambos lados de los dos elementos $z_{j_{k}} z_{j_{k + 1}}$ de Ker_LB aparecen subcadenas de la forma $b_{i_{1}} z_{i_{1}} b_{i_{2}} z_{i_{2}} b_{i_{3}}$ , con lo que el monomio es cero por (4).

3. La cadena comienza y termina con elementos de B. Tenemos entonces dos posibilidades:

▪ Tres elementos de Ker_LB aparecen juntos:

$b_{i_{1}} z_{j_{1}} \dots b_{i_{k}} z_{j_{k}} z_{j_{k + 1}} z_{j_{k + 2}} b_{i_{k + 1}} \dots z_{j_{8}} b_{i_{7}}$

De nuevo, en ambos lados de los tres elementos de Ker_LB que están juntos, aparecen subcadenas de la forma $b_{i_{1}} z_{i_{1}} b_{i_{2}} z_{i_{2}} b_{i_{3}}$ , por lo que el monomio es cero por (4).

▪ Dos pares de elementos de Ker_LB aparecen juntos:

$b_{i_{1}} z_{j_{1}} \dots b_{i_{k}} z_{j_{k}} z_{j_{k + 1}} b_{i_{k + 1}} \dots b_{i_{r}} z_{j_{r}} z_{j_{r + 1}} b_{i_{r + 1}} \dots z_{j_{8}} b_{i_{7}}$

Entonces, una de las subcadenas de antes, entre o después de los dos pares de elementos de Ker_LB es de la forma $b_{i_{1}} z_{i_{1}} b_{i_{2}} z_{i_{2}} b_{i_{3}}$ , y de nuevo el monomio es cero por (4).

Hemos demostrado que todos los posibles monomios en la expansión asociativa de [a, [a, u]] son cero para cada u ∈ L y, por tanto, a = 0. Luego, [B, Ker_LB] es nilpotente de índice menor o igual a 4.

Por último, supongamos que B(Ker_LB)B = 0 y veamos entonces que [B, Ker_LB]ⁿ = 0 con n ≤ 3. Consideremos $\hat{B} := B + B R B$ , entonces $\hat{B}$ es un ideal interno abeliano de R⁽⁻⁾, ya que

$\begin{matrix} [\hat{B}, [\hat{B}, R]] = [B + B R B, [B + B R B, R]] = \\ [B + B R B, B R - R B + B R B R - R B R B] \subset B R B \subset \hat{B} . \end{matrix}$

Además, como B(Ker_LB)B = 0, entonces

$\begin{matrix} [\hat{B}, [\hat{B}, {Ker}_{L} B]] = [B + B R B, [B + B R B, {Ker}_{L} B]] = \\ [B + B R B, B ({Ker}_{L} B) - ({Ker}_{L} B) B + B R B ({Ker}_{L} B) - ({Ker}_{L} B) B R B] = 0, \end{matrix}$

con lo que ${Ker}_{L} B = {Ker}_{R (-)} \hat{B} \cap L$ . Aplicando el punto 4 de la Proposicion 2.1.1, $[\hat{B}, {Ker}_{R^{(-)}} \hat{B}]$ es nilpotente de índice menor o igual que 3 y, por lo tanto, [B, Ker_LB] es también nilpotente de índice menor o igual que 3.

Observación 2.1.5. Como toda álgebra asociativa semiprima R con involución * es producto subdirecto de álgebras asociativas *-primas R_i, dado un ideal interno abeliano B de L = Skew(R, ^*) podemos considerar las proyecciones B_i de B sobre L_i = Skew(R_i, ^*). Sea ${\hat{R}}_{i}$ la clausura central de cada R_i y sea ${\hat{B}}_{i} = H (C (R_{i}), *) B_{i}$ el ideal interno abeliano generado por B_i en ${\hat{L}}_{i} = Skew ({\hat{R}}_{i}, *)$ . Por el teorema anterior, $[{\hat{B}}_{i}, {Ker}_{{\hat{L}}_{i}} {\hat{B}}_{i}]$ es nilpotente del índice menor o igual a 4, con lo que [B_i, Ker_{L_i} B_i] es nilpotente de índice menor o igual a 4 para cada i. Luego, [B, Ker_LB] es nilpotente del índice menor o igual que 4. Así, tenemos entonces que

$[[B, {Ker}_{L} B], [[B, {Ker}_{L} B], [[B, {Ker}_{L} B], [B, {Ker}_{L} B]]]] = 0 .$

Corolario 2.1.6. Sea R un álgebra asociativa semiprima con involución * sobre un anillo de escalares ϕ, con $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5} \in ϕ$ . Sea L = Skew (R, *) y sea B un ideal interno abeliano de L. Entonces [B, Ker_LB] es una subálgebra nilpotente de L de índice menor o igual que 4.

Observación 2.1.7. Sea L un álgebra de Lie no degenerada sobre un anillo de escalares ϕ, con $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5} \in ϕ$ . Entonces, para cada ideal interno abeliano no nulo B de longitud finita de L (es decir, toda cadena de ideales internos propios de L contenidos en B es acotada), existe una ℤ-graduación finita L = L_−n ⊕ … ⊕ L₀ ⊕ … ⊕ L_n tal que B = L_n (esto siempre ocurre, por ejemplo, cuando L es no degenerada y de dimensión finita), [30, Corollary 6.2]. Con respecto a esta graduación, Ker_LB = L_−(n−1) ⊕ … ⊕ L₀ ⊕ … ⊕ L_n, con lo que [B, Ker_LB] ⊂ L_i ⊕ … ⊕ L_n y, por tanto, [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B.

Observación 2.1.8. Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ, con $\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in ϕ$ . Para cualquier ideal interno abeliano B de L, se tiene que [B, Ker_LB] es localmente nilpotente. De hecho, para todo b₀, . . . , b_i, . . . , b_j, . . . , b_s ∈ B y todo k₀, . . . , k_s ∈ Ker_LB, con 1 < i < j y b_i = b_j, tenemos que

$\begin{matrix} {ad}_{[b_{i}, k_{i}]} \dots {ad}_{[b_{i}, k_{j}]} \dots {ad}_{[b_{s}, k_{s}]} [[b_{0}, k_{0}]) \in [[b_{i}, {Ker}_{L} b_{i}], [b_{i}, {Ker}_{L} b_{i}]] \\ \subset [[b_{i}, [b_{i}, L]] \subset B, \end{matrix}$

aplicando la filtración principal de L definida por b_i [35], ya que [B, Ker_LB] ⊂ 𝒢₀ y [b_i, Ker_LB] ⊂ 𝒢₋₁. Por lo tanto,

${ad}_{[b_{1}, k_{1}]} {ad}_{[b_{i}, k_{i}]} \dots {ad}_{[b_{i}, k_{j}]} \dots {ad}_{[b_{s}, k_{s}]} ([b_{0}, k_{0}]) = 0 .$

Toda subálgebra de [B, Ker_LB] finitamente generada está contenida en una subálgebra generada por algún conjunto finito de la forma

$\{[b_{1}, k_{1}], \dots, [b_{s}, k_{s}]\} .$

En cada una de estas subálgebras finitamente generadas, todo producto

${ad}_{[b_{i_{1}}, k_{i_{1}}]} \dots {ad}_{[b_{i_{t}}, k_{i_{t}}]} ([b_{i_{0}}, k_{i_{0}}])$

para $b_{i_{0}}, \dots, b_{i_{t}} \in {b_{1}, \dots, b_{s}} y k_{i_{0}}, \dots, k_{i_{t}} \in {k_{1}, \dots, k_{s}}, con t \geq s + 2$ , debe ser cero porque habrá al menos un elemento repetido entre b_i₂, ... ,b_{i_t} y, según la fórmula anterior, este producto es cero.

Hemos demostrado que cuando B es un ideal interno abeliano de un álgebra asociativa semiprima R (ver Corolario 2.1.3), cuando B es un ideal interno abeliano de los elementos antisimétricos de un álgebra asociativa semiprima con involución (ver Corolario 2.1.6), o cuando B es un ideal interno abeliano de longitud finita de un álgebra de Lie no degenerada (ver Observación 2.1.7), la condición [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B siempre se verifica para un cierto n ∈ ℕ. Esto justifica la siguiente conjetura.

Conjetura 2.1.9. Sea L un álgebra de Lie no degenerada (quizás fuertemente prima o simple) sobre un anillo de escalares ϕ, con $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5} \in ϕ$ , y sea B un ideal interno abeliano de L. Entonces existe n ∈ ℕ tal que [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B.

2.2. Filtración asociada a un ideal interno abeliano

En esta sección construiremos una filtración asociada a un ideal interno abeliano. Si B es un ideal interno abeliano de un álgebra de Lie L tal que [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B para algún n ∈ ℕ, vamos a demostrar que B induce una filtración acotada de L empezando en B y cuyo penúltimo submódulo coincide con Ker_LB.

Teorema 2.2.1. Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ tal que $\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in ϕ$ . Sea B un ideal interno abeliano de L y supongamos que existe n ∈ ℕ tal que [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B. Entonces la cadena, de submódulos de L

$\dots \subset F_{- n} \subset F_{- n + 1} \subset \dots \subset F_{0} \subset \dots \subset F_{n - 1} \subset F_{n} \subset \dots$

donde $F_{- m} := {0}$ y $F_{m} := L$ para todo m > n y

$\begin{array}{l} F_{- n} & : = & B \\ ⋮ \\ F_{- k} & : = & {[B, {Ker}_{L} B]}^{k} + B, para k = 1, \dots, n - 1 \\ ⋮ \\ F_{0} & : = & {x \in L : [x, B] \subset B} \\ ⋮ \\ F_{s} & : = & {ad}_{[B, {Ker}_{L} B]}^{n - s - 1} ({Ker}_{L} B) + F_{0}, para s = 1, \dots, n - 1 \\ ⋮ \\ F_{n} & : = & L \end{array}$

es una ℤ-filtración acotada de L. Además, el álgebra de Lie ℤ-graduada inducida

$\hat{L} = \underset{{\hat{L}}_{- n}}{\underset{⏟}{F_{- n}}} \oplus \dots \oplus \underset{{\hat{L}}_{n}}{\underset{⏟}{F_{n} / F_{n - 1}}}$

tiene como par de Jordan asociado $({\hat{L}}_{- n}, {\hat{L}}_{n})$ al subcociente (B, L/Ker_LB).

Demostración. Denotemos por K := Ker_LB. Veamos primero que $F_{i} \subset F_{i + 1}$ para todo i ∈ ℤ. Claramente ad_[B,K][B, K] ⊂ [B, [K, [B, K] + ⊂ [B, K], luego $F_{- k} \subset F_{- k + 1}$ para todo k = 2, . . . , n − 1. Además, $F_{- 1} = [B, K] + B \subset F_{0}$ , ya que [B, [B, K]] + [B, B] = 0 ∈ B. La contención $F_{0} \subset F_{1}$ la tenemos por definición de $F_{1}$ . Como [[B, K],K] ⊂ K, entonces ${ad}_{[B, K]}^{n - s - 1} (K) \subset {ad}_{[B, K]}^{n - s} (K)$ para todo s = 1, . . . , n − 2. con lo que $F_{s} \subset F_{s + 1}$ para todo s = 1, ... , n − 2. Por último, $F_{n - 1} \subset F_{n} = L$ y $F_{- n} = B \subset F_{- n + 1} = [B, K]^{n - 1} + B$ .

Usando la identidad de Jacobi tenemos que, para todo k ∈ ℕ,

$[{ad}_{[B, K]}^{k - 1} ([B, K]), u] \subset {ad}_{[B, K]}^{k} (u) para todo u \in L . (a)$

También se tiene que

$[F_{0}, K] \subset K . (b)$

Además, dados $x \in F_{0}$ y k ∈ K, para todos b, b′ ∈ B,

$\begin{matrix} [b, [b^{'}, [x, k]]] = [b, [[b^{'}, x], k]] + [b, [x, [b^{'}, k]]] = \\ [[b, [b^{'}, x]], k] + [[b^{'}, x], [b, k]] + [[b, x], [b^{'}, k]] + [x, [b, [b^{'}, k]]] = 0, \end{matrix}$

ya que [b, x], [b′, x] ∈ B y B es abeliano. Por otra parte,

${ad}_{[B, K]}^{n - 1} (K) \subset F_{0} (c)$

por ser

$[{ad}_{[B, K]}^{n - 1} (K), b] = {ad}_{[B, K]}^{n - 1} ([K, b]) \subset B$

para todo b ∈ B.

Veamos ahora que $[F_{i}, F_{j}] \subset F_{i + j}$ para todo i, j ∈ ℤ.

1. $[F_{- s}, F_{- r}] \subset F_{- r - s}$ para todo r, s ∈ {1, . . . , n}. Por (a)

$\begin{matrix} [F_{- s}, F_{- r}] = [{ad}_{[B, K]}^{s - 1} ([B, K]) + B, {ad}_{[B, K]}^{r - 1} ([B, K]) + B] = \\ [{ad}_{[B, K]}^{s - 1} ([B, K]), {ad}_{[B, K]}^{r - 1} ([B, K])] \subset {ad}_{[B, K]}^{s + r - 1} ([B, K]) = F_{- r - s .} \end{matrix}$

2. $[F_{r}, F_{0}] \subset F_{r}$ para todo r ∈ {−n, . . . , n} por (b) y la identidad de Jacobi.

3. $[F_{- r}, F_{s}] \subset F_{s - r}$ para todo r, s ∈ {1, . . . , n}. Por (a) y (b) tenemos que

$\begin{matrix} [F_{- r}, F_{s}] = [{ad}_{[B, K]}^{r - 1} ([B, K]) + B, {ad}_{[B, K]}^{n - s - 1} (K) + F_{0}] \subset \\ {ad}_{[B, K]}^{n - s + r - 1} (K) + B + {ad}_{[B, K]}^{r - 1} ([B, K]) + {ad}_{[B, K]}^{n - s - 1} ([B, K]) . \end{matrix}$

Distinguiremos tres casos:

▪ Si r = s, por (c)

$\begin{matrix} {ad}_{[B, K]}^{n - s + r - 1} (K) + B + {ad}_{[B, K]}^{r - 1} ([B, K]) + {ad}_{[B, K]}^{n - s - 1} ([B, K]) \subset \\ {ad}_{[B, K]}^{n - 1} (K) + B + [B, K] \subset F_{0} . \end{matrix}$

▪ Si r > s,

$\begin{matrix} {ad}_{[B, K]}^{n - s + r - 1} (K) + B + {ad}_{[B, K]}^{r - 1} ([B, K]) + {ad}_{[B, K]}^{n - s - 1} ([B, K]) \subset \\ {ad}_{[B, K]}^{r - s} ({ad}_{[B, K]}^{n - 1} (K)) + B + {ad}_{[B, K]}^{r - 1} ([B, K]) + {ad}_{[B, K]}^{n - s - 1} ([B, K]) \subset \\ {ad}_{[B, K]}^{r - s} (F_{0}) + B + {[B, K]}^{r} + {[B, K]}^{n - s} \subset {[B, K]}^{r - s} + B = F_{s - r} . \end{matrix}$

▪ Si r < s, entonces

${ad}_{[B, K]}^{n - s + r - 1} (K) + B + {ad}_{[B, K]}^{r - 1} ([B, K]) + {ad}_{[B, K]}^{n - s - 1} ([B, K]) \subset F_{s - r} .$

4. $[F_{s}, F_{r}] \subset F_{r + s}$ para todo r, s ∈ {1, . . . , n}. Aquí distinguiremos dos casos:

▪ Si r + s ≥ n, entonces no hay nada que probar, ya que $[F_{s}, F_{r}] \subset F_{r + s} = L$ .

