Supongamos que tenemos dos cargas eléctricas
donde
La constante
Se define el campo eléctrico en un punto del espacio como la fuerza neta ejercida sobre una carga testigo positiva
La unidad de campo eléctrico es el N·C−1 o el V·m−1.
El flujo eléctrico
donde
Para el caso de una superficie cerrada, se considerará el convenio de tomar el vector normal a la superficie,
Aplicando la
Campo eléctrico generado por un hilo infinito de densidad de carga
Veremos otros ejemplos de distribuciones en los ejercicios.
En este capítulo únicamente se van a considerar conductores en equilibrio electrostático, es decir, conductores en los cuales las cargas permanecen en “reposo”. Esto nos va permitir considerar las siguientes afirmaciones:
El campo eléctrico en el interior de un conductor es nulo (
La carga eléctrica neta sobre un conductor reside en la superficie de dicho conductor.
Tenemos dos cargas
¿En qué punto o puntos (si procede) se anula el campo eléctrico?
Calcular el campo en el punto (0, 1) m.
Supongamos que el punto que estamos buscando tiene por coordenadas (
Una simple observación de las líneas de campo a lo largo del eje
En este caso tenemos |
Simplificando la ecuación anterior llegamos a
Lo que nos lleva a una ecuación de segundo orden:
cuyos coeficientes son:
La única solución admisible de este polinomio es
Otra forma de resolver este problema sería empezando por el dibujo de las líneas de campo que hemos presentado anteriormente. El análisis de esta figura, nos ha permitido deducir que la única región en la que se puede anular el campo eléctrico es entre ambas cargas, puesto que las líneas de campo llevan sentido opuesto. Partiendo de esto, podemos obtener el punto que estamos buscando simplemente exigiendo que los módulos de ambos campos sean iguales. Por lo tanto:
El desarrollo de esta ecuación nos vuelve a llevar a un polinomio de orden dos,
Como en este caso
Las distancias entre las cargas y el punto donde queremos calcular el campo total se obtienen mediante el teorema de Pitágoras.
El campo generado por la carga
El campo generado por la carga
Una vez que tenemos los campos
Dos esferas de masa
Las fuerzas que intervienen en este problema son, el peso de cada esfera, la fuerza eléctrica que actuá sobre cada esfera debido al campo que genera el plano, las fuerzas que se ejercen mutuamente las dos esferas y la tensión del hilo que mantiene a las esferas en contacto con el plano. En el siguiente esquema se ha representado las fuerzas que actuarían sobre la carga de la derecha de la figura del problema.
Puesto que el sistema está en equilibrio debe cumplirse
Teniendo en cuenta que el parámetro d es la distancia entre ambas cargas, obtenemos
Usando la primera ecuación calculamos el valor de la tensión:
Despejamos la longitud
Disponemos de un plano infinito vertical cargado con una densidad de carga
Datos:
Para obtener un ángulo
Usando la condición de equilibrio entre las fuerzas, la tensión
Si ahora descomponemos la tensión
Despejamos:
Dividiendo una ecuación por la otra desaparece la tensión
Podemos despejar la relación carga masa para formar un ángulo de 45°:
Una esfera de superficie S situada en el vacío contiene tres cargas eléctricas
La solución consiste en aplicar directamente la definición de la ley de Gauss a la superficie S: El flujo del campo eléctrico es simplemente la suma de las cargas contenidas en la esfera dividido por la constante
Un plano indefinido con densidad de carga
Para solucionar el problema aplicaremos el principio de superposición. Por un lado calcularemos mediante la
El campo generado por el plano en el punto
Se trata de un campo uniforme cuyo sentido dependerá del signo de
El campo generado por el hilo conductor a una distancia de 1 m del hilo es:
y su dirección es perpendicular al campo generado por el plano.
El campo total es la suma de estos dos campos:
Tenemos dos planos indefinidos situados en un sistema de coordenadas (
Calcular la expresión del campo eléctrico en el plano (
Para obtener el campo en cualquier punto del plano (
Un hilo infinito cargado con una densidad
Calcular el campo eléctrico generado por el cable en dicho punto.
