CAPÍTULO 2. CALOR

2.1. El calor como forma de transferencia de energía

La energía interna de un cuerpo es la que poseen sus partículas (átomos, moléculas, etc) en un sistema de referencia en que el cuerpo está en reposo. En la energía interna se incluyen la energía cinética del movimiento de las partículas del cuerpo y la energía potencial interna de las partículas (por interacciones entre sus componentes y con otras partículas).

Llamamos calor a la transferencia de energía a través de la frontera de un cuerpo debida a la diferencia de temperaturas entre el cuerpo y su entorno. Cuando calentamos un cuerpo, le transferimos energía interna poniéndolo en contacto con otro cuerpo que está a una temperatura mayor. Veremos que también se transfiere calor a un cuerpo cuando éste cambia de estado (de sólido a líquido, por ejemplo).

La energía interna de un sistema se puede cambiar mediante métodos que no implican calor. Por ejemplo, cuando se realiza un trabajo macroscópico sobre él.

El calor, como el trabajo y la energía, se mide en julios en el SI. Históricamente se utiliza también otra unidad, llamada caloría, y es tal que 1 cal = 4,187 J.

2.2. Algunos mecanismos de transferencia de energía

Vamos a explorar cómo se transfiere energía de un cuerpo a otro por medio de calor cuando están en contacto. Este proceso se llama conducción térmica. Además, estudiaremos otros procesos de transferencia que involucran frecuentemente cambios de temperatura: convección (por transferencia de materia) y radiación electromagnética.

Conducción

En la conducción térmica, la transferencia de energía se puede representar a escala microscópica como un intercambio de energía cinética entre partículas, en donde las partículas “frías” ganan energía al colisionar con las partículas “calientes”, que pierden parte de su energía en el proceso. Se necesita, pues, contacto para que haya conducción térmica.

La conducción ocurre sólo si hay una diferencia de temperatura entre dos partes del medio. Consideremos un material de longitud o espesor Δx y sección de área S, como vemos en la figura 2.1. Un extremo o cara del material se mantiene frío a una temperatura baja T₁ y el otro se mantiene caliente a una temperatura alta T₂.

La transferencia de energía interna o flujo de calor ocurre desde el extremo más caliente al extremo más frío del material. Si Q es el calor transferido de un extremo a otro en un intervalo de tiempo Δt, el flujo de calor es la rapidez P = Q/Δt con la que se transfiere (es decir, la potencia) y sigue la ley de conducción térmica de Fourier

$$P=kS\left|\frac{\text{Δ}T}{\text{Δ}x}\right|,$$

donde k es la conductividad térmica (una propiedad del material) y ΔT /Δx es el gradiente de temperatura. Los materiales que son buenos conductores térmicos tienen altos valores de k, mientras que los buenos aislantes térmicos tienen valores bajos de k. La unidad de conductividad térmica en el SI es 1J/(m·s·K).

Una de las aplicaciones de la ley de conductividad térmica es el aislamiento térmico de viviendas. En una situación genérica, la pared de una vivienda, por ejemplo, está dividida en distintas capas paralelas de igual sección pero con distintos espesores y conductividades. Usando que el flujo de calor que atraviesa cada una de las capas es el mismo, podemos escribir el flujo de calor a través la pared con N capas como

$$P=S\frac{\left|\text{Δ}T\right|}{R}, (2.1)$$

donde se define la resistencia térmica R de la pared mediante la expresión

$$R=\sum _{i=1}^N\frac{\text{Δ}{x}_i}{k_i}, (2.2)$$

es decir, se calcula sumando los valores de los cocientes Δx/k en cada capa de la pared. La unidad de R en el SI es 1 (m² · s · K)/J. En las superficies abiertas al aire, se adhiere una capa de aire estancado cuyo grosor depende de la velocidad del viento. Este efecto ha de tenerse en cuenta al calcular el valor R que se quiere conseguir, ya que la pérdida de energía interna de una casa en un día con viento fuerte es mayor que la misma en un día de viento suave.