▪ Si r + s < n, entonces 2n − 2 − r − s ≥ n − 1. Procederemos por inducción sobre r desde n − 2 hasta 1. Si r = n − 2, solo necesitamos estudiar s = 1.

$\begin{matrix} [F_{n - 2}, F_{1}] = [{ad}_{[B, K]} (K) + F_{0}, {ad}_{[B, K]}^{n - 2} (K) + F_{0}] \subset \\ [{ad}_{[B, K]} (K), {ad}_{[B, K]}^{n - 2} (K)] + {ad}_{[B, K]} (K) + {ad}_{[B, K]}^{n - 2} (K) + F_{0} \subset \\ K \subset F_{n - 1.} \end{matrix}$

Supongamos que $[F_{s}, F_{r}] \subset F_{r + s}$ para todo s y veamos que se verifica para r − 1:

$\begin{matrix} [F_{r - 1}, F_{s}] = [{ad}_{[B, K]}^{n - r} (K) + F_{0}, {ad}_{[B, K]}^{n - s - 1} (K) + F_{0}] \subset \\ [{ad}_{[B, K]}^{n - r} (K), {ad}_{[B, K]}^{n - s - 1} (K)] + {ad}_{[B, K]}^{n - r} (K) + {ad}_{[B, K]}^{n - s - 1} (K) + F_{0} \subset \\ {ad}_{[B, K]} ([{ad}_{[B, K]}^{n - r - 1} (K), {ad}_{[B, K]}^{n - s - 1} (K)]) + \\ [{ad}_{[B, K]}^{n - r - 1} (K), {ad}_{[B, K]}^{n - s} (K)] + F_{r - 1} + F_{s} \subset \\ {ad}_{[B, K]} (F_{r + s}) + F_{r + s - 1} + F_{r - 1} + F_{s} \subset F_{r + s} . \end{matrix}$

Por último, como $F_{0} \subset K$ , entonces $F_{n - 1} = K$ y, por tanto, el par Jordan asociado $({\hat{L}}_{- n}, {\hat{L}}_{n})$ coincide con el subcociente (B, L/K).

Podemos aplicar ahora este resultado al caso asociativo, con o sin involución.

Corolario 2.2.2. Sea R un álgebra asociativa semiprima sobre un anillo de escalares ϕ, $con \frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in ϕ$ , y sea B un ideal interno abeliano de R⁽⁻⁾. Entonces existe n ∈ ℕ, con n ≤ 3, tal que la cadena de submódulos de R⁽⁻⁾

$\dots \subset F_{- n} \subset F_{- n + 1} \subset \dots \subset F_{0} \subset \dots \subset F_{n - 1} \subset F_{n} \subset \dots$

con $F_{n - 1} = {Ker}_{R (-)} B$ , $F_{- n} = B y F_{n} = R^{(-)}$ , es una ℤ-filtración acotada de R⁽⁻⁾.

Demostración. Como R es un álgebra semiprima sobre un anillo de escalares ϕ, con $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ ∈ ϕ entonces, por el Corolario 2.1.3, [B, Ker_R(−) B] es una subálgebra nilpotente de R(−) de índice n ≤ 3 y, por tanto, [B, Ker_R(−) B]ⁿ = 0 ⊂ B. Aplicando el teorema anterior tenemos que

$\dots \subset F_{- n} \subset F_{- n + 1} \subset \dots \subset F_{0} \subset \dots \subset F_{n - 1} \subset F_{n} \subset \dots,$

con $F_{n - 1} = {Ker}_{R^{(-)}} B$ , $F_{- n} = B y F_{n} = R^{(-)}$ , es una ℤ-filtración acotada de R⁽⁻⁾.

Corolario 2.2.3. Sea R un álgebra asociativa semiprima con involución * sobre un anillo de escalares ϕ, con $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5} \in ϕ$ . Sea L = Skew(R, *) y sea B un ideal interno abeliano de L. Entonces existe n ∈ ℕ, con n ≤ 4, tal que la cadena de submódulos de L

$\dots \subset F_{- n} \subset F_{- n + 1} \subset \dots \subset F_{0} \subset \dots \subset F_{n - 1} \subset F_{n} \subset \dots$

con $F_{n - 1} = {Ker}_{L} B$ , $F_{- n} = B$ y $F_{n} = Skew (R, *)$ , es una ℤ-filtración acotada de L.

Demostración. Como R un álgebra asociativa semiprima con involución * sobre un anillo de escalares ϕ, con $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5} \in ϕ$ entonces, por el Corolario 2.1.6, [B, Ker_LB] es una subálgebra nilpotente de L de índice n ≤ 4 y, por tanto, [B, Ker_R−B]ⁿ = 0 ⊂ B. Aplicando el teorema anterior tenemos que

$\dots \subset F_{- n} \subset F_{- n + 1} \subset \dots \subset F_{0} \subset \dots \subset F_{n - 1} \subset F_{n} \subset \dots$

con $F_{n - 1} = {Ker}_{R_{-}} B$ , $F_{- n} = B$ y $F_{n} = L$ , es una ℤ-filtración acotada de L.

Observación 2.2.4. Recordemos que en [35, Theorem 1.2] se introduce la filtración principal asociada a un elemento ad-nilpotente de índice menor o igual que 3 de un álgebra de Lie. Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ, con $\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in ϕ$ y sea a ∈ L un elemento Jordan (un elemento tal que ${ad}_{a}^{3} (L) = 0$ . Sea ${Ker}_{L} a = \{x \in L : {ad}_{a}^{2} (x) = 0\}$ y consideremos los conjuntos

$\begin{array}{l} G_{i} = 0, i \leq - 3, G_{- 2} = [a, [a, L]] + ϕ a, G_{- 1} = [a, {Ker}_{L} a] + ϕ a, \\ G_{0} = {x \in L : [x, a] \in [a, [a, L]]}, G_{1} = {Ker}_{L} a, G_{j} = L, j \geq 2 . \end{array}$

Entonces {𝒢_i}_i∈ℤ es una ℤ-filtración acotada de L, llamada filtración principal de L definida por a.

Por otra parte, todo elemento a ∈ L ad-nilpotente de índice 3 genera el ideal interno abeliano

${(a)}_{L} = [a, [a, L]] + ϕ a .$

Como se demuestra en [30, Lemma 3.7], si L es no degenerada, entonces Ker_La = Ker_L(a)_L.

Supongamos que L es un álgebra de Lie no degenerada sobre un anillo de escalares ϕ, con $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ ∈ ϕ. Consideremos B = (a)_L y denotemos por K = Ker_La = Ker_L(a)L. En este caso, es claro que [[B,K], [B,K]] ⊂ B, ya que

$[[B, K], [B, K]] = [[G_{- 2}, G_{1}], [G_{- 2}, G_{1}]] \subset [G_{- 1}, G_{- 1}] \subset G_{- 2} = B .$

Por lo tanto, podemos considerar la ℤ-filtración acotada ${\{F_{i}\}}_{i \in ℤ}$ asociada al ideal interno abeliano B = (a)_L dada por el Teorema 2.2.1.

Vamos a comparar la filtración asociada al ideal interno abeliano (a)_L, ${\{F_{i}\}}_{i \in ℤ}$ , con la filtración principal de L definida por a:

1. $F_{- 2} = {(a)}_{L} = G_{- 2} .$

2. $F_{- 1} = [{(a)}_{L}, K] + {(a)}_{L} \subset [a, K] + ϕ a = G_{- 1}$ , ya que para todo x ∈ L y todo z ∈ K se tiene que

$\begin{matrix} [[a, [a, x]], z] = [[a, z], [a, x]] + [a, [[a, x], z]] = \\ [a, [[a, x], z]] - [a, [x, [a, z]]] \in [a, K], \end{matrix}$

por ser [[a, L], K] + [L, [a, K]] ⊂ K. Por otra parte, se tiene que

$G_{- 1} = [a, K] + ϕ a \subset [{(a)}_{L}, K] + {(a)}_{L} = F_{- 1},$

obteniendo así que $F_{- 1} = G_{- 1}$ .

3. $G_{0} \subset F_{0}$ ya que dado x ∈ 𝒢₀, se tiene que [x, a] ∈ [a, [a, L]] ⊂ F₋₂ y, por tanto,

$\begin{matrix} [x, {(a)}_{L}] = [x, [a, [a, L]] + ϕ a] = [x, [a, [a, L]]] + [x, ϕ a] = \\ [[x, a], [a, L]] + [a, [[x, a], L]] + [a, [a, [[x, L]]] + [x, ϕ a] \subset \\ [[a, [a, L]], [a, L]] + [a, [[a, [a, L]], L]] + [a, [a, [[x, L]]] + [a, [a, L]] \subset \\ [F_{- 2}, F_{0}] + [F_{- 2}, [F_{- 2}, F_{2}]] + F_{- 2} \subset F_{- 2} = {(a)}_{L} . \end{matrix}$

4. Por construcción, $F_{i} = G_{i}$ , para i ≥ 1.

Por lo tanto tenemos que

$\begin{array}{lcccccccc} F_{- 2} & \subset & F_{- 1} & \subset & F_{0} & \subset & F_{1} = K & \subset & F_{2} = L \\ || & || & \cup & || & || \\ G_{- 2} & \subset & G_{- 1} & \subset & G_{0} & \subset & G_{1} = K & \subset & G_{2} = L \end{array}$

y ambas filtraciones coinciden cuando a ∈ [a, [a, L]].

Capítulo 3

Especialidad de sistemas Jordan asociados a álgebras de Lie

En [27] A. Fernández López, E. García, y M. Gómez Lozano construyen álgebras de Jordan asociadas a elementos ad-nilpotentes de índice menor o igual a tres de un álgebra de Lie. En este capítulo estudiaremos condiciones sobre la propia estructura de las álgebras de Lie que implican la especialidad de estas álgebras de Jordan. Se obtienen resultados similares cuando tratamos con subcocientes asociados a ideales internos abelianos.

3.1. Especialidad de las álgebras de Jordan de un álgebra de Lie

En esta sección daremos una condición suficiente para la especialidad del álgebra de Jordan L_a en un elemento de Jordan a. Aunque L_a es un álgebra de Jordan, la condición para su especialidad será una condición de Lie: [Ker_La, Ker_La] ⊄ Ker_La. Se ha decidido separar ambas secciones a pesar de que esta sección es un caso particular de la siguiente, ya que la especialidad del álgebra de Lie L_a tiene interés en sí mismo y es habitual en la literatura separar este caso del caso del subcociente ([a, [a, L]] + ϕa, L/Ker_L(a)_L). Los resultados de este capítulo aparecen en el artículo publicado [36].

Lema 3.1.1. Sea L = L_−n ⊕ ... ⊕ L₋₁ ⊕ L₀ ⊕ L₁ ⊕ ... ⊕ L_n un álgebra de Lie (2n + 1)-graduada sobre un anillo de escalares ϕ, con $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ ∈ ϕ. Entonces el par V := (L_−n, L_n) con productos

${x, y, z} = [[x, y], z] y {y, x, t} = [[y, x], t]$

para todo x, z ∈ L_−n y para todo y, t ∈ L_n es un par de Jordan. Además, para cualquier i ∈ {1, 2, ... , n − 1}, el par de aplicaciones lineales

$(Ψ_{i}, Ψ_{- i}) : (L_{- n}, L_{n}) ⟶ {(Hom (L_{i}, L_{i - n}), Hom (L_{i - n}, L_{i}))}^{(+)},$

definidas por Ψ_σi(x)(y) = ad_x(y) para todo x ∈ L_−σn y todo y ∈ L_i, si σ = +, o y ∈ L_i−n, si σ = −, es un homomorfismo de pares de Jordan entre V y el par de Jordan especial (Hom(L_i, L_i−n), Hom(L_i−n, L_i))⁽⁺⁾.

Demostración. Tenemos que V es un par de Jordan por [62, p. 351]. Además, como se menciona en la demostración de [25, Theorem 11.34], es fácil ver que

$(Ψ_{i}, Ψ_{- i}) : (L_{- n}, L_{n}) ⟶ {(Hom (L_{i}, L_{i - n}), Hom (L_{i - n}, L_{i}))}^{(+)}$

es un homomorfismo entre pares de Jordan para todo i = 1, 2, ... , n – 1. Añadiremos la demostración por completitud.

Sea i ∈ {1, 2, ... , n − 1} y sean x, z ∈ L_−n, y, t ∈ L_n, u ∈ L_i, v ∈ L_i−n. Entonces

$\begin{matrix} Ψ_{i} ({x, y, z}) (u) = {ad}_{[[x, y], z]} (u) = [[[x, y], z], u] = \\ [[[x, u], y], z] + [[x, [y, u]], z] + [[x, y], [z, u]] = \\ [z, [y, [x, u]]] + 0 + [[x, [z, u]], y] + [x, [y, [z, u]]] = \\ (Ψ_{i} (x) Ψ_{- i} (y) Ψ_{i} (z) + Ψ_{i} (z) Ψ_{- i} (y) Ψ_{i} (x)) (u) = \{Ψ_{i} (x), Ψ_{- i} (y), Ψ_{i} (z)\} (u), \end{matrix}$

ya que [y, u] = 0 y [x, [z, u]] = 0. Análogamente,

$\begin{matrix} Ψ_{- i} ({y, x, t}) (v) = {ad}_{[[y, x], t]} (v) = [[[y, x], t], v] = \\ [[[y, v], x], t] + [[y, [x, v]], t] + [[y, x], [t, v]] = \\ [t, [x, [y, v]]] + 0 + [[y, [t, v]], x] + [y, [x, [t, v]]] = \\ (Ψ_{i} (y) Ψ_{- i} (x) Ψ_{i} (t) + Ψ_{i} (t) Ψ_{- i} (x) Ψ_{i} (y)) (t) = \{Ψ_{i} (y), Ψ_{- i} (x), Ψ_{i} (t)\} (v), \end{matrix}$

por ser [x,v] = 0 y [y, [t, v]] = 0.

Luego (Ψ_i, Ψ_−i) es un homomorfismo de pares de Jordan.

Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ tal que $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ ∈ ϕ. Sea a ∈ L un elemento Jordan y consideremos la filtración principal de L definida por a :

Así, tenemos que

$\hat{L} = G_{- 2} \oplus G_{- 1} / G_{- 2} \oplus G_{0} / G_{- 1} \oplus G_{1} / G_{0} \oplus G_{2} / G_{1}$

es un álgebra de Lie 5-graduada [35, 1.4]. En particular, $V = (G_{- 2}, G_{2} / G_{1})$ es el par de Jordan asociado a $\hat{L}$ .

Lema 3.1.2. Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ tal que $\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in$ ϕ. Sea a ∈ L un elemento Jordan y consideremos la filtración principal de L definida por a, ${G_{i}}_{i \in ℤ}$ . Entonces, el par de aplicaciones

$\begin{matrix} Ψ_{1} : G_{- 2} ⟶ Hom (G_{1} / G_{0}, G_{- 1} / G_{- 2}) \\ Ψ_{- 1} : G_{2} / G_{1} ⟶ Hom (G_{- 1} / G_{- 2}, G_{1} / G_{0}) \end{matrix}$

definidas por Ψ₁(b) = ad_b para todo b ∈ [a, [a, L]] + ϕa, y $Ψ_{- 1} (\bar{x}) = {ad}_{\bar{x}}$ para todo $\bar{x} \in L / {Ker}_{L} a,$ , es un homomorfismo de pares de Jordan entre V = (𝒢₋₂, 𝒢₂/𝒢₁) y el par de Jordan especial

${(Hom (G_{1} / G_{0}, G_{- 1} / G_{- 2}), Hom (G_{- 1} / G_{- 2}, G_{1} / G_{0}))}^{(+)} .$

Demostración. Consideremos el álgebra de Lie graduada

$\hat{L} = G_{- 2} \oplus G_{- 1} / G_{- 2} \oplus G_{0} / G_{- 1} \oplus G_{1} / G_{0} \oplus G_{2} / G_{1} .$

Las aplicaciones Ψ₁ y Ψ₋₁ están bien definidas y (Ψ₁, Ψ₋₁) es un homomorfismo de pares de Jordan entre V = (𝒢₋₂, 𝒢₂/𝒢₁) y el par de Jordan especial

${(Hom (G_{1} / G_{0}, G_{- 1} / G_{- 2}), Hom (G_{- 1} / G_{- 2}, G_{1} / G_{0}))}^{(+)}$

por el lema anterior.

Proposición 3.1.3. Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ, con $\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in ϕ$ y sea a ∈ L un elemento Jordan. Entonces el par

$I = (I^{+}, I^{-}) = ([a, [a, [{Ker}_{L} a, {Ker}_{L} a)]], \bar{[{Ker}_{L} a, {Ker}_{L} a]}]$

es un ideal del par de Jordan V = (V⁺, V⁻) = ([a, [a, L]] + ϕa,L/Ker_La). Además, si L es no degenerada,

$({KerΨ}_{1}, {KerΨ}_{- 1}) \subset {Ann}_{V} (I) .$

Demostración. Veamos que $I = (I^{+}, I^{-})$ es un ideal de V. Para todo z₁, z₂ ∈ Ker_La, todo x, y ∈ L y todo λ ∈ ϕ, usando la identidad de Jacobi y teniendo en cuenta las propiedades de la filtración principal de L definida por a, tenemos que

$\begin{matrix} [[[a, [a, [z_{1}, z_{2}]]], x], [a, [a, y]] + λ a] \in [[[a, [a, [z_{1}, z_{2}]]], G_{2}], G_{- 2}] \subset \\ [[a, [a, [z_{1}, z_{2}]]], [G_{2}, G_{- 2}]] \subset [[a, [a, [G_{1}, G_{1}]]], G_{0}] \subset \\ [[a, G_{0}], [a, [G_{1}, G_{1}]]] + [a, [[a, G_{0}], [G_{1}, G_{1}]]] + [a, [a, [G_{1}, G_{1}]] \subset) \\ [G_{- 2}, [a, [G_{1}, G_{1}]]] + [a, [G_{- 2}, [G_{1}, G_{1}]] + [a, [a, [G_{1}, G_{1}]]] \subset) \\ [a, [G_{- 1}, G_{1}]] + [a, [a, [G_{1}, G_{1}]]] \subset [G_{- 1}, G_{- 1}] = \\ [[a, {Ker}_{L} a] + Φ a, [a, {Ker}_{L} a] + Φ a] \subset [[a, {Ker}_{L} a], [a, {Ker}_{L} a]] \subset \\ [a, [a, [{Ker}_{L} a, {Ker}_{L} a]]], \end{matrix}$

ya que [a, [a, [𝒢₁, 𝒢₁]]] ⊂ [𝒢−1, 𝒢−1] por ser [a, [a, [k, l]]] = 2[[a, k], [a, l]] para todo k, l ∈ Ker_La. Esto demuestra que

${I^{+}, V^{-}, V^{+}} \subset I^{+} .$

De forma análoga,

$\begin{matrix} [[x, [a, [a, [z_{1}, z_{2}]]]], y] = 2 [[x, [[a, z_{1}], [a, z_{2}]]], y] = \\ 2 [[[x, [a, z_{1}]], [a, z_{2}]], y] + 2 [[[a, z_{1}], [x, [a, z_{2}]]], y] \subset [y, [{Ker}_{L} a, [a, {Ker}_{L} a]]] \subset \\ [[y, {Ker}_{L} a], [a, {Ker}_{L} a]] + [{Ker}_{L} a, [y, [a, {Ker}_{L} a]] \subset \\ [[G_{2}, G_{1}], [G_{- 2}, G_{1}]] + [G_{1}, [G_{2}, [G_{- 2}, G_{1}]]] \subset \\ [G_{2}, G_{- 1}] + [G_{1}, G_{1}] \subset {Ker}_{L} a + [{Ker}_{L} a, {Ker}_{L} a], \end{matrix}$

con lo que

${V^{-}, I^{+}, V^{-}} \subset I^{-} .$

Por otra parte,

$\begin{matrix} [[[z_{1}, z_{2}], [a, [a, x]]], y] \in [[[G_{1}, G_{1}], G_{- 2}], G_{2}] \subset \\ [G_{2}, G_{- 2}] + [[G_{1}, G_{1}], G_{0}] \subset \\ G_{0} + [G_{1}, G_{1}] \subset {Ker}_{L} a + [{Ker}_{L} a, {Ker}_{L} a] \end{matrix}$

y, análogamente,

$\begin{matrix} [[[z_{1}, z_{2}], a], y] \in [[[G_{1}, G_{1}], G_{- 2}], G_{2}] \subset \\ [G_{2}, G_{- 2}] + [[G_{1}, G_{1}], G_{0}] \subset \\ G_{0} + [G_{1}, G_{1}] \subset {Ker}_{L} a + [{Ker}_{L} a, {Ker}_{L} a], \end{matrix}$

lo que prueba que

${I^{-}, V^{+}, V^{-}} \subset I^{-} .$

Por último,

$\begin{matrix} [[[a, [a, L]] + ϕ a, [{Ker}_{L} a, {Ker}_{L} a]], [a, [a, L]] + ϕ a) = [[G_{- 2}, [G_{1}, G_{1}]], G_{- 2}] \subset \\ [[G_{- 1}, G_{1}], G_{- 2}] \subset [[G_{- 1}, G_{- 1}] \subset [[a, {Ker}_{L} a], [a, {Ker}_{L} a]] \subset [a, [a, [{Ker}_{L} a, {Ker}_{L} a]]]) \end{matrix}$

y, por tanto

${V^{+}, I^{-}, V^{+}} \subset I^{+} .$

Supongamos ahora que L es no degenerada. Tenemos que demostrar que $(Ker Ψ_{1}, Ker Ψ_{- 1}) \subset {Ann}_{V} (I)$ . Como L es no degenerada, entonces V es no degenerado [30, Proposition 3.5 (iii)]. Ahora bien, como V es no degenerado, entonces ${Ann}_{V} (I)$ es el conjunto de los elementos z tales que {z, I, z} = 0 [54, Proposition 1.7].

Sea u ∈ 𝒢₋₂ tal que u ∈ KerΨ₁. Entonces [u, Ker_La] ⊂ 𝒢₋₂ y, por tanto, para todo z₁, z₂ ∈ Ker_La, se tiene que

$\begin{matrix} {u, [z_{1}, z_{2}], u} = [[u, [z_{1}, z_{2}]], u] = [[[u, z_{1}], z_{2}], u] + [[z_{1}, [u, z_{2}]], u] \in \\ [[F_{- 2}, F_{1}], F_{- 2}] = 0, \end{matrix}$

con lo que u pertenece al anulador de $I$ .

Sea ahora $\bar{x} \in L / {Ker}_{L} a tal que \bar{x} \in {Ker}_{- 1}$ . Como $\bar{x} \in {KerΨ}_{- 1},$ entonces $[x, [a, {Ker}_{L} a]] \subset G_{0}$ . Para ver que $\bar{x}$ pertenece al anulador de $I$ , veamos que

${\bar{x}, [a, [a, [{Ker}_{L} a, {Ker}_{L} a]]]], \bar{x}} = \bar{0}$

o, equivalentemente,

${ad}_{a}^{2} [[x, [a, [a, [{Ker}_{L} a, {Ker}_{L} a]]]], x] = 0 .$

Sean z₁, z₂ ∈ Ker_La,

$\begin{matrix} [a, [a, [x, [x, [a, [a, [z_{1}, z_{2}]]]]]]] \in [a, [a, [x, [x, [[a, {Ker}_{L} a, [a, {Ker}_{L} a]]]]]] \subset \\ [a, [a, [x, [G_{0}, [a, {Ker}_{L} a]]]]] \subset [a, [a, [x, [a, {Ker}_{L} a]]]] \subset [a, [a, G_{0}]]) = 0 . \end{matrix}$

Luego $\bar{x}$ pertenece al anulador de $I$ y, por tanto, $({KerΨ}_{1}, {KerΨ}_{- 1}) \subset {Ann}_{V} (I)$ .

Corolario 3.1.4. Sea L un álgebra de Lie fuertemente prima sobre un anillo de escalares ϕ, con $\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in ϕ$ , y sea a ∈ L un elemento Jordan. Si Ker_La no es subálgebra de L, entonces L_a es un álgebra de Jordan fuertemente prima y especial.

Demostración. El par de Jordan $V = ([a, [a, L]] + ϕ a, {Ker}_{L} a)$ es el subcociente de L determinado por el ideal interno abeliano ${(a)}_{L} = [a, [a, L]] + ϕ a,$ con lo que V es fuertemente primo por [30, Proposition 3.5 (iii)]. Si Ker_La no es subálgebra de L, entonces el ideal de V

$I = (I^{+}, I^{-}) = ([a, [a, [{Ker}_{L} a, {Ker}_{L} a]]], \bar{[{Ker}_{L} a, {Ker}_{L} a]})$

es no nulo y, por tanto, ${Ann}_{V} (I)$ es cero, ya que $\{I^{σ}, {Ann}_{V} {(I)}^{- σ}, I^{σ}\} = 0$ , ${Ann}_{V} (I)$ es un ideal de V y V es primo.

Por la proposición anterior, tenemos que $(Ker Ψ_{1}, Ker Ψ_{- 1}) \subset {Ann}_{V} (I)$ , con lo que ( $Ψ_{1}, Ψ_{- 1}$ ) es un monomorfismo entre el par de Jordan V y el par de Jordan especial

${(Hom (G_{1} / G_{0}, G_{- 1} / G_{- 2}), Hom (G_{- 1} / G_{- 2}, G_{1} / G_{0}))}^{(+)},$

con lo que V es un par de Jordan especial.

Como el álgebra de Jordan L_a puede considerarse como el álgebra de Jordan a-homótopa V^(a) ([30, Remark 3.6]) y V es especial, entonces L_a es especial. Además, por [33, Theorem 2.2], tenemos que L_a es fuertemente prima.

3.2. Especialidad de subcocientes de un álgebra de Lie

En esta sección nos ocuparemos de los subcocientes asociados a los ideales internos abelianos B de L. Recordemos que un ϕ-módulo B de L es un ideal interno abeliano si [B, [B, L]] ⊂ B y [B, B ] = 0. El núcleo de un ideal interno abeliano es

${Ker}_{L} B = {x \in L : [b, [b, x]] = 0} .$

Asociado a un ideal interno abeliano B de L podemos considerar el subcociente (B, L/Ker_LB), que es un par de Jordan con productos

${b_{1}, \bar{x}, b_{2}} = [[b_{1}, x], b_{2}] y {\bar{x}, b_{1}, \bar{y}} = \bar{[[x, b], y]}$

para todo b₁, b₂ ∈ B y para todo $\bar{x}$ , $\bar{y} \in L / {Ker}_{L} B$ , ver [30, Lemma 3.2 (a)]

Recordemos que si existe n ∈ ℕ tal que [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B, entonces podemos considerar la filtración asociada a B dada por el Teorema 2.2.1, ${F_{i}}_{i \in ℤ}$ , donde $F_{- m} = {0} y F_{m} = L$ para todo $m > n$ , y

$\begin{matrix} F_{- n} & = & B \\ ⋮ \\ F_{- k} & = & {[B, {Ker}_{L} B]}^{k} + B, para k = 1, \dots, n - 1 \\ ⋮ \\ F_{0} & = & {x \in L : [x, B] \subset B} \\ ⋮ \\ F_{s} & = & {ad}_{[B, {Ker}_{L} B]}^{n - s - 1} ({Ker}_{L} B) + F_{0}, para s = 1, \dots, n - 1 \\ ⋮ \\ F_{n} & = & L \end{matrix}$

Además, el álgebra de Lie ℤ-graduada inducida

$\hat{L} = \underset{{\hat{L}}_{- n}}{\underset{⏟}{F_{- n}}} \oplus \dots \oplus \underset{{\hat{L}}_{n}}{\underset{⏟}{F_{n} / F_{n - 1}}}$

tiene como par de Jordan asociado $({\hat{L}}_{- n}, {\hat{L}}_{n})$ al subcociente (B, L/Ker_LB).