Calcular la fuerza eléctrica que actuá sobre
siendo
El punto (0, 1, 2) m se encuentra a una distancia
Con estos datos, el campo se expresa como:
Se situá un electrón (
Calcule el valor de la densidad de carga
Si se repite el experimento con una carga positiva de valor
Datos: g = 9,8 m·s−2,
Para calcular su valor, simplemente debemos aplicar la segunda ley de Newton. En este caso, al conocer el sentido de ambas fuerzas, únicamente debemos exigir que ambos módulos sean iguales, es decir, utilizaremos el valor absoluto de la carga del electrón. El balance de fuerzas
nos lleva a
y despejamos
Dado un cilindro macizo, infinito y conductor de radio
El campo alrededor del cilindro macizo depende de la distancia al eje
Para
Para
Un plano infinito se extiende sobre el plano (
Tenemos dos planos paralelos con cargas diferentes. Para poder calcular el campo en los puntos A, B y C tenemos que descomponer el espacio en tres zonas: para
En cada una de estas zonas tenemos que aplicar el principio de superposición sabiendo que cada plano tiene el siguiente campo eléctrico:
El campo del plano situado en
Podemos ahora expresar el campo en los tres puntos sin dificultad teniendo cuidado en conservar los signos de las densidades de carga
para
para 0 <
para
Consideramos un plano infinito cargado con una densidad de carga superficial
El plano produce un campo eléctrico perpendicular a él mismo, en este caso como la partícula está situada por encima del plano, el campo eléctrico en el punto donde está situada la partícula llevará sentido
Una vez en equilibrio, la carga está sometida a la fuerza generada por el campo eléctrico, Fe, a la fuerza de la gravedad, Fg, y a la fuerza recuperadora del muelle, Fm, de tal modo que la fuerza neta es nula:
La elongación del muelle es entonces:
Un cable infinito con densidad de carga uniforme
(0,1,0) m.
(1,0,1) m.
Observe el lector que en el esquema del problema el sistema de referencia se ha tomado de tal manera que el sentido positivo del eje y está orientado hacia dentro del papel.
El campo eléctrico generado por el cable 1 en el punto
con
En el punto
siendo
Analizamos ahora el campo creado por el segundo cable dispuesto a lo largo del eje
con
Terminamos el cálculo sumando las dos contribuciones en cada punto:
Dos planos infinitos, cargados homogéneamente con densidades superficiales de carga
Para proceder a la resolución del problema supondremos que ambos planos infinitos están situados de forma paralela al plano
También deberemos suponer la posición relativa de ambos planos, en este caso consideraremos que el plano 1 está situado en
Una vez que tenemos planteado el problema, procederemos a su resolución. Para ello deberemos dividir el espacio en tres regiones:
0 <
Se situá un cable infinito a lo largo del eje
Si nos fijamos en los datos del problema, el punto A se encuentra en la región del espacio que hay entre el cable y el cilindro, por lo que para calcular el campo eléctrico en este punto únicamente deberemos tener en cuenta el campo generado por el cable (el campo generado por un cilindro hueco en su interior es nulo). Por el contrario, el punto B es un punto exterior al cilindro, y por lo tanto el campo eléctrico será el resultante de la suma de los campos generados por ambas distribuciones.
Como la densidad de carga del cable es negativa, el campo tendrá dirección radial, pero sentido hacia el propio cable:
Lo primero que vamos a hacer para obtener el campo en el punto B es calcular el campo generado por el cilindro (en el apartado anterior ya hemos obtenido la expresión general del campo generado por el cable) para un punto externo al propio cilindro. Una vez obtenida la expresión general, particularizaremos en el punto B.
Procederemos de forma similar al caso anterior, es decir, tomaremos como superficie gaussiana un cilindro de longitud
En este caso la carga es positiva y por lo tanto el sentido del campo eléctrico es radial hacia afuera:
Finalmente procedemos a la suma vectorial de ambos campos en el punto B:
Tenemos dos hilos muy largos, paralelos y separados por una distancia
Calcular la expresión del campo eléctrico en el punto
Una caja cilíndrica con su eje coincidiendo con el eje
Un péndulo eléctrico está constituido por una esfera metálica de masa
Calcule la intensidad del campo eléctrico.