Convección

La convección es el proceso de transferencia de energía interna por el que uno se puede calentar las manos colocándolas cerca de una llama. Las moléculas de aire cercanas a la llama adquieren energía interna, es decir, se calientan y, por la ley de los gases ideales, esta porción de aire se expande. Al expandirse, su densidad se hace menor que la del aire de alrededor y, por tanto, asciende. Mientras lo hace, llega hasta las manos que están cerca y las calienta. La energía transferida por el movimiento de una sustancia caliente se dice que ha sido transferida por convección.

Cuando este movimiento, como en el caso de la llama, ocurre por diferencias de densidad, tenemos una convección natural. Cuando la sustancia caliente es obligada a moverse por un ventilador o una bomba, como en algunos sistemas de calefacción por aire o agua caliente, el proceso se llama convección forzada. Otro ejemplo de convección ocurre cuando una habitación es calentada por un radiador. El radiador calienta el aire de las zonas más bajas de la sala. Este aire se expande y sube hacia el techo por su menor densidad. El aire frío del techo desciende hacia el suelo y así es calentado, estableciéndose lo que se conoce como corriente de convección.

Radiación

Un tercer mecanismo de transferencia de energía es la radiación, que es el único posible en el vacío. Los campos eléctricos y magnéticos son capaces de generar ondas que se propagan a la velocidad de la luz (en el vacío, esta velocidad tiene un valor muy aproximado a 3 · 10⁸ m/s), constituyendo lo que llamamos radiación electromagnética.

El espectro electromagnético está formado por las diferentes formas en que aparecen las ondas electromagnéticas, que podemos caracterizar por su frecuencia f. Una de las zonas del espectro electromagnético, la radiación infrarroja, se genera típicamente por las vibraciones de los átomos o moléculas de los cuerpos. Debido a esta característica, la radiación infrarroja es también fácilmente absorbida por la mayor parte de los materiales y se transforma en energía interna de esos materiales, ya que la absorción agita sus átomos o moléculas y aumenta su temperatura.

La mayoría de los cuerpos emiten radiación electromagnética en la zona infrarroja debido a su temperatura (esto ocurre, por ejemplo, en la emisión de un radiador o de un calefactor eléctrico). No es la única radiación capaz de aumentar la temperatura del cuerpo que la absorba y, de hecho, todas las ondas electromagnéticas pueden causar el incremento de la temperatura de un sistema, pero nos vamos a centrar en ella por ser la más común y eficiente en las aplicaciones térmicas. Veamos cómo cuantificar su emisión y su absorción.

La rapidez con la que un cuerpo que está a una cierta temperatura emite energía (potencia) viene dada por la ley de Stefan-Boltzmann,

$$P=\sigma Se{T}^4,$$

donde σ = 5,67·10⁻⁸ W/(m²·K⁴) es la constante de Stefan-Boltzmann, S es el área de la superficie del cuerpo, e es la emisividad (una cantidad adimensional entre 0 y 1 característica del cuerpo) y T es la temperatura medida en escala absoluta de la superficie del cuerpo.

Cuando un cuerpo irradia según la ley anterior, también absorbe energía. De lo contrario, perdería toda su energía interna y su temperatura llegaría al cero absoluto. La energía que un cuerpo absorbe depende de su entorno, formado por otros cuerpos que también emiten. Si un cuerpo está a una temperatura T y su entorno está a una temperatura T₀, entonces la potencia neta emitida por el cuerpo es

$$P=\sigma Se(T^4-T_0^4). (2.3)$$

Si el cuerpo está en equilibrio con su entorno, irradia y absorbe energía al mismo ritmo, de tal manera que su temperatura permanece constante. Si, por el contrario, el cuerpo está más caliente que el entorno, irradia más energía de la que absorbe, por lo que su temperatura disminuye. Un absorbente ideal es un cuerpo que absorbe todo lo que incide sobre él, por lo que su emisividad es e = 1. También es un radiador ideal de energía, y se le llama cuerpo negro. Un cuerpo para el que e = 0 es un reflector ideal y no absorbe nada de lo que incide sobre él.

Los tres mecanismos de transferencia de energía interna que hemos estudiado aparecen en un sistema de calefacción por agua caliente. En este sistema, el calor se transfiere de la caldera a los radiadores de las habitaciones por medio del agua que fluye por las tuberías (convección); se difunde luego a través del metal de los radiadores (conducción), de la superficie de éstos al aire cercano a ellos (radiación), y de este aire al resto del aire de la habitación (de nuevo, convección).