Proposición 3.2.1. Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ tal que $\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in ϕ$ . Sea B un ideal interno abeliano de L y consideremos Ker_LB = {x ∈ L : [B, [B, x]] = 0}. Supongamos que existe n ∈ ℕ tal que [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B y consideremos la filtración asociada a B, ${F_{i}}_{i \in ℤ}$ . Entonces, el par de aplicaciones

$\begin{matrix} Ψ_{n - 1} : {\hat{L}}_{- n} \to Hom ({\hat{L}}_{n - 1}, {\hat{L}}_{- 1}) \\ Ψ_{1 - n} : {\hat{L}}_{n} \to Hom ({\hat{L}}_{- 1}, {\hat{L}}_{n - 1}) \end{matrix}$

definidas por $Ψ_{σ (n - 1)} (x) (y) = {ad}_{x} (y)$ para todo $x \in {\hat{L}}_{- σ n}$ y para todo y ∈ ${\hat{L}}_{n - 1}, si σ = + o y \in {\hat{L}}_{- 1} si σ = -$ , es un homomorfismo de pares de Jordan entre $V = ({\hat{L}}_{- n}, {\hat{L}}_{n})$ y el par de Jordan especial

${(Hom ({\hat{L}}_{n - 1}, {\hat{L}}_{- 1}), Hom ({\hat{L}}_{- 1}, {\hat{L}}_{n - 1}))}^{(+)} .$

Demostración. Como ${[B, {Ker}_{L} B]}^{n} \subset B$ , podemos considerar el álgebra de Lie (2n + 1)-graduada

$\hat{L} = {\hat{L}}_{- n} \oplus \dots \oplus {\hat{L}}_{0} \oplus \dots \oplus {\hat{L}}_{n} .$

Las aplicaciones Ψ_n−1 y Ψ_1−n están bien definidas y (Ψ_n−1, Ψ_1−n) es un homomorfismo de pares de Jordan entre

$V = ({\hat{L}}_{- n}, {\hat{L}}_{n}) = (F_{- n}, F_{n} / F_{n - 1}) = (B, L / {Ker}_{L} B)$

y el par de Jordan especial

${(Hom ({\hat{L}}_{n - 1}, {\hat{L}}_{- 1}), Hom ({\hat{L}}_{- 1}, {\hat{L}}_{n - 1}))}^{(+)}$

por el Lema 3.1.1.

Proposición 3.2.2. Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ tal que $\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in ϕ$ . Sea B un ideal interno abeliano de L y consideremos Ker_LB. Entonces el par

$I = (I^{+}, I^{-}) = ([B, [B, [{Ker}_{L} B, {Ker}_{L} B]]], \bar{[{Ker}_{L} B, {Ker}_{L} B]})$

es un ideal del par de Jordan $V = (V^{+}, V^{-}) = (B, L / {Ker}_{L} B)$ .

Demostración. Sean $b_{1}, b_{2}, b_{3} \in B, z_{1}, z_{2} \in {Ker}_{L} B y \bar{x}, \bar{y} \in L / {Ker}_{L} B$ . Veamos primero que ${I^{+}, V^{-}, V^{+}} \subset I^{+}$ .

$\begin{matrix} {[b_{1}, [b_{2}, [z_{1}, z_{2}]]}, \bar{x}, b_{3}] = [[[b_{1}, [b_{2}, [z_{1}, z_{2}]]], x], b_{3}] = [[b_{1}, [b_{2}, [z_{1}, z_{2}]]], [x, b_{3}]] = \\ \begin{matrix} = [[b_{1}, [x, b_{3}]], [b_{2}, [z_{1}, z_{2}]]] + [b_{1}, [[b_{2}, [x, b_{3}]], [z_{1}, z_{2}]]] + \\ + [b_{1}, [b_{2}, [[z_{1}, z_{2}], [x, b_{3}]]]] \in [B, [B, [{Ker}_{L} B, {Ker}_{L} B]],) \end{matrix} \end{matrix}$

ya que $[[z_{1}, z_{2}], [x, b_{3}]] = [[z_{1}, [x, b_{3}]], z_{2}] + [z_{1}, [z_{2}, [x, b_{3}]]] \in [{Ker}_{L} B, {Ker}_{L} B]$ .
Luego $\{I^{+}, V^{-}, V^{+}\} \subset I^{+}$ .

Veamos ahora que ${V^{-}, I^{+}, V^{-}} \subset I^{-}$ .

$\begin{matrix} \{\bar{x}, [b_{1}, [b_{2}, [z_{1}, z_{2}]]], \bar{y}\} = \bar{[[x, [b_{1}, [b_{2}, [z_{1}, z_{2}]]]], y]} \in \\ \bar{[L, [L, [B, [B, [{Ker}_{L} B, {Ker}_{L} B]]]]]} \subset \\ \bar{[L, [[L, B], [B, [K, K]]]]} + \bar{[L, [B, [[L, B], [{Ker}_{L} B, {Ker}_{L} B]]} \subset \\ \bar{[L, [B, [{Ker}_{L} B, {Ker}_{L} B]]} + \bar{[L, [B, [[L, B], [{Ker}_{L} B, {Ker}_{L} B]]]} + \\ \bar{[[L, B], [[L, B], [{Ker}_{L} B, {Ker}_{L} B]]]} + \bar{[B, L]} \subset \\ \bar{[[L, B], [{Ker}_{L} B, {Ker}_{L} B]]} + \bar{[B, L]} + \bar{[[L, B], [[L, B], [{Ker}_{L} B, {Ker}_{L} B]]]} \subset \\ \bar{[{Ker}_{L} B, {Ker}_{L} B]}, \end{matrix}$

por ser

$\begin{aligned} [[L, B], [{Ker}_{L} B, {Ker}_{L} B]] \subset [[[L, B], {Ker}_{L} B], {Ker}_{L} B] \subset [K, K] \end{aligned}$

y $\bar{[B, L]} = \bar{0}$ , ya que [B, L] ⊂ Ker_LB.

Ahora, veamos que ${I^{-}, V^{+}, V^{-}} \subset I^{-}$ .

$\begin{matrix} \{\bar{[z_{1}, z_{2}]}, b_{1}, \bar{x}\} = \bar{[[[z_{1}, z_{2}], b_{1}], x]} = \bar{[[[z_{1}, z_{2}], x], b_{1}]} + \bar{[[z_{1}, z_{2}], [b_{1}, x]]} \in \\ \bar{[[{Ker}_{L} B, {Ker}_{L} B], [B, L]]} \subset \bar{[[{Ker}_{L} B, [B, L]], {Ker}_{L} B]} \subset \bar{[{Ker}_{L} B, {Ker}_{L} B]}, \end{matrix}$

con lo que ${I^{-}, V^{+}, V^{-}} \subset I^{-}$ .

Por último, veamos que ${V^{+}, I^{-}, V^{+}} \subset I^{+}$ .

${b_{1}, \bar{[z_{1}, z_{2}]}, b_{2}} = [[b_{1}, [z_{1}, z_{2}]], b_{2}] \in [B, [B, [{Ker}_{L} B, {Ker}_{L} B]]]$

y, por tanto, ${V^{+}, I^{-}, V^{+}} \subset I^{+}$ .

Luego $I = (I^{+}, I^{-})$ es un ideal del par de Jordan V = (B, L/Ker_LB).

Definición 3.2.3. Sea V = (V⁺, V⁻) un par de Jordan sobre un anillo de escalares ϕ, con $\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in ϕ$ , y sea J = (J⁺, J⁻) un ideal de V. Para cada m ≥ 0, definimos $J^{3^{m + 1}} := ({(J^{3^{m + 1}})}^{+}, {(J^{3^{m + 1}})}^{-})$ , donde

$\begin{aligned} {(J^{3^{m + 1}})}^{+} = {{(J^{3^{m}})}^{+}, {(J^{3^{m}})}^{-}, {(J^{3^{m}})}^{+}} \\ {(J^{3^{m + 1}})}^{-} = {{(J^{3^{m}})}^{-}, {(J^{3^{m}})}^{+}, {(J^{3^{m}})}^{-}} . \end{aligned}$

Lema 3.2.4. Sea V = (V⁺, V⁻) un par de Jordan sobre un anillo de escalares ϕ, con $\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in ϕ$ . y sea J = (J⁺, J⁻) un ideal de V. Entonces se verifica:

1. (J^3m+1)^σ ⊂ (J^3m)^σ para todo m ≥ 0, donde σ = ±.

2. J^3m+1 es ideal es ideal de J^3m para todo m ≥ 0.

3. Si V es no degenerado y J ≠ 0, entonces J^3m es no nulo y no degenerado para cada m ≥ 0.

Demostración. Consideremos σ = ±.

1. Veamos que (J^3m+1)^σ ⊂ (J^3m)^σ para todo m ≥ 0. Para m = 0 es claro, ya que

${(J^{3})}^{σ} = \{J^{σ}, J^{- σ}, J^{σ}\} \subset J^{σ},$

por ser J ideal de V.

Supongamos entonces que (J^3m+1)^σ ⊂ (J^3m)^σ para un cierto m ≥ 0 y veamos que se verifica para m + 1.

$\begin{matrix} {(J^{3^{m + 2}})}^{σ} = \{{(J^{3^{m + 1}})}^{σ}, {(J^{3^{m + 1}})}^{- σ}, {(J^{3^{m + 1}})}^{σ}\} \subset \\ \{{(J^{3^{m}})}^{σ}, {(J^{3^{m}})}^{- σ}, {(J^{3^{m}})}^{σ}\} = {(J^{3^{m + 1}})}^{σ} . \end{matrix}$

Luego (J^3m+1)^σ ⊂ (J^3m)^σ para todo m ≥ 0.

2. Como (J^3m+1)^σ ⊂ (J³m)^σ para cada m ≥ 0, entonces

$\begin{matrix} \{{(J^{3^{m + 1}})}^{σ}, {(J^{3^{m + 1}})}^{- σ}, {(J^{3^{m + 1}})}^{σ}\} \subset \\ \{{(J^{3^{m}})}^{σ}, {(J^{3^{m}})}^{- σ}, {(J^{3^{m}})}^{σ}\} = {(J^{3^{m + 1}})}^{σ}, \end{matrix}$

con lo que J^3m+1 es sub par de V. Además.

$\begin{matrix} \{{(J^{3^{m + 1}})}^{σ}, {(J^{3^{m}})}^{- σ}, {(J^{3^{m}})}^{σ}\} + \{{(J^{3^{m}})}^{σ}, {(J^{3^{m + 1}})}^{- σ}, {(J^{3^{m}})}^{σ}\} \subset \\ \{{(J^{3^{m}})}^{σ}, {(J^{3^{m}})}^{- σ}, {(J^{3^{m}})}^{σ}\} = {(J^{3^{m + 1}})}^{σ} . \end{matrix}$

3. Como V es no degenerado y J es ideal de V, entonces J es no degenerado [25, p. 174]. Análogamente, como J es no nulo y no degenerado, y J³ es ideal de J, donde

${(J^{3})}^{σ} = \{J^{σ}, J^{- σ}, J^{σ}\},$

entonces J³ es no nulo. Además, como J³ es un ideal no nulo de J y J es no degenerado, entonces J³ es no degenerado.

Razonando de manera análoga para cada m ≥ 0, tenemos que J^3m es no nulo y no degenerado.

Proposición 3.2.5. Sea L un álgebra de Lie sobre un anillo de escalares ϕ tal que $\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in ϕ$ . Sea B un ideal interno abeliano de L y consideremos Ker_LB. Supongamos que existe n ∈ ℕ tal que [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B y consideremos el ideal 𝒥 = (𝒥⁺, 𝒥⁻) = (KerΨ_n−1, KerΨ_1−η), donde (Ψ_n−1, Ψ_1−n) es el homomorfismo de pares de Jordan dado en la Proposición 3.2.1. Entonces

${(J^{3^{m}})}^{+} \subset \{b \in B : [b, {Ker}_{L} B] \subset {[B, {Ker}_{L} B]}^{m + 2} + B\} .$

Además, si L es no degenerada, entonces

${(J^{3^{m}})}^{+} \subset {Ann}_{V} {(I)}^{+}$

para todo $m + 2 \geq \frac{n + 1}{2}$ , donde

$I = (I^{+}, I^{-}) = ([B, [B, [{Ker}_{L} B, {Ker}_{L} B]]], \bar{[{Ker}_{L} B, {Ker}_{L} B]}) .$

Demostración. Procederemos por inducción sobre m ≥ 0. Si m = 0, entonces 𝒥⁺ = KerΨ_n−1. con lo que si b ∈ KerΨ_n−1, entonces

$[b, {Ker}_{L} B] \subset F_{- 2} = {[B, {Ker}_{L} B]}^{2} + B .$

Supongamos ahora que

${(J^{3^{m - 1}})}^{+} \subset \{b \in B : [b, {Ker}_{L} B] \subset {[B, {Ker}_{L} B]}^{m + 1} + B\}$

y veamos que

${(J^{3^{m}})}^{+} \subset \{b \in B : [b, {Ker}_{L} B] \subset {[B, {Ker}_{L} B]}^{m + 2} + B\} .$

Sean b₁, b₂ ∈ (𝒥^3m−1)⁺, $\bar{x} \in {(J^{3^{m - 1}})}^{-}$ y consideremos $b_{3} = \{b_{1}, \bar{x}, b_{2}\}$ . Sea z ∈ Ker_LB, tenemos que ver que [b₃, z] ∈ [B, Ker_LB]^m+2 + B.

$\begin{matrix} [b_{3}, z] = [[[b_{1}, x], b_{2}], z] = [[[b_{1}, z], x], b_{2}] + [[[b_{1}, [x, z]], b_{2}] + [[b_{1}, x], [b_{2}, z]] \in \\ [[{[B, {Ker}_{L} B]}^{m + 1} + B, x], b_{2}] + B + [[b_{1}, x], {[B, {Ker}_{L} B]}^{m + 1} + B] \subset \\ [[{[B, {Ker}_{L} B]}^{m + 1}, x], b_{2}] + [b_{1}, [x, {[B, {Ker}_{L} B]}^{m + 1}]] + B . \end{matrix}$

Ahora bien, como

$\begin{matrix} [{[B, {Ker}_{L} B]}^{m + 1}, L] = [[[B, {Ker}_{L} B], {[B, {Ker}_{L} B]}^{m}], L] \subset \\ [{Ker}_{L} B, {[B, {Ker}_{L} B]}^{m}] + [[B, {Ker}_{L} B], {Ker}_{L} B] \subset [[B, {Ker}_{L} B], {Ker}_{L} B], \end{matrix}$

entonces

$\begin{matrix} [[{[B, {Ker}_{L} B]}^{m + 1}, x], b_{2}] + [b_{1}, [x, {[B, {Ker}_{L} B]}^{m + 1}]] + B \subset \\ [[[B, {Ker}_{L} B], {Ker}_{L} B], b_{2}] + [b_{1}, [[B, {Ker}_{L} B], {Ker}_{L} B]] + B \subset \\ [[B, {Ker}_{L} B], [{Ker}_{L} B, b_{2}]] + [[[B, {Ker}_{L} B], [b_{1}, {Ker}_{L} B]] + B \subset \\ [[B, {Ker}_{L} B], {[B, {Ker}_{L} B]}^{m + 1}] + B \subset {[B, {Ker}_{L} B]}^{m + 2}] + B . \end{matrix}$

Luego

${(J^{3^{m}})}^{+} \subset \{b \in B : [b, {Ker}_{L} B] \subset {[B, {Ker}_{L} B]}^{m + 2} + B\}$

para todo m ≥ 0.