Halle el valor de la constante
Ayuda: Período del péndulo sometido a una aceleración vertical
por lo tanto, el tiempo
En el segundo experimento, la fuerza eléctrica empuja hacia arriba el péndulo. Por lo tanto, la aceleración que este experimenta será:
Como consecuencia, el tiempo
Con ambas medidas del tiempo podemos hallar el campo y la constante
Despejando las dos ecuaciones anteriores tenemos los datos buscados y la respuesta del apartado
Una carcasa metálica neutra de radio interior
¿Cuál es la densidad de carga en la superficie interior y exterior de la carcasa metálica?
Hallar el campo eléctrico a lo largo del semieje
Esto implica que si tomamos una superficie gaussiana de radio
Para calcular la densidad de carga en la superficie externa,
5 cm ≤
10 cm ≤
Finalmente podemos representar gráficamente la evolución del módulo del campo eléctrico en función de
Una carga puntual
Es conveniente dividir el problema en tres regiones dependiendo de la distancia
0 <
Teniendo en cuenta que la dirección del campo es radial y que
Finalmente, el campo total será la suma de ambos campos:
Consideramos una corteza esférica (no conductora) de radio
Calcular la densidad de carga en la superficie interna y externa de la carcasa conductora.
Calcular el campo eléctrico en función de la distancia al centro del dispositivo.
La carga repartida sobre la cara interior de la carcasa esférica debe anular la carga de la corteza, es decir:
siendo
Para calcular la densidad de carga en la superficie externa de la carcasa deberemos tener en cuenta que la carcasa metálica es neutra, y por lo tanto la suma de las cargas acumuladas en las superficies externa e interna deben anularse:
A su vez podemos expresar la densidad de carga de la superficie externa de la carcasa,
0 ≤
Tenemos un cilindro macizo de base S y altura h. Depositamos en su interior una carga
Calcular el flujo del campo sobre las paredes del cilindro.
Añadimos un campo externo uniforme
Calcule de nuevo el flujo sobre las paredes del cilindro.
Disponemos de dos semiaros con densidad de carga
El campo eléctrico se obtiene sumando vectorialmente los campos eléctricos generados por cada uno de los semiaros. Procedemos a calcular el campo eléctrico que genera el semiaro situado en el plano
El campo generado por un elemento diferencial de longitud del semiaro (
Una vez conocido
Para resolver esta integral, lo primero que hacemos es descomponer el campo eléctrico en sus componentes
Integrando para todos los elementos obtenemos el campo:
La componente según el eje
Integrando para todos los elementos obtenemos el campo:
Por lo tanto el campo generado por este semiaro en el origen es:
Procediendo de forma análoga, el campo generado por el otro semiaro tendrá la misma magnitud pero con una orientación diferente:
El campo total es la suma de ambos:
Disponemos de un semiaro de radio
Calcular el campo eléctrico en el origen.
Ayuda: fíjense que la distribución de carga es simétrica con respecto al eje
El campo eléctrico se puede calcular fácilmente con la observación de la simetría con respecto al eje
Es la resultante de la proyección sobre el eje
siendo la integral
La fuerza eléctrica es una fuerza conservativa y por lo tanto debe existir una función energía potencial
Si se considera que la fuerza ejercida por un campo eléctrico sobre una carga
Aplicando la ecuación anterior a la carga testigo
Para un desplazamiento finito desde el punto
medido en Voltios.
Aplicando la
donde
Si la distribución de carga es infinita nos impide considerar que el potencial en el infinito es cero y deberemos asignar un valor arbitrario a un punto cualquiera del espacio.
donde el operador
Sean dos cargas
Si tenemos una distribución de varias cargas puntuales la energía potencial total será:
donde
El trabajo realizado por el campo eléctrico cuando una partícula de carga
El electrónvoltio es el trabajo necesario para mover a un electrón de un punto con potencial de 0 V a un punto con potencial de 1 V. Calcular el trabajo en Julios.
Se dispone de dos cargas
Calcular el campo eléctrico en cualquier punto del eje
Consideramos ahora
Calcular el trabajo necesario para mover una carga de 1 nC del punto (2, 0) cm hasta el punto (0, 0) cm.
con el vector unitario:
con el vector unitario:
El campo generado en cualquier punto del eje es:
Podemos presentar el resultado con su descomposición en cada eje:
El hecho de que el trabajo realizado