2.3. Capacidad calorífica y calor específico

La absorción/cesión de calor por un cuerpo, con independencia del mecanismo que lo ha propiciado (conducción, convección o radiación), tiene como consecuencias posibles cambios en su temperatura, volumen, presión y/o, incluso, de fase.

Vamos a centrarnos ahora en la relación que hay entre la cantidad de calor que absorbe un cuerpo y su aumento de temperatura. Se define la capacidad calorífica C de una sustancia como el calor necesario para aumentar 1°C su temperatura. Podemos escribir, para un rango de temperaturas suficientemente pequeño,

$$Q=C\text{Δ}T. (2.4)$$

cuando el cuerpo absorbe un calor Q y aumenta su temperatura ΔT. La unidad de capacidad calorífica en el SI es 1 J/K. Esta cantidad depende, para cada sustancia, del rango de temperaturas, de la presión, de la masa y, además, del proceso seguido para cambiar la temperatura (manteniendo el volumen constante, la presión constante u otros posibles).

Debido a la dependencia de C con la masa, se define el calor específico c como la capacidad calorífica por unidad de masa. De esta manera, el calor transferido a un cuerpo, de masa m y calor específico c (supuesto independiente de la temperatura), para que sufra una variación de temperatura ΔT se puede escribir

$$Q=mc\text{Δ}T.$$

El agua tiene un calor específico muy alto comparado, por ejemplo, con el aire. Esto significa que un cambio en la temperatura de cierta masa de agua requiere más calor que el mismo cambio en la misma masa de la mayoría de sustancias. Se dice por eso que el agua tiene una gran inercia térmica, lo que la hace apropiada para el almacenamiento y transporte de energía interna, por ejemplo en el sistema de calefacción de una casa (donde el agua conduce energía interna desde la caldera hasta los radiadores).

Una técnica para medir el calor específico de un cuerpo consiste en calentarlo hasta una temperatura T_c, ponerlo en un recipiente con agua a una temperatura menor T_a y esperar a que llegue el equilibrio, midiendo entonces la temperatura final Teq. Esta técnica se llama calorimetría, y los dispositivos usados se llaman calorímetros. Si el sistema formado por el cuerpo y el agua está aislado, la cantidad de energía perdida por el cuerpo debe ser igual a la ganada por el agua. Usando la ecuación Q = mcΔT, el calor transferido al agua ha sido

$$Q_a=m_a{c}_a(T_{eq}-T_a),$$

y el calor transferido al cuerpo ha sido

$$Q_c=m_c{c}_c(T_{eq}-T_c),$$

que es negativo porque el cuerpo se ha enfriado. La suma de estos dos calores ha de ser cero para que ninguna energía entre ni salga del sistema, así que se llega a

$$Q=0=m_a{c}_a(T_{eq}-T_a)+m_c{c}_c(T_{eq}-T_c),$$

y de aquí, despejando, obtenemos el calor específico del cuerpo,

$$c_c=c_a\frac{-m_a(T_{eq}-T_a)}{m_c(T_{eq}-T_c)}.$$

Para que este cálculo sea correcto, es necesario que la masa de agua sea mucho mayor que la del recipiente que la contiene. En caso contrario, el recipiente también se calienta y este efecto habrá de tenerse en cuenta.

2.4. Calor latente

En los cambios de fase sufridos por una sustancia se transfiere calor pero no hay variación de temperatura (si el proceso se hace de forma suficientemente lenta). Esto ocurre, por ejemplo, en el cambio de sólido a líquido, en el de líquido a gas, y en el cambio de estructura cristalina de un sólido. En general, en estos casos la energía potencial intermolecular de la sustancia varía en la medida en que se transfiere el calor, resultando en un cambio de energía interna sin necesidad de afectar a la temperatura del cuerpo (dado que el cambio de fase se produce a una temperatura constante).

El calor Q necesario para cambiar la fase de una sustancia pura de masa m es

$$Q=mL, (2.5)$$

donde L se denomina calor latente. El calor latente de fusión Lf es el empleado cuando el cambio de fase es de sólido a líquido. Si el cambio es de líquido a sólido (solidificación), el calor latente es el de fusión, pero con signo negativo, indicando que el sistema transfiere calor al medio. El calor latente de vaporización L_v es el que entra en juego cuando el cambio de fase es de líquido a gas. Si el cambio es de gas a líquido (condensación), el calor latente es el mismo que el de vaporización, pero con signo negativo.