Supongamos ahora que L es no degenerada. Entonces V es no degenerado por [30, Proposition 3.5 (iii)]. Veamos que ${(J^{3^{m}})}^{+} \subset {Ann}_{V} {(I)}^{+}$ . Sea b ∈ (J^3m)⁺ y sean z₁, z₂ ∈ Ker_LB. Entonces, para $m + 2 \geq \frac{n + 1}{2}$ ,

$\begin{matrix} \{b, [z_{1}, z_{2}], b\} = [[b, [z_{1}, z_{2}]], b] = 2 [[b, z_{1}], [b, z_{2}]] \in \\ [{[B, {Ker}_{L} B]}^{m + 2} + B, {[B, {Ker}_{L} B]}^{m + 2} + B] \subset {[B, {Ker}_{L} B]}^{2 m + 4} \subset \\ {[B, {Ker}_{L} B]}^{n + 1} = 0, \end{matrix}$

ya que [B, Ker_LB]ⁿ ∈ B. Luego, por la caracterización del anulador de un ideal para pares de Jordan no degenerados ([54, Proposition 1.7]), tenemos que ${(J^{3^{m}})}^{+} \subset {Ann}_{V} {(I)}^{+}$ .

Corolario 3.2.6. Sea L un álgebra de Lie fuertemente prima sobre un anillo de escalares ϕ tal que $\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in ϕ$ . Sea B un ideal interno abeliano de L y consideremos Ker_LB. Supongamos que existe n ∈ ℕ tal que [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B. Si Ker_LB no es subálgebra de L, entonces el subcociente (B, L/Ker_LB) es un par de Jordan especial fuertemente primo.

Demostración. Como L es fuertemente prima, entonces el par de Jordan V = (B, L/Ker_LB) es fuertemente primo por [30, Proposition 3.5 (iii)]. Si Ker_LB no es subálgebra de L, entonces el ideal

$I = (I^{+}, I^{-}) = ([B, [B, [{Ker}_{L} B, {Ker}_{L} B]]], \bar{[{Ker}_{L} B, {Ker}_{L} B]})$

es no nulo y, por tanto, ${Ann}_{V} (I)$ es cero, ya que $\{I^{σ}, {Ann}_{V} {(I)}^{- σ}, I^{σ}\} = 0$ , ${Ann}_{V} (I)$ es un ideal de V y V es primo.

Por la proposición anterior, existe m ∈ ℕ tal que J^{3^m} = 0 y, por el punto 3 del lema anterior. tenemos que 𝒥 = (kerΨ₁, kerΨ₋₁) = 0, con lo que (Ψ₁, Ψ₋₁) es un monomorfismo entre el par de Jordan V y el par de Jordan especial

${(Hom ({\hat{L}}_{n - 1}, {\hat{L}}_{- 1}), Hom ({\hat{L}}_{- 1}, {\hat{L}}_{n - 1}))}^{(+)}$

y, por tanto, V es un par de Jordan especial.

Lema 3.2.7. Sea R un álgebra asociativa prima y centralmente cerrada sobre un anillo de escalares ϕ, con $\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in ϕ$ , y sea ℬ un ideal interno abeliano de R⁽⁻⁾/Z(R). Entonces existe un ideal interno abeliano B′ de R⁽⁻⁾ tal que B′B′ = 0 y π(B′) = ℬ, donde π : R⁽⁻⁾ → R⁽⁻⁾/Z(R) denota la proyección canónica. En particular, B′ ∩ Z(R) = 0.

Demostración. Veamos que B := π⁻¹(ℬ) es un ideal interno abeliano de R⁽⁻⁾. Como

$π ([B, [B, R]]) \subset [B, [B, R / Z (R)]] \subset B,$

entonces [B, [B, R]] ⊂ B. Además, si b ∈ B, ${ad}_{b}^{3} (R) \subset Z (R)$ , por ser ℬ un ideal interno abeliano de R⁻/Z(R) y, por tanto, ${ad}_{b}^{3} (R) = 0$ , por [19, Lemma 3.1]. Aplicando de nuevo que ℬ es ideal interno abeliano de R⁻/Z(R), tenemos que [b₁, b₂] = b₁b₂ − b₂b₁ ∈ Z(R) para todo b₁, b₂ ∈ B, con lo que

$0 = {ad}_{b_{1}}^{3} (b_{2}^{3}) = b_{1}^{3} b_{2}^{3} - 3 b_{1}^{2} b_{2}^{3} b_{1} + 3 b_{1} b_{2}^{3} b_{1}^{2} - b_{2}^{3} b_{1}^{3} = 6 {[b_{1}, b_{2}]}^{3}$

y, por tanto, [b₁, b₂] = 0, ya que [b₁, b₂] es un elemento nilpotente del centro de un álgebra prima.

Por último, consideramos B′ el ideal interno abeliano de R⁽⁻⁾ asociado a B como en el segundo punto de la Proposición 2.1.1. Para este ideal interno abeliano B′ se verifica que π(B′) = π(B) = ℬ y B′B′ = 0. Para acabar, veamos que B′ ∩ Z(R) = 0. Sea b′ ∈ B′ ∩ Z(R) entonces, para todo x ∈ R, tenemos que

$0 = [b^{'}, x] = b^{'} x - x b^{'}$

y, por tanto,

$b^{'} x b^{'} = 0,$

ya que B′B′ = 0. Luego b′ = 0 por ser R un álgebra prima.

Como era de esperar, en el siguiente resultado se demuestra que el subcociente asociado a un ideal interno abeliano en L = R⁽⁻⁾/Z(R) es especial cuando R es un álgebra asociativa prima y [Ker_LB, Ker_LB] ⊄ Ker_LB.

Corolario 3.2.8. Sea R un álgebra asociativa prima sobre un anillo de escalares ϕ tal que $\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in ϕ$ . Sea B un ideal interno abeliano de L = R⁽⁻⁾/Z(R) y consideremos Ker_LB. Si Ker_LB no es subálgebra de L, entonces el subcociente (B, L/Ker_LB) es especial y fuertemente primo.

Demostración. Como R es prima entonces, por [34, Lemma 4.2], L es fuertemente prima y, por tanto, el subcociente (B, L/Ker_LB) es fuertemente primo por [30, Proposition 3.5 (iii)]. Consideremos la clausura central $\hat{R}$ de R, $\hat{L} := {\hat{R}}^{(-)} / Z (\hat{R})$ y sea $\hat{B}$ la extension por escalares de B en $\hat{L}$ . Como R es prima, entonces $\hat{R}$ es prima. Luego, por el lema anterior, podemos suponer que $\hat{B} = π (B^{'})$ , donde B′ es un ideal interno abeliano de ${\hat{R}}^{(-)}$ tal que B′B′ = 0 y π denota la proyección canónica de ${\hat{R}}^{(-)}$ sobre $\hat{L}$ . Por el apartado 4 de la Proposicion 2.1.1, tenemos que $[B^{'}, {Ker}_{{\hat{R}}^{(-)}} B^{'}]$ es nilpotente y, por tanto, $π ([B^{'}, {Ker}_{\hat{R} (-)} B^{'}])$ es una subálgebra de $\hat{L}$ nilpotente. Por el Corolario 3.2.6, tenemos que el subcociente $(\hat{B}, {Ker}_{\hat{L}} \hat{B})$ es especial. Luego (B, L/Ker_LB) es especial.

Observación 3.2.9. Si L un álgebra de Lie no degenerada sobre un anillo de escalares ϕ, con $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5} \in ϕ$ , vimos que para cada ideal interno abeliano no nulo B de longitud finita de L, existe una ℤ-graduación finita L = L_−n ⊕ · · · ⊕ L₀ ⊕ · · · ⊕ L_n tal que B = L_n [30, Corollary 6.2], Esto siempre ocurre, por ejemplo, cuando L es no degenerada y de dimensión finita. Con respecto a esta graduación, Ker_LB = L_−(n−1) ⊕ · · · ⊕ L₀ ⊕ · · · ⊕ L_n y [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B, con lo que [B, Ker_LB]ⁿ⁺¹ = 0.

Cuando la graduación es una 3-graduación, L = L₋₁ ⊕ L₀ ⊕ L₁, Ker_LB = L₀ ⊕ L₁ es siempre es una subálgebra de L. En esta situación, el Corolario 3.2.6 no da información sobre la especialidad del subcociente (B, L/Ker_LB) ≅ (L₁, L₋₁). Si revisamos la lista de ideales internos abelianos de las álgebras de Lie de dimensión finita simple sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero dada en [23], solo cuando L = E₆ o E₇ encontramos subcocientes excepcionales: si L = E₆, el subcociente asociado al ideal interno abeliano B_{1} (con la notación de [23]) es isomorfo al par BiCayley excepcional y, si L = E₇, el subcociente asociado al ideal interno abeliano B_{7} (con la notación de [23]) es isomorfo al par de Albert excepcional. El resto de subcocientes de ideales internos abelianos de las álgebras de Lie simples de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero son especiales.

Capítulo 4

Una forma canónica de Jordan para elementos nilpotentes

El contenido de este capítulo se encuentra en el artículo publicado [38]. En este último capítulo daremos una nueva demostración de la forma canónica de Jordan de un elemento nilpotente en un anillo arbitrario. Si a ∈ R es un elemento nilpotente del índice n y a^{n − 1} es regular von Neumann, podemos descomponer a = ea + (1 − e)a, siendo $e a \in e R e ≅ M_{n} (S)$ un bloque de Jordan de tamaño n × n, donde S es un anillo unitario, y (1 − e)a es nilpotente de índice menor que n para un idempotente e ∈ R tal que ae = ea. Este resultado hace posible caracterizar los anillos primos de índice acotado n, con un elemento nilpotente a ∈ R de índice n y tal que aⁿ⁻¹ es regular von Neumann, como un anillo de matrices sobre un dominio unitario. Además, el material de este capítulo ha sido de utilidad para describir los elementos ad-nilpotentes en álgebras de Lie que proceden de álgebras asociativas con involución [20].

A lo largo de este capítulo trataremos con anillos no necesariamente unitarios. Si R es un anillo no unitario, por expresiones del tipo (1 − x)y, para x, y ∈ R, entenderemos y − xy ∈ R.

4.1. Forma canónica de Jordan

El siguiente lema es análogo a [31, Lema 3.2], pero hemos cambiado ligeramente su demostración para generalizar el resultado a anillos arbitrarios.

Lema 4.1.1. Sea R un anillo y sea a ∈ R un elemento nilpotente de R con índice n tal que aⁿ⁻¹ es regular von Neumann. Entonces existe b ∈ R tal que aⁿ⁻¹baⁿ⁻¹ = aⁿ⁻¹, baⁿ⁻¹b = b y ba^kb = 0 para todo k ∈ {0,1, …, n − 2}.

Demostración. Como aⁿ⁻¹ es regular von Neumann, existe b ∈ R tal que aⁿ⁻¹baⁿ⁻¹ = aⁿ⁻¹. Consideremos b′ = baⁿ⁻¹ b ∈ R, entonces se tiene que

$a^{n - 1} b^{'} a^{n - 1} = a^{n - 1} (b a^{n - 1} b) a^{n - 1} = (a^{n - 1} b a^{n - 1}) b a^{n - 1} = a^{n - 1} b a^{n - 1} = a^{n - 1}$

$b^{'} a^{n - 1} b^{'} = (b a^{n - 1} b) a^{n - 1} (b a^{n - 1} b) = b (a^{n - 1} b a^{n - 1}) b a^{n - 1} b = b (a^{n - 1} b a^{n - 1}) b = b^{'} .$

Consideremos ahora c = b′ − ab′aⁿ⁻²b′. Entonces tenemos que

$\begin{matrix} a^{n - 1} c a^{n - 1} = a^{n - 1} b^{'} a^{n - 1} - a^{n} b^{'} a^{n - 2} b^{'} a^{n - 1} = a^{n - 1}, \\ c a^{n - 1} c = b^{'} a^{n - 1} c - a b^{'} a^{n - 2} b^{'} a^{n - 1} c = \\ b^{'} a^{n - 1} b^{'} - b^{'} a^{n} b^{'} a^{n - 2} b^{'} - a b^{'} a^{n - 2} b^{'} a^{n - 1} b^{'} + a b^{'} a^{n - 2} b^{'} a^{n} b^{'} a^{n - 2} b^{'} = \\ b^{'} - a b^{'} a^{n - 2} b^{'} = c \end{matrix}$

$\begin{matrix} c a^{n - 2} c = c a^{n - 2} b^{'} - c a^{n - 1} b^{'} a^{n - 2} b^{'} = \\ b^{'} a^{n - 2} b^{'} - a b^{'} a^{n - 2} b^{'} a^{n - 2} b^{'} - b^{'} a^{n - 1} b^{'} a^{n - 2} b^{'} + a b^{'} a^{n - 2} b^{'} a^{n - 1} b^{'} a^{n - 2} b^{'} = \\ b^{'} a^{n - 2} b^{'} - a b^{'} a^{n - 2} b^{'} a^{n - 2} b^{'} - b^{'} a^{n - 2} b^{'} + a b^{'} a^{n - 2} b^{'} a^{n - 2} b^{'} = 0 . \end{matrix}$

Usaremos un argumento recursivo. Por inducción decreciente sobre s = n − 2, ... , 0, supongamos que existe b ∈ R tal que, para todo k ∈ {s + 1, ... , n − 2}, tenemos que

$a^{n - 1} b a^{n - 1} = a^{n - 1}, b a^{n - 1} b = b y b a^{k} b = 0 .$

Definamos d := 1 − a^n−1−sba^s, entonces c := db verifica

$\begin{matrix} a^{k} c = a^{k} d b = a^{k} (1 - a^{n - 1 - s} b a^{s}) b = \\ a^{k} b - a^{n + k - 1 - s} b a^{s} b = a^{k} b \end{matrix}$

para todo k ∈ {s + 1, ... , n − 1}, ya que n + k − 1 − s ≥ n para todo k ∈ {s + 1, ... , n − 1} y aⁿ = 0. Además,

$a^{n - 1} c a^{n - 1} = a^{n - 1} b a^{n - 1} = a^{n - 1},$

$c a^{n - 1} c = c a^{n - 1} b = d b a^{n - 1} b = d b = c$

y, para todo k ∈ {s + 1, … , n − 1},

$c a^{k} c = c a^{k} b = d b a^{k} b = 0 .$

Veamos que ca^sc = 0:

$\begin{matrix} c a^{s} c = c a^{s} (1 - a^{n - 1 - s} b a^{s}) b = c a^{s} b - c a^{n - 1} b a^{s} b = \\ d b a^{s} b - d (b a^{n - 1} b) a^{s} b = d b a^{s} b - d b a^{s} b = 0 . \end{matrix}$

Por lo tanto, podemos concluir la demostración por recursión.

Definición 4.1.2. Sea R un anillo y sea a ∈ R un elemento nilpotente de R con índice n tal que aⁿ⁻¹ es regular von Neumann. A un elemento b ∈ R con las características del lema anterior se le denomina inverso de Rus de a.

Teorema 4.1.3. Sea R un anillo y sea a ∈ R un elemento nilpotente de R con índice n tal que aⁿ⁻¹ es regular von Neumann. Sea b ∈ R un inverso de Rus de a. Entonces existen n idempotentes ortogonales no nulos ${e_{k}}_{k = 1}^{n}$ en R (que dependen de b) tales que, si $e = \sum_{k = 1}^{n} e_{k}$ , entonces se verifica:

1. ea = ae,

2. aⁿ⁻¹e = aⁿ⁻¹,

3. (1 − e)a es nilpotente de índice menor que n,

4. eRe ≅ ℳ_n(e₁Re₁) y, si ${\{e_{i, j}\}}_{i, j = 1}^{n}$ denotan a las matrices unidades del anillo de matrices eRe, entonces $e a = \sum_{k = 1}^{n - 1} e_{k + 1, k} .$

5. Para todo s ∈ {1, 2, ... , n − 1}, (ea)^s es unit-regular en eRe ya que, si $d = \sum_{k = 1}^{n - 1} e_{k, k + 1} + e_{n, 1}$ , entonces (ea)^sd^s (ea)^s = (ea)^s y d^s es invertible en eRe.

Demostración. Como a es un elemento nilpotente de R de índice n tal que aⁿ⁻¹ es regular von Neumann entonces, por el Lema 4.1.1, a tiene inverso de Rus en R, es decir, existe b ∈ R tal que

$a^{n - 1} b a^{n - 1} = a^{n - 1}, b a^{n - 1} b = b y b a^{k} b = 0$

para todo k ∈ {0, 1, ... , n − 2}. Consideremos e_i,j = a^{i − 1} ba^{n − j} para i, j = 1, 2, ... , n. Entonces tenemos que

$\begin{matrix} e_{u, v} e_{r, s} = a^{u - 1} b a^{n - v} a^{r - 1} b a^{n - s} = a^{u - 1} b a^{n - v + r - 1} b a^{n - s} = \\ δ_{v, r} a^{u - 1} b a^{n - 1} b a^{n - s} = δ_{v, r} a^{u - 1} b a^{n - s} = δ_{v, r} e_{u, s}, \end{matrix}$

donde δ_{v, r} denota la delta de Kronecker, es decir, δ_{v, r} = 0, si v ≠ r, y δ_{v, r} = 1, si v = r. Por lo tanto, ${e_{k} := e_{k, k}}_{k = 1}^{n}$ es un conjunto de idempotentes ortogonales. Además, estos idempotentes son no nulos, ya que

$e_{n, k} e_{k} e_{k, 1} = e_{n, 1} = a^{n - 1} b a^{n - 1} = a^{n - 1} \neq 0 .$

1. Como $\begin{matrix} e_{1} a = b a^{n} = 0, a e_{n} = a^{n} b = 0 y \\ e_{k} a = (a^{k - 1} b a^{n - k}) a = a^{k - 1} b a^{n - k + 1} = a (a^{k - 2} b a^{n - k + 1}) = a e_{k - 1} \end{matrix}$ ,

para todo k = 2, . . . , n, entonces $e = \sum_{k = 1}^{n} e_{k}$ es un idempotente de R que conmuta con a:

$a e = a (\sum_{i = 1}^{n} e_{i}) = a (\sum_{i = 1}^{n - 1} e_{i}) = (\sum_{i = 2}^{n} e_{i}) a = (\sum_{i = 1}^{n} e_{i}) a = e a .$

2. $a^{n - 1} e = a^{n - 1} e_{1} = a^{n - 1} b a^{n - 1} = a^{n - 1}$ .

3. Como $(1 - e) a = a - e a = a - a e = a (1 - e) y {(1 - e)}^{2} = (1 - e)$ , entonces $((1 - e) a)^{n - 1} = (1 - e) a^{n - 1} = a^{n - 1} - e a^{n - 1} = 0 .$

4. Como ${e_{i, j}}_{i, j = 1}^{n}$ es un conjunto de matrices unitarias, donde e_i,j = aⁱ⁻¹ba^n−j para cada i, j ∈ {1, 2, . . . , n}, entonces eRe es isomorfo al anillo de matrices M_n(e₁Re₁) (ver [50, (17.5) y (17.6)]). Además, tenemos que

$\begin{matrix} e a = e a e = (e_{2} + \dots + e_{n}) a (e_{1} + \dots + e_{n - 1}) = \sum_{k = 1}^{n - 1} e_{k + 1} a e_{k} = \\ \sum_{k = 1}^{n - 1} (a^{k} b a^{n - k + 1}) a (a^{k - 1} b a^{n - k}) = \sum_{k = 1}^{n - 1} a^{k} b a^{n - 1} b a^{n - k} = \\ \sum_{k = 1}^{n - 1} a^{k} b a^{n - k} = \sum_{k = 1}^{n - 1} e_{k + 1, k} . \end{matrix}$

5. Si $d = \sum_{k = 1}^{n - 1} e_{k, k + 1} + e_{n, 1}$ , entonces $d^{s} = \sum_{k = 1}^{n - s} e_{k, k + s} + \sum_{k = 1}^{s} e_{n - s + k, k}$ para todo s ∈ {1, 2, . . . , n} es invertible en eRe, ya que $d^{n} = \sum_{k = 1}^{n} e_{k, k}$ . Por otra parte, como $e a = \sum_{k = 1}^{n - 1} e_{k + 1, k}$ , entonces ${(e a)}^{s} = \sum_{k = 1}^{n - s} e_{k + s, k}$ para todo s ∈ {1, 2, . . . , n − 1}, con lo que

${(e a)}^{s} d^{s} = \sum_{k = 1}^{n - s} e_{k + s, k + s}$

y, por tanto,

${(e a)}^{s} d^{s} {(e a)}^{s} = \sum_{k = 1}^{n - s} e_{k + s, k} = {(e a)}^{s}$

para todo s ∈ {1, 2, ... , n − 1}.

Observación 4.1.4. En la representación matricial de ea dada en el punto 4 del teorema anterior, se tiene que e_1,n = b = eb = be es un inverso de Rus de ea con idempotente asociado e.

Definición 4.1.5. Sea R un anillo y sea a ∈ R un elemento nilpotente de R con índice n tal que aⁿ⁻¹ es regular von Neumann. Sea b ∈ R un inverso de Rus de a y sea e el idempotente asociado a b. Al idempotente e se le llama idempotente bloque, y diremos que ea es un elemento bloque asociado al idempotente bloque e.

Observación 4.1.6. Si un elemento a ∈ R es regular von Neumann y nilpotente de índice 2, se tiene que a es un elemento bloque asociado al idempotente bloque e = ba + ab para cualquier inverso de Rus b de a. Nótese que, en general, si a ∈ R es nilpotente de índice n, aⁿ⁻¹ es regular von Neumann y b es un inverso de Rus de a, el idempotente bloque dado por el Teorema 4.1.3 es e = (a + b)ⁿ, ya que

${(a + b)}^{n} = a^{n - 1} b + a^{n - 2} b a + \dots + a b a^{n - 2} + b a^{n - 1} = \sum_{i = 1}^{n} e_{i} = e,$

por ser ba^kb = 0 para todo k = 0, 1, ..., n − 2.

Observación 4.1.7. El punto 5 del Teorema 4.1.3 nos ofrece una representación del elemento ea como un «bloque de Jordan» (como la forma canónica de Jordan de un elemento nilpotente en un anillo de endomorfismos de un espacio vectorial de dimensión finita). Además, tanto ea como sus potencias son regulares von Neumann, con lo que si a a es un elemento bloque nilpotente de índice n, la regularidad von Neumann de aⁿ⁻¹ implica que cada potencia de a es regular von Neumann.

Nótese que la forma canónica de Jordan obtenido en este teorema no es exactamente la forma canónica de Jordan de un anillo de matrices sobre un cuerpo. En el ambiente clásico, si a ∈ M_m (𝔽) es un elemento nilpotente de índice n, obtenemos tantos bloques de Jordan de tamaño n como el rango de aⁿ⁻¹. En la descomposición de Jordan dada en el apartado 4 del Teorema 4.1.3, todos los bloques de Jordan del mismo tamaño colapsan en uno.

Ejemplo 4.1.8. Sea 𝔽 un cuerpo y consideremos el anillo regular von Neumann R = M₆(𝔽). La matriz

$A = (\begin{array}{llllll} 0 0 0 0 0 0 \\ 1 0 0 0 0 0 \\ 0 1 0 0 0 0 \\ 0 0 0 0 0 0 \\ 0 0 0 1 0 0 \\ 0 0 0 0 1 0 \end{array}) \in M_{6} (F)$

consiste en dos bloques de Jordan de tamaño 3 × 3 asociados al autovalor 0. Si ${\{e_{i, j}\}}_{i, j = 1}^{6}$ denotan a las matrices unitarias de M₆(𝔽), entonces A = e_2,1 + e_3,2 + e_5,4 + e_6,5. El elemento A ∈ R es nilpotente de índice 3, ya que A² = e_3,1 + e_6,4. Un inverso de Rus de A es B = e_1,3 + e_4,6 ya que

$\begin{matrix} A^{2} B A^{2} = (e_{3, 1} + e_{6, 4}) (e_{1, 3} + e_{4, 6}) (e_{3, 1} + e_{6, 4}) = \\ (e_{3, 3} + e_{6, 6}) (e_{3, 1} + e_{6, 4}) = e_{3, 1} + e_{6, 4} = A^{2}, \\ B A^{2} B = (e_{1, 3} + e_{4, 6}) (e_{3, 1} + e_{6, 4}) (e_{1, 3} + e_{4, 6}) = \\ (e_{1, 1} + e_{4, 4}) (e_{1, 3} + e_{4, 6}) = e_{1, 3} + e_{4, 6} = B \end{matrix}$

$\begin{matrix} B A B = (e_{1, 3} + e_{4, 6}) (e_{2, 1} + e_{3, 2} + e_{5, 4} + e_{6, 5}) (e_{1, 3} + e_{4, 6}) = \\ (e_{1, 2} + e_{4, 5}) (e_{1, 3} + e_{4, 6}) = 0 . \end{matrix}$

Si denotamos por letras mayúsculas a los idempotentes e_i,j definidos en la demostración del Teorema 4.1.3, tenemos que

$\begin{matrix} E_{1, 1} = B A^{2} = (e_{1, 3} + e_{4, 6}) (e_{3, 1} + e_{6, 4}) = e_{1, 1} + e_{4, 4}, \\ E_{2, 2} = A B A = (e_{2, 1} + e_{3, 2} + e_{5, 4} + e_{6, 5}) (e_{1, 3} + e_{4, 6}) (e_{2, 1} + e_{3, 2} + e_{5, 4} + e_{6, 5}) = \\ (e_{2, 3} + e_{5, 6}) (e_{2, 1} + e_{3, 2} + e_{5, 4} + e_{6, 5}) = e_{2, 2} + e_{5, 5} \end{matrix}$

$E_{3, 3} = A^{2} B = (e_{3, 1} + e_{6, 4}) (e_{1, 3} + e_{4, 6}) = e_{3, 3} + e_{6, 6},$

con lo que

$E = E_{1, 1} + E_{2, 2} + E_{3, 3} = Id$

y, por tanto, A = EA es un elemento bloque asociado a la matriz identidad E en R.

Nótese que

$E_{2, 1} = A B A^{2} = A E_{1, 1} = (e_{2, 1} + e_{3, 2} + e_{5, 4} + e_{6, 5}) (e_{1, 1} + e_{4, 4}) = e_{2, 1} + e_{5, 4}$

$E_{3, 2} = A^{2} B A = E_{3, 3} A = (e_{3, 3} + e_{6, 6}) (e_{2, 1} + e_{3, 2} + e_{5, 4} + e_{6, 5}) = e_{3, 2} + e_{6, 5},$

con lo que A = E_2,1 + E_3,2. Luego R ≅ M₃(E₁₁RE₁₁), con E₁₁RE₁₁ ≅ M₂(𝔽) y

$A = (\begin{array}{lll} 0 0 0 \\ I 0 0 \\ 0 I 0 \end{array}), donde I = (\begin{array}{ll} 1 0 \\ 0 1 \end{array}) .$

Corolario 4.1.9. Sea R un anillo y sea a ∈ R un elemento nilpotente no nulo de índice n tal que as es regular von Neumann para todo s ∈ ℕ. Entonces existe una familia de idempotentes ortogonales no nulos ${u_{i}}_{i = 1}^{k}$ de R que conmutan con a y tales que $a = \sum_{i = 1}^{k}$ u_ia donde, para cada i ∈ {1, 2, …, k}, u_ia es un elemento bloque nilpotente de índice n_i, con n = n₁ > n₂ > … > n_k, asociado al idempotente bloque u_i.

Demostración. Sea a⁽¹⁾ := a. Por el Teorema 4.1.3 existe una familia de idempotentes ortogonales no nulos ${e_{k}^{(1)}}_{k = 1}^{n}$ tal que, si $u_{1} := \sum_{k = 1}^{n} e_{k}^{(1)}$ , entonces u₁a⁽¹⁾ = u₁a = a⁽¹⁾u₁ = au₁ es un elemento bloque nilpotente de índice n₁ = n y ((1 − u₁)a⁽¹⁾)ⁿ⁻¹ = 0. Por lo tanto, $a^{(2)} := (1 - u_{1}) a^{(1)} = (1 - u_{1}) a$ es nilpotente de índice n₂, con n = n₁ > n₂. Veamos que (a⁽²⁾)^n₂−1 es regular von Neumann. Como a^n₂−1 es regular von Neumann, entonces existe c ∈ R tal que a^n₂−1ca^n₂−1 = a^n₂−1 y, si multiplicamos por 1 − u₁ por ambos lados obtenemos

$(1 - u_{1}) a^{n_{2} - 1} c a^{n_{2} - 1} (1 - u_{1}) = (1 - u_{1}) a^{n_{2} - 1} (1 - u_{1}),$

con lo que

$\begin{matrix} {(a^{(2)})}^{n_{2} - 1} c {(a^{(2)})}^{n_{2} - 1} = {((1 - u_{1}) a)}^{n_{2} - 1} c {((1 - u_{1}) a)}^{n_{2} - 1} = \\ (1 - u_{1}) a^{n_{2} - 1} c (1 - u_{1}) a^{n_{2} - 1} = (1 - u_{1}) a^{n_{2} - 1} c a^{n_{2} - 1} (1 - u_{1}) = \\ (1 - u_{1}) a^{n_{2} - 1} (1 - u_{1}) = {((1 - u_{1}) a)}^{n_{2} - 1} = {(a^{(2)})}^{n_{2} - 1} . \end{matrix}$

Por el Teorema 4.1.3, existe una familia de idempotentes ortogonales no nulos ${\{e_{k}^{(2)}\}}_{k = 1}^{n_{2}}$ tal que, si $u_{2} := \sum_{k = 1}^{n_{2}} e_{k}^{(2)}$ , entonces u₂a⁽²⁾ = u₂(1 − u₁)a = a⁽²⁾u₂ es un elemento bloque nilpotente de índice n₂ = n y ((1 − u₂)a⁽²⁾)^n₂−1 = 0. Además, como $e_{k}^{(2)} \in (1 - u_{1}) R (1 - u_{1})$ para todo k = 1, …, n₂, entonces u₂ ∈ (1 − u₁)R(1 − u₁), con lo u₁u₂ = 0 = u₂u₁. Ahora bien, como u₁u₂ = u₂u₁ = 0, u₂a⁽²⁾ = a⁽²⁾u₂ y a⁽²⁾ = (1 − u₁)a, entonces

$u_{2} (1 - u_{1}) a = u_{2} a^{(2)} = a^{(2)} u_{2} = (1 - u_{1}) a u_{2},$

es decir,

$u_{2} a - u_{2} u_{1} a = a u_{2} - u_{1} a u_{2} = a u_{2} - a u_{1} u_{2} .$

Luego u₂a = au₂.