Veamos el caso de un cambio de líquido a gas. Las moléculas de los líquidos están cercanas entre sí y las fuerzas entre ellas son mucho más intensas que las que hay entre las moléculas de los gases, muy alejadas unas de otras. Necesitamos realizar trabajo en el líquido contra estas fuerzas moleculares para poder separarlas. La energía por unidad de masa necesaria para lograr esta separación es el calor latente de vaporización.

Por su parte, la transferencia de energía a un sólido causa un aumento de la amplitud de vibración de las moléculas respecto a sus posiciones de equilibrio hasta que los enlaces entre moléculas se rompen y éstas se mueven a nuevas posiciones de equilibio, con menor intensidad de interacción entre ellas, características del estado líquido. La energía por unidad de masa necesaria para realizar este cambio de configuración es el calor latente de fusión.

En general, el calor latente de vaporización es mayor que el de fusión para una sustancia dada. Esto es debido a que las distancias moleculares en un gas son mucho mayores que en líquidos y sólidos. En la fusión hay que transformar enlaces se estado sólido en enlaces de estado líquido, ligeramente menos intensos. Pero en la vaporización hay que romper los enlaces de estado líquido y llegar a una situación en que las moléculas, básicamente, no estén ligadas.

2.5. Tabla resumen

2.6. Problemas resueltos

1. Tenemos dos placas de sección S = 100 cm² pegadas, siendo las temperaturas de las caras libres T₁ = 50°C y T₂ = 10°C, respectivamente. Además, los espesores y conductividades térmicas respectivas son Δx₁ = 1 mm, k₁ = 0,1 cal/(cm · s · K) y Δx₂ = 2 mm, k₂ = 0,2 cal/(cm · s · K).

a) Calcula la temperatura de la zona de contacto entre las placas.

b) Determina el flujo de energía a través de las placas.

Sol. La situación se muestra en el dibujo, en el que se ve una sección transversal de las dos placas. El flujo de calor P se dirige desde la cara libre de la primera placa, que está a temperatura T₁, hacia la cara libre de la segunda placa, a temperatura menor T₂. El empalme entre las placas tiene temperatura T.

Conviene pasar las conductividades a unidades del SI:

$$\begin{array}{rl}{k}_1& =0,1\frac{cal}{\text{cm}\cdot \text{s}\cdot \text{K}}\frac{4,187\text{J}}{1\text{ cal}}\frac{{10}^2\text{ cm}}{1\text{ m}}=41,87\text{ J}/(\text{m}\cdot \text{s}\cdot \text{K}),\\ k_2& =0,2\frac{\text{cal}}{\text{cm}\cdot \text{s}\cdot \text{K}}\frac{4,187\text{ J}}{1\text{ cal}}\frac{{10}^2\text{ cm}}{1\text{ m}}=83,74\text{ J}/(\text{m}\cdot \text{s}\cdot \text{K}).\end{array}$$

a) Para calcular la temperatura T en el empalme, usamos que no se pierde potencia al fluir la energía de la primera placa a la segunda. La potencia P₁ a través de la primera placa (con una diferencia de temperaturas T₁ − T) ha de ser, por tanto, igual a la potencia a través de la segunda placa (con una diferencia de temperaturas T − T₂). Como ambas placas tienen, además, la misma sección S, tenemos

$$P_1=P_2\Rightarrow k_{1}S\frac{T_1-T}{\text{Δ}{x}_1}=k_{2}S\frac{T-T_2}{\text{Δ}{x}_2}.$$

Observemos que la relación anterior es cierta con independencia de si las temperaturas estás expresadas en °C ó K, por lo que la siguiente ecuación también lo será. Despejando con cuidado T, se obtiene

$$(\frac{k_1}{\text{Δ}{x}_1}+\frac{k_2}{\text{Δ}{x}_2})T=\frac{k_1}{\text{Δ}{x}_1}{T}_1+\frac{k_2}{\text{Δ}{x}_2}{T}_2\Rightarrow T=\frac{\frac{k_1}{\text{Δ}{x}_1}{T}_1+\frac{k_2}{\text{Δ}{x}_2}{T}_2}{\frac{k_1}{\text{Δ}{x}_1}+\frac{k_2}{\text{Δ}{x}_2}}.$$