Mediante un argumento recursivo, tenemos que existe una familia de idempotentes ortogonales no nulos ${\{u_{i}\}}_{i = 1}^{k}$ de R, que conmutan con a, tales que u_ia es un elemento bloque nilpotente de índice n_i asociado al idempotente bloque u_i para todo i ∈ {1, 2,..., k}, donde n = n₁ > n₂ > … > n_k.

Por último, $a = \sum_{i = 1}^{k}$ u_ia, ya que

$a = u_{1} a + (1 - u_{1}) a = u_{1} a + u_{2} a + (1 - u_{2}) a = \dots = \sum_{i = 1}^{k} u_{i} a .$

Ahora seguimos el procedimiento clásico para extender los resultados anteriores a elementos algebraicos en un álgebra asociativa y unitaria R sobre un cuerpo 𝔽.

Teorema 4.1.10. Sea R un álgebra asociativa y unitaria sobre un cuerpo 𝔽 y sea a un elemento algebraico de R tal que su polinomio mínimo m_a(X) se descompone totalmente en 𝔽[X] como $\prod_{i = 1}^{k} {(X - λ_{i})}^{n_{i}}$ , donde λ_i ≠ λ_j si i ≠ j. Supongamos que (a − λ_i)^k_i es regular von Neumann para cada k_i ≤ n_i, con i = 1, ..., k. Entonces existe una familia de idempotentes ortogonales ${v_{s}}_{s = 1}^{k}$ y familias de idempotentes ortogonales {u_s,i} ⊂ v_sRv_s, todos conmutando con a, tal que $a = \sum_{s, i} u_{s, i} a$ , donde cada u_s,ia – λ_su_s,i ∈ u_s,iRu_s,i es un elemento bloque nilpotente de índice n_s,i ≤ n_s asociado al idempotente bloque u_s,i, es decir, u_s,iRu_s,i ≅ ℳ_{n_s,i}(S_s,i) para algún álgebra unitaria S_s,i y u_s,ia tiene la forma

$(\begin{array}{cccccc} λ_{s} & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & λ_{s} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & λ_{s} & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & λ_{s} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & λ_{s} \end{array}) .$

Demostración. Para cada s = 1, 2, . . . , k, definamos $q_{s} (X) := \prod_{i \neq s} {(X - λ_{i})}^{n_{i}}$ . Así, tenemos que q₁(X), . . . , q_k(X) son coprimos. Luego, aplicando la Identidad de Bézout, existen r₁(X), . . . , r_k(X) ∈ 𝔽[X] tales que

$r_{1} (X) q_{1} (X) + r_{2} (X) q_{2} (X) + \dots + r_{k} (X) q_{k} (X) = 1 .$

Si definimos v_s := r_s(a)q_s(a) para cada s = 1, 2, . . . , k, tenemos que ${\{v_{s}\}}_{s = 1}^{k}$ es una familia de idempotentes ortogonales que conmutan con a, ya que v_s ∈ 𝔽[a] para todo s ∈ {1, 2, . . . , k}. Luego v_s(a−λs) ∈ v_sRv_s es un elemento nilpotente de R de índice n_s para todo s ∈ {1, . . . , k}, por ser $\prod_{i = 1}^{k} {(a - λ_{i})}^{n_{i}} = 0$ y

$r_{1} (a) q_{1} (a) + r_{2} (a) q_{2} (a) + \dots + r_{k} (a) q_{k} (a) = 1 .$

Nótese que, como para cada s = 1, 2, . . . , k, v_s(a−λ_s) = (a−λs)v_s y (a−λ_s)^k_i es regular von Neumann para todo k_i ≤ n_i entonces v_s(a − λ_s)^k_i es regular von Neuman para todo k_i ≤ n_i. Luego, aplicando el corolario anterior a cada v_s(a − λ_s) ∈ v_sRv_s, existe una familia de idempotentes ortogonales ${\{u_{s, i}\}}_{i = 1}^{m_{s}} \subset v_{s} R v_{s}$ que conmutan con v_s(a − λ_s) y tales que

$v_{s} (a - λ_{s}) = \sum_{i = 1}^{m_{s}} u_{s, i} v_{s} (a - λ_{s}),$

donde cada u_s,iv_s(a−λ_s) es un elemento bloque nilpotente (asociado al idempotente bloque u_s,i) de índice n_s,i, donde n_s = n_s,1 > n_s,2 > . . . . Para cada s = 1, 2, …, k, se tiene que v_sRv_s es un anillo unitario con elemento unidad v_s, con lo que la familia de idempotentes ${u_{s, i}}_{i = 1}^{m_{s}}$ puede completarse a una familia completa de idempotentes ortogonales añadiéndole el idempotente

$u_{s, m_{s} + 1} = v_{s} - \sum_{i = 1}^{m_{s}} u_{s, i},$

siempre que u_{s,m_s+1} ≠ 0. De esta forma, tenemos que u_{s,m_s+1}(a – λ_s) = 0, con lo que ${u_{s, i}}_{i = 1}^{m_{s} + 1}$ es una familia completa de idempotentes ortogonales que conmutan con v_s(a – λ_s), tales que

$v_{s} (a - λ_{s}) = \sum_{i = 1}^{m_{s}} u_{s, i} v_{s} (a - λ_{s}),$

y donde cada u_s,iv_s(a – λ_s) es un elemento bloque nilpotente (asociado al idempotente bloque u_s,i) de índice n_s,i, donde n_s = n_s,1 > n_s,₂ > … > n_{s,m_s+1} = 1.

Ahora bien, como ${\{u_{s, i}\}}_{i = 1}^{m_{s} + 1} \subset v_{s} R v_{s}$ para cada s ∈ {1, 2, …, k}, entonces u_s,iv_s = u_s,i = v_su_s,i para todo u_s,i, con lo que cada u_s,i(a – λ_s) = u_s,ia – λ_su_s,i ∈ u_s,iRu_s,i es un elemento bloque nilpotente, asociado al idempotente bloque u_s,i, de índice n_s,i, donde n_s = n_s,1 > n_s,2 > … > n_{s,m_s+1}. Además, como cada u_s,i conmuta con v_s(a – λ_s), entonces cada u_s,i conmuta con a, ya que

$u_{s, i} a - λ_{s} u_{s, i} = u_{s, i} v_{s} (a - λ_{s}) = (a - λ_{s}) v_{s} u_{s, i} = (a - λ_{s}) u_{s, i} = a u_{s, i} - λ_{s} u_{s, i} .$

Por otra parte, como $\sum_{i = 1}^{m_{s} + 1} u_{s, i} = v_{s} y \sum_{s = 1}^{k} v_{s} = 1$ , entonces

$\sum_{s, i} u_{s, i} a = \sum_{s} v_{s} a = a .$

Por último, aplicando el Teorema 4.1.3 a cada elemento u_s,iv_s(a − λ_s) = u_s,i(a − λ_s) = u_s,i(a − λ_s)u_s,i ∈ u_s,i Ru_s,i ≅ M_{n_s,i} (S_s,i) con S_s,i un álgebra unitaria, tenemos que u_s,i(a − λ_s) puede verse como una matriz de tamaño n_s,i × n_s,i de la forma

$(\begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \end{array}),$

con lo que u_s,ia puede verse como una matriz de tamaño n_s,i×n_s,i de la forma

Corolario 4.1.11. Todo elemento algebraico en un álgebra unitaria regular von Neumann sobre un cuerpo algebraicamente cerrado admite una forma canónica de Jordan.

Observación 4.1.12. En general, ni el inverso de Rus ni el idempotente asociado en el Teorema 4.1.3 son únicos: si $R = M_{3} (F) y a = e_{1, 2} \in R$ , el elemento $b = e_{2, 1} \in R$ es un inverso de Rus de a y a es un elemento de bloque con idempotente bloque asociado

$e = b a + a b = e_{2, 1} e_{1, 2} + e_{1, 2} e_{2, 1} = e_{1, 1} + e_{2, 2}$

El elemento b′ = e_2,1 + e_3,1 ∈ R es otro inverso de Rus de a y a es un elemento de bloque con idempotente de bloque asociado

$e^{'} = b a + a b = (e_{2, 1} + e_{3, 1}) e_{1, 2} + e_{1, 2} (e_{2, 1} + e_{3, 1}) = e_{1, 1} + e_{2, 2} + e_{3, 2} .$

Sin embargo, veremos que todos los idempotentes bloque coinciden cuando son centrales.

El siguiente resultado es (c) ⇒ (a) de [39, Theorem 7.2].

Lema 4.1.13. Sea R un anillo no necesariamente unitario y sea ${e_{i}}_{i = 1}^{n}$ un conjunto de idempotentes ortogonales no nulos, donde uno de ellos puede ser de la forma 1 − e ∈ R¹, con e un idempotente de $R y R^{1} = R + ℤ 1$ la unitilización de R. Supongamos que existe $x_{i} \in R, i = 1, \dots, n - 1$ , con $e_{1} x_{1} e_{2} x_{2} \dots e_{n - 1} x_{n - 1} e_{n} \neq 0$ . Entonces R tiene un elemento nilpotente de índice n.

Demostración. Consideremos el elemento $a := \sum_{i = 1}^{n - 1} e_{i} x_{i} e_{i + 1} \in R$ . Entonces a es nilpotente de índice n, ya que $a^{n - 1} = e_{1} x_{1} e_{2} x_{2} \dots e_{n - 1} x_{n - 1} e_{n} \neq 0 y$ aⁿ = 0.

Definición 4.1.14. Sea R un anillo y sea a ∈ R un elemento nilpotente de índice n tal que aⁿ⁻¹ es regular von Neumann. Diremos que a es un bloque maximal si uno de los idempotentes bloque asociados a a está en el centro de R, es decir, si existe un inverso de Rus de a tal que el idempotente construido en el Teorema 4.1.3 es central.

Proposición 4.1.15. Sea R un anillo y sea a ∈ R un bloque maximal. Entonces todos los idempotentes bloque centrales asociados a a coinciden.

Demostración. Sea a ∈ R un elemento nilpotente de índice n tal que aⁿ⁻¹ es regular von Neumann y supongamos que e es un idempotente bloque asociado a a tal que e ∈ Z(R). Por el apartado 4 del Teorema 4.1.3, tenemos que $eRe ≅ M_{n} (e_{1} {Re}_{1}) у ea = \sum_{k = 1}^{n - 1} e_{k + 1, k}$ . Denotemos por ⟨aⁿ⁻¹⟩ al ideal generado por aⁿ⁻¹. Veamos que ⟨aⁿ⁻¹⟩ = eR. Por una parte, como $ea = \sum_{k = 1}^{n - 1} e_{k + 1, k}$ , entonces

$a^{n - 1} = {ea}^{n - 1} = {(ea)}^{n - 1} = e_{n, 1},$

con lo que

$e_{i, j} = e_{i, n} e_{n, 1} e_{1, j} \in <a^{n - 1}>$

para todo i, j ∈ {1, ..., n} y, por tanto, e ∈ ⟨aⁿ⁻¹⟩. Luego $eR \subseteq <a^{n - 1}>$ . Por otra parte, como $a^{n - 1} = {ea}^{n - 1} \in eR y eR$ es un ideal de R por ser $e \in Z (R)$ , entonces $<a^{n - 1}> \subseteq eR$ . Por lo tanto, $<a^{n - 1}>$ es un anillo unitario, siendo e su elemento unidad.

Supongamos ahora que e′ ∈ Z(R) es otro elemento bloque asociado a a. Repitiendo el mismo razonamiento, tenemos que ⟨aⁿ⁻¹⟩ = e′R, siendo e′ el elemento unidad de ⟨aⁿ⁻¹⟩, con lo que e′ = e.

Corolario 4.1.16. Sea R un anillo y sea a ∈ R un elemento nilpotente de R de índice maximal n tal que aⁿ⁻¹ es regular von Neumann. Entonces a es un bloque maximal y sus idempotentes bloque asociados coinciden.

Demostración. Como a es nilpotente de índice n y aⁿ⁻¹ es regular von Neumann entonces, por el Teorema 4.1.3, existen n idempotentes ortogonales no nulos ${e_{i}}_{i = 1}^{n}$ tales que $e = \sum_{i = 1}^{n} e_{i}$ es un idempotente bloque asociado a a. Veamos que eR(1 − e) = 0 = (1 − e)Re.

Por reducción al absurdo, supongamos que eR(1 − e) ≠ 0. Como eR(1 − e) ≠ 0, existe k ∈ {1, . . . , n} y x ∈ R tales que $e_{k, k} x (1 - e) \neq 0$ , con lo que

$e_{1, 1} e_{1, 2} e_{2, 2} \dots e_{k - 1, k - 1} e_{k - 1, k + 1} e_{k + 1, k + 1} \dots e_{n, n} e_{n, k} e_{k, k} x (1 - e) \neq 0.$

Por el lema 4.1.13, existe un elemento nilpotente de índice n + 1, lo cual es una contradicción, ya que R no tiene elementos nilpotentes de índice mayor que n. Luego eR(1 − e) = 0.

De forma análoga, se tiene que (1 − e)Re = 0 y, por tanto, e ∈ Z(R), con lo que todos los idempotentes bloque asociados a a son centrales. Aplicando ahora la Proposición 4.1.15, obtenemos que todos los idempotentes bloques asociados a a coinciden.

Varios autores han estudiado los anillos semiprimos con índice de nilpotencia acotado como, por ejemplo, los trabajos de Beidar y Mikhalev [15] y Hannah [40]. Mencionamos también el resultado de Armendáriz [4, Theorem 1], donde demostró que un anillo semiprimo de índice máximo n es un producto subdirecto de anillos primos de índices menores o iguales que n.

En el siguiente resultado describimos la estructura de los anillos con un elemento nilpotente a de índice máximo n y tal que a^n-1 es regular von Neumann. Con algunas condiciones adicionales sobre la regularidad del anillo, damos descripciones más precisas sobre los coeficientes de los anillos de matrices involucrados. Algunos de los apartados de este teorema ya han aparecido en la literatura (por ejemplo, el segundo punto es [39, Lemma 7.17] y el quinto punto es [39, Theorem 7.9]).

Teorema 4.1.17. Sea R un anillo y sea a ∈ R un elemento nilpotente de índice maximal n tal que aⁿ⁻¹ es regular von Neumann. Entonces

1. Cualquier inverso de Rus de a da lugar al mismo idempotente (central) e y R = eRe ⊕ (1 − e)R(1 − e). Además, $e R e ≅ M_{n} (S)$ , donde S es un anillo unitario sin elementos nilpotentes no nulos.

2. Si R es regular von Neumann, $e R e ≅ M_{n} (S)$ , donde S es regular abeliano.

3. Si R es indescomponible, $R ≅ M_{n} (S)$ , donde S es un anillo unitario sin elementos nilpotentes no nulos.

4. Si R es primo, $R ≅ M_{n} (S)$ , donde S es dominio unitario.

5. Si R es indescomponible y regular von Neumann, $R ≅ M_{n} (Δ)$ , donde Δ es un anillo de división.

En cualquer caso, si R es indescomponible, e = 1 y a es un elemento bloque.

Demostración. Como a es nilpotente de índice n y aⁿ⁻¹ es regular von Neumann entonces, por el Teorema 4.1.3, existen n idempotentes ortogonales no nulos ${\{e_{i}\}}_{i = 1}^{n}$ tales que $e = \sum_{i = 1}^{n} e_{i}$ y $e a = a e \in e R e ≅ M_{n} (e_{1} R e_{1})$ .

1. Por el Corolario 4.1.16, solo existe un idempotente bloque (central) asociado a a y R = eRe ⊕ (1 − e)R(1 − e). Supongamos que b ∈ e₁Re₁ es un elemento nilpotente no nulo de índice m. Veamos que $b + \sum_{k = 1}^{n - 1} e_{k, k + 1}$ es nilpotente de índice n + 1. En primer lugar, nótese que como b ∈ e₁Re₁ ⊂ R y el índice de nilpotencia maximal en R es n, entonces m ≤ n. Ahora bien, dado l ∈ ℕ, tenemos que

${(b + \sum_{k = 1}^{n - 1} e_{k, k + 1})}^{l} = b^{l} + b e_{1, l} + \sum_{k = 1}^{n - l} e_{k, k + l},$

ya que b = e_1,1be_1,1 ∈ e₁Re₁. En particular, tenemos que

${(b + \sum_{k = 1}^{n - 1} e_{k, k + 1})}^{n - 1} = b^{n - 1} + b e_{1, n - 1} + e_{1, n,}$

con lo que

${(b + \sum_{k = 1}^{n - 1} e_{k, k + 1})}^{n} = b^{n} + b e_{1, n} = b e_{1, n} \neq 0$

por ser b = be_1,1 = be_1,ne_n,1 ≠ 0. Por lo tanto, $b + \sum_{k = 1}^{n - 1} e_{k, k + 1}$ es un elemento nilpotente de índice n + 1 > n, lo cual es una contradicción. Luego e₁Re₁ no tiene elementos nilpotentes no nulos.

2. Si R es regular von Neumann, entonces S = e₁Re₁ es regular von Neumann. Como S no tiene elementos nilpotentes no nulos y es regular von Neumann, entonces S es regular abeliano ([39, Theorem 3.2]).

3. Si R es indescomponible entonces e = 1, ya que eaⁿ⁻¹ = aⁿ⁻¹ = 0, por ser a nilpotente de índice n. Luego, por el apartado 1, tenemos que $R ≅ M_{n} (S)$ y S = e₁Re₁ es un anillo unitario sin elementos nilpotentes no nulos.

4. Si R es primo, entonces R es indescomponible y, por tanto, e = 1 y $R ≅ M_{n} (S)$ . Como R es primo, entonces S = e₁Re₁ es también primo. Como S es un anillo primo y no tiene elementos nilpotentes no nulos, entonces S es un dominio.

5. Como R es indescomponible y regular von Neumann, entonces $R ≅ M_{n} (S)$ , donde S es regular abeliano. Veamos que S es un anillo de división. Sea x ∈ S, con x ≠ 0. Como S es regular von Neumann, existe entonces y ∈ S tal que xyx = x y, por tanto, xy es un idempotente (central) de S distinto de cero. Luego $\sum_{i = 1}^{n} (x y) e_{i, i} \in R$ es un idempotente central no nulo de R. Ahora bien, como $R ≅ M_{n} (S)$ es indescomponible y xy ≠ 0, entonces $1 = \sum_{i = 1}^{n} (x y) e_{i, i} = (x y) \sum_{i = 1}^{n} e_{i, i}$ , con lo que xy = 1. Por lo tanto, S es un anillo de división.

Capítulo 5

Resultados y métodos

5.1. Resultados principales

A modo de resumen, los principales resultados de este trabajo son los siguientes:

1. El Corolario 3.1.4 ([36]), que nos indica bajo qué condiciones un álgebra de Jordan L_a, asociada a un elemento ad-nilpotente a de índice menor o igual que 3 en un álgebra de Lie L, es especial. Concretamente:

Sea L un álgebra de Lie fuertemente prima sobre un anillo de escalares ϕ, $con \frac{1}{2}, \frac{1}{3} \in ϕ$ , y sea a ∈ L un elemento Jordan. Si Ker_La no es subálgebra de L, entonces L_a es un álgebra de Jordan fuertemente prima y especial.

2. El Corolario 3.2.6 ([36]), con el que obtenemos la especialidad del subcociente asociado a un ideal interno abeliano B de un álgebra de Lie L:

Sea L un álgebra de Lie fuertemente prima sobre un anillo de escalares ϕ. Sea B un ideal interno abeliano de L y consideremos Ker_LB. Supongamos que existe n ∈ ℕ tal que [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B. Si Ker_LB no es subálgebra de L, entonces el subcociente (B, L/Ker_LB) es un par de Jordan especial fuertemente primo.

3. El apartado 4 del Teorema 4.1.3 ([38]) que nos permite caracterizar un elemento ea ∈ R como un bloque de Jordan de tamaño n × n, donde a es un elemento nilpotente de R de índice n, con aⁿ⁻¹ regular von Neumann, y e es un idempotente de R que se construye a partir de a:

Sea R un anillo y sea a ∈ R un elemento nilpotente de R con índice n tal que aⁿ⁻¹ es regular von Neumann. Sea b ∈ R un inverso de Rus de a. Entonces existen n idempotentes ortogonales no nulos ${e_{k}}_{k = 1}^{n}$ en R (que dependen de b) tales que, si $e = \sum_{k = 1}^{n} e_{k}$ , entonces eRe ≌ M_n(e₁Re₁) y, si ${e_{i, j}}_{i, j = 1}^{n}$ denotan a las matrices unidades del anillo de matrices eRe, entonces $e a = e a e = \sum_{k = 1}^{n - 1} e_{k + 1, k}$ .

Gracias a este resultado y al hecho que se recoge en el punto 3 del Teorema 4.1.3, que nos indica que (1 − e)a es nilpotente de índice menor que n, tenemos el Corolario 4.1.9 ([38]) que nos descompone un elemento nilpotente a en un anillo arbitario R como suma de elementos bloque nilpotentes siempre que todas las potencias del elemento a sean regular von Neumann:

Sea R un anillo y sea a ∈ R un elemento nilpotente no nulo de índice n tal que a^s es regular von Neumann para todo s ∈ ℕ. Entonces existe una familia de idempotentes ortogonales no nulos ${\{u_{i}\}}_{i = 1}^{k}$ de R que conmutan con a y tales que $a = \sum_{i = 1}^{k}$ u_ia donde, para cada i ∈ {1, 2,…, k}, u_ia es un elemento bloque nilpotente de índice n_i, con n = n₁ > n₂ > … > n_k, asociado al idempotente bloque u_i.

En otras palabras, este resultado nos aporta una forma canónica de Jordan del elemento nilpotente a.

5.2. Métodos utilizados

La metodología aplicada para lograr los resultados citados anteriormente podrían resumirse de la siguiente forma:

1. Para el estudio de la especialidad del álgebra de Jordan L_a, la clave está en utilizar el álgebra 5-graduada

$\hat{L} = G_{- 2} \oplus G_{- 1} / G_{- 2} \oplus G_{0} / G_{- 1} \oplus G_{1} / G_{0} \oplus G_{2} / G_{1},$

que aparece gracias a la filtración principal definida por a,

$G_{- 2} \subset G_{- 1} \subset G_{0} \subset G_{1} \subset G_{2},$

donde 𝒢₋₂ = (a)_L = [a, [a, L]] + Φ_a. 𝒢₁ = Ker_La y 𝒢₂ = L, dada en [35].

Gracias a esta filtración, obtenemos que el par de aplicaciones

$Ψ_{1} : G_{- 2} ⟶ Hom (G_{1} / G_{0}, G_{- 1} / G_{- 2})$

$Ψ_{- 1} : G_{2} / G_{1} ⟶ Hom (G_{- 1} / G_{- 2}, G_{1} / G_{0})$

definidas por Ψ₁(b) = ad_b para todo $b \in [a, [a, L]] + ϕ a, y Ψ_{- 1} (\bar{x}) = {ad}_{\bar{x}}$ para todo $\bar{x} \in L / {Ker}_{L} a$ , es un homomorfismo de pares de Jordan entre $V = (G_{- 2}, G_{2} / G_{1})$ y el par de Jordan especial

${(Hom (G_{1} / G_{0}, G_{- 1} / G_{- 2}), Hom (G_{- 1} / G_{- 2}, G_{1} / G_{0}))}^{(+)} .$

Por último, gracias a un resultado técnico, obtenemos que el núcleo de este homomorfismo entre pares de Jordan es cero si L es un álgebra de Lie fuertemente prima tal que Ker_La no sea un subálgebra de L.

2. Dado un ideal interno abeliano B, para determinar las condiciones bajo las cuales el subcociente (B, Ker_LB) es especial se sigue el mismo procedimiento, sin embargo, en este caso no disponemos de una filtración adecuada. Por ello, el primer paso es construir una filtración asociada a B, es decir, una cadena de conjuntos

$\dots \subset F_{- n} \subset F_{- n + 1} \subset \dots \subset F_{0} \subset \dots \subset F_{n - 1} \subset F_{n} \subset \dots$

donde $F_{- m} := {0} y F_{m} := L$ para todo m > n y

$\begin{aligned} F_{- n} & := B \\ ⋮ \\ F_{- k} & := {[B, {Ker}_{L} B]}^{k} + B, para k = 1, \dots, n - 1 \\ ⋮ \\ F_{0} & := {x \in L : [x, B] \subset B} \\ a⋮ \\ F_{s} & := {ad}_{[B, {Ker}_{L} B]}^{n - s - 1} ({Ker}_{L} B) + F_{0}, para s = 1, \dots, n - 1 \\ ⋮ \\ F_{n} & := L \end{aligned}$

De esta forma, se obtiene que el álgebra de Lie ℤ-graduada inducida

$\hat{L} = \underset{{\hat{L}}_{- n}}{\underset{⏟}{F_{- n}}} \oplus \dots \oplus \underset{{\hat{L}}_{n}}{\underset{⏟}{F_{n} / F_{n - 1}}}$

tiene como par de Jordan asociado al subcociente

$({\hat{L}}_{- n}, {\hat{L}}_{n}) = (B, L / {Ker}_{L} B)$

y, por tanto, el par de aplicaciones

$Ψ_{n - 1} : {\hat{L}}_{- n} \to Hom ({\hat{L}}_{n - 1}, {\hat{L}}_{- 1})$

$Ψ_{1 - n} : {\hat{L}}_{n} \to Hom ({\hat{L}}_{- 1}, {\hat{L}}_{n - 1})$

definidas por Ψ_σ(n−1)(x)(y) = ad_xy para todo $x \in {\hat{L}}_{- σ n}$ y para todo $y \in {\hat{L}}_{n - 1}, si σ = + o y \in {\hat{L}}_{- 1} si σ = -$ , es un homomorfismo de pares de Jordan entre $(B, L / {Ker}_{L} B) = ({\hat{L}}_{- n}, {\hat{L}}_{n})$ y el par de Jordan especial

${(Hom ({\hat{L}}_{n - 1}, {\hat{L}}_{- 1}), Hom ({\hat{L}}_{- 1}, {\hat{L}}_{n - 1}))}^{(+)} .$

Para poder determinar esta ℤ-filtración acotada asociada a un ideal interno abeliano B necesitamos una condición aparentemente fuerte: que exista n ∈ ℕ tal que [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B. Esta restricción termina resultando menos restrictiva de lo que parece, ya que se verifica en las álgebras de Lie mas usuales.

Por último, gracias a algunos resultados técnicos, obtenemos que el núcleo del homomorfismo entre pares de Jordan (Ψ_n−1, Ψ_1−n) es nulo si L es un álgebra de Lie fuertemente prima y Ker_LB no es un subálgebra de L.

3. Para determinar la forma canónica de Jordan del elemento nilpotente a dada en el Corolario 4.1.9, debemos construir un idempotente e de R, que conmuta con a, y tal que eRe ≌ M_n(S), donde S es un anillo unitario. Gracias a este idempotente, podemos expresar el elemento a como a = ea + (1 − e)a, siendo ea ∈ eRe ≌ M_n(S) un bloque de Jordan de tamaño n × n.

Para ello, hacemos uso de un inverso de Rus de a, esto es, un elemento b ∈ R tal que aⁿ⁻¹baⁿ⁻¹ = aⁿ⁻¹, baⁿ⁻¹b = b y ba^kb = 0 para todo k ∈ {0, 1, …, n − 2}. Dado un inverso de Rus b del elemento a, podemos construir una familia de idempotentes ${e_{i}}_{i = 1}^{n}$ de manera que $e = \sum_{i = 1}^{n} e_{i}$ .

Además, se tiene que el anillo unitario S que aparecía como anillo de escalares bajo el isomorfismo eRe ≌ M_n(S) es S = e₁Re₁.

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Parte II

Cuerpo de la Tesis

Organización y estructura

Capítulo 1

Preliminares

1.1. Nociones básicas sobre álgebras de Lie y sistemas de Jordan

1.2. Centroide extendido y clausura central

1.3. Algunos conceptos en anillos

Capítulo 2

Filtración asociada a un ideal interno abeliano

2.1. La condición [B, KerLB]n ⊂ B

2.2. Filtración asociada a un ideal interno abeliano

Capítulo 3

Especialidad de sistemas Jordan asociados a álgebras de Lie

3.1. Especialidad de las álgebras de Jordan de un álgebra de Lie

3.2. Especialidad de subcocientes de un álgebra de Lie

Capítulo 4

Una forma canónica de Jordan para elementos nilpotentes

4.1. Forma canónica de Jordan

Capítulo 5

Resultados y métodos

5.1. Resultados principales

5.2. Métodos utilizados

Bibliografía

2.1. La condición [B, Ker_LB]ⁿ ⊂ B