Usando los datos numéricos del ejercicio, llegamos a

$$T=\frac{\frac{41,87}{{10}^{-3}}50+\frac{83,74}{2\cdot {10}^{-3}}10}{\frac{41,87}{{10}^{-3}}+\frac{83,74}{2\cdot {10}^{-3}}}={30}^{\circ }\text{C}.$$

b) La potencia P a través de las placas se puede calcular sólo con la primera, sólo con la segunda o con ambas, pues P = P₁ = P₂. Usamos la primera:

$$P=k_{1}S\frac{T_1-T}{\text{Δ}{x}_1}=41,87\cdot 100\cdot {10}^{-4}\cdot \frac{50-30}{{10}^{-3}}=8374\text{ W}.$$

2. Una pared está formada por dos capas de madera, cada una de espesor 5 cm y conductividad térmica 0,15 W/(m·K), separadas por una capa de aislante de espesor 1 cm y conductividad térmica 0,05 W/(m·K). Si la pared tiene 10 cm² de área, calcula el flujo de calor (potencia) a través de la pared cuando entre los extremos de ésta hay una diferencia de temperaturas de 15 °C.

Sol. El flujo de calor viene dado por:

$$P=S\frac{\text{Δ}T}{2\frac{\text{Δ}{x}_m}{{\kappa }_m}+\frac{\text{Δ}{x}_a}{{\kappa }_a}}=10\cdot {10}^{-4}\frac{15}{2\frac{0,05}{0,15}+\frac{0,01}{0,05}}\simeq 0,0173\text{ W}.$$

3. Una cabaña tiene un tejado de dimensiones de 10 m × 8 m formado por dos capas: una de madera de pino de 3 cm de espesor y conductividad térmica de 0,2 W/(m · K) y otra de tejas de 5 mm de espesor y conductividad térmica 0,8 W/(m · K).

a) Calcula la potencia por conducción a través del tejado si la temperatura interior de la cabaña es de 15°C y la exterior es de −15°C.

b) Aislamos el tejado con una nueva capa de 1 cm de espesor y una conductividad térmica de 0,05 W/m · K. Determina qúe porcentaje de la potencia se ha reducido.

Sol.

a) Calculamos primero el valor R del tejado y, con él, el flujo de calor:

$$\begin{array}{c}R=\frac{\text{Δ}{x}_m}{k_m}+\frac{\text{Δ}{x}_a}{k_a}=\frac{3\cdot {10}^{-2}}{0,2}+\frac{5\cdot {10}^{-3}}{0,8}\simeq 0,156({\text{m}}^2\cdot \text{s}\cdot \text{K})/\text{J}.\\ P=S\frac{\text{Δ}T}{R}\simeq 10\cdot 8\cdot \frac{15-(-15)}{0,156}\simeq 15400\text{W}.\end{array}$$

b) Cuando se coloca el aislamiento, los nuevos valores son

$$\begin{array}{c}{R}^{\prime }=\frac{\text{Δ}{x}_m}{k_m}+\frac{\text{Δ}{x}_a}{k_a}+\frac{\text{Δ}{x}_{ais}}{k_{\text{ais }}}=\frac{3\cdot {10}^{-2}}{0,2}+\frac{5\cdot {10}^{-3}}{0,8}+\frac{1\cdot {10}^{-2}}{0,05}\simeq 0,356\left({\text{m}}^2\cdot \text{s}\cdot \text{K}\right)/J.\\ P^{\prime }=S\frac{\text{Δ}T}{R^{\prime }}\simeq 10\cdot 8\cdot \frac{15-(-15)}{0,356}\simeq 6740\text{ W}.\end{array}$$

El flujo de calor se ha reducido en aproximadamente

$$\frac{15400-6740}{15400}=0,562(\text{ es decir, un }56,2\%).$$

4. La pared del salón de una vivienda tiene una ventana en su parte central. La pared tiene 4 m de altura y 6 m de anchura, mientras que la ventana mide 1,5 m de altura y 2 m de anchura. La pared está hecha de una capa de ladrillo (0,63 W/(m · K) de conductividad térmica y 30cm de espesor) y otra de fibra de vidrio (0,042 W/(m · K); 3 cm). El espesor del vidrio de la ventana es de 2 cm y su conductividad térmica 1,1 W/(m · K). Teniendo en cuenta que la temperatura interior de la vivienda es de 22°C y la exterior es de −5°C, calcula el flujo de calor a través de la ventana (sin incluir el resto de la pared), el flujo de calor a través del resto de la pared (sin incluir la ventana) y el flujo de calor total hacia el exterior.

Sol. La ventana sólo tiene una capa de vidrio, de modo que el flujo de calor a través de ella es

$$P_v=k_v{S}_v\frac{\text{Δ}T}{\text{Δ}{x}_v}=1,1\cdot (1,5\cdot 2)\cdot \frac{22-(-5)}{0,02}=4455\text{ W}.$$

El resto de la pared tiene una capa de ladrillo y otra de aislante. Su R es

$$R=\frac{\text{Δ}{x}_{\text{lad}}}{k_{\text{lad}}}+\frac{\text{Δ}{x}_{\text{ais}}}{k_{\text{ais}}}=\frac{0,3}{0,63}+\frac{0,03}{0,042}\simeq 1,19({\text{m}}^2\cdot \text{K})/\text{W}.$$

El flujo de calor a través de esta parte de la pared es

$$P_r=S_r\frac{\text{Δ}T}{R}\simeq (4\cdot 6-1,5\cdot 2)\cdot \frac{22-(-5)}{1,19}\simeq 476\text{ W}.$$

El flujo de calor P a través de toda la pared es la suma de los dos anteriores

$$P=P_v+P_r\simeq 4455+476=4931\text{ W}.$$

5. Una cabaña cúbica, de 5 m de lado, consta de cuatro paredes, un tejado y un suelo, todos de madera. La madera, de conductividad térmica 0,15 W/(m·K), tiene un espesor de 20 cm. Teniendo en cuenta que el exterior de la cabaña está a −10°C y el interior a 20°C, calcula el espesor de un revestimiento de conductividad térmica 0,05 W/(m·K) si queremos reducir la potencia que sale de la cabaña a la mitad.

Sol. Calculemos primero la potencia P₀ sin revestimiento:

$$P_0={\kappa }_{0}S\left|\frac{\text{Δ}T}{\text{Δ}{x}_0}\right|,$$

donde S = 25 × 6 m² es la superficie total, κ₀ es la conductividad de la madera, ΔT = 30°C y Δx₀ = 20 cm. La potencia con revestimiento resulta

$$P=S\left|\frac{\text{Δ}T}{R}\right|,R=\frac{\text{Δ}{x}_0}{{\kappa }_0}+\frac{\text{Δ}x}{\kappa },$$

donde Δx y κ son el espesor y conductividad térmica del revestimiento, respectivamente. Como nos dicen que

$$P=\frac{1}{2}{P}_0,$$

tenemos la siguiente ecuación para Δx:

$$S\frac{\text{Δ}T}{\frac{\text{Δ}{x}_0}{{\kappa }_0}+\frac{\text{Δ}x}{\kappa }}=\frac{1}{2}{\kappa }_{0}S\frac{\text{Δ}T}{\text{Δ}{x}_0}\Rightarrow \text{Δ}x=\frac{\text{Δ}{x}_0}{{\kappa }_0}\kappa =\frac{20}{0,15}0,05\simeq 6,67\text{ cm}.$$

!El resultado es independiente de S y ΔT!

6. Estima la energía que pierde una persona por radiación en cinco minutos. Para ello, supón que tiene 2 m² de piel a 36°C con una emisividad de 0,9 y que su entorno está a 25°C.

Sol. Usamos la ley de Stefan-Boltzmann, la potencia neta emitida es

$$\begin{array}{rl}P& =\sigma Se(T^4-T_0^4)\\ & =5,67\cdot {10}^{-8}\cdot 2\cdot 0,9\cdot \left[\right(273,15+36{)}^4-(273,15+25{)}^4]\simeq 126\text{ W}.\end{array}$$

La pérdida de energía en 5 minutos es

$$P=\frac{E}{t}\Rightarrow E=Pt\simeq 126\cdot 5\cdot 60\simeq 3,77\times {10}^4\text{J}.$$

7. Calcula la temperatura del filamento de una bombilla sabiendo que emite 4W de luz, tiene una superficie de 0,5 mm² y una emisividad de 0,96.

Sol. A partir de la ley de Stefan-Boltzmann,

$$\begin{array}{rl}P=\sigma Se{T}^4\Rightarrow T& ={\left(\frac{P}{\sigma Se}\right)}^{1/4}={\left(\frac{4}{5,67\cdot {10}^{-8}\cdot 0,5\cdot {10}^{-6}\cdot 0,96}\right)}^{1/4}\\ & \simeq 3480\text{ K}.\end{array}$$

El filamento de una bombilla debe tener un punto de fusión suficientemente alto, como por ejemplo el del tungsteno que es de 3683 K.

8. El agua de un recipiente absorbe 5 · 10⁹ J de energía. Teniendo en cuenta que la densidad del agua es de 10³ kg/m³, su calor específico es 4187 J/(kg · K) y su coeficiente de dilatación volumétrica es 207 · 10⁻⁶ K⁻¹, calcula el aumento de volumen del agua.

Sol. El cambio en la temperatura del agua se puede obtener a partir del calor que absorbe:

$$Q=mc\text{Δ}T\Rightarrow \text{Δ}T=\frac{Q}{mc}=\frac{Q}{\rho V_{0}c}.$$

En la última ecuación, se ha usado que ρ = m/V₀, donde V₀ es el volumen inicial de agua. El cambio de volumen del agua, por la ley de dilatación térmica, es

$$\text{Δ}V=V_0\beta \text{Δ}T=V_0\beta \frac{Q}{\rho V_{0}c}=\frac{Q\beta }{\rho c}=\frac{5\cdot {10}^9\cdot 207\cdot {10}^{-6}}{1000\cdot 4187}\simeq 0,247{\text{m}}^3.$$

9. Introducimos 100 g de metal a 100 °C en 250 g de agua a 5 °C. Teniendo en cuenta que el calor específico del agua es 4187 J/(kg · K) y que la temperatura final del agua y el metal es de 20 °C, calcula el calor específico del metal.

Sol. Consideramos que agua y metal están aislados del exterior. Por tanto, si T_a es la temperatura inicial del agua, T_m es la temperatura inicial del metal y T es la temperatura final de ambos, tendremos

$$Q=0=m_a{c}_a(T-T_a)+m_m{c}_m(T-T_m)$$

Despejando el calor específico del metal,

$$c_m=\frac{-m_a{c}_a(T-T_a)}{m_m(T-T_m)}=\frac{-0,25\cdot 4187\cdot (20-5)}{0,1\cdot (20-100)}\simeq 1960\text{ J}/(\text{kg}\cdot \text{K}).$$

10. Echamos cierta cantidad de hielo a 0 ° C en 1 ℓ de agua a 90 °C. La mezcla, que permanece aislada del exterior, alcanza una temperatura de equilibrio de 50 °C. Teniendo en cuenta que la densidad del agua es de 10³ kg/m³, el calor específico del agua es 4187 J/(kg · K) y el calor latente de fusión del hielo es 3,3 × 10⁵ J/kg, calcula la masa de hielo.

Sol. Inicialmente, tenemos una masa de agua m_a = ρ_aV_a = 10³ kg. Dado que no se transfiere calor al exterior,

$$Q=0=m_a{c}_a(T-T_a)+m_h{c}_a(T-T_h)+m_h{L}_f.$$

Nótese que toda la masa de hielo m_h se transforma en agua a una temperatura T_h = 0 °C, de manera que el aumento de temperatura de esta masa se produce con el calor específico del agua, como hemos escrito. Despejando la masa de hielo,

$$m_h=\frac{-m_a{c}_a(T-T_a)}{c_a(T-T_h)+L_f}=\frac{-1\cdot 4187\cdot (50-90)}{4187\cdot (50-0)+3,3\cdot {10}^5}\simeq 0,311\text{ kg}.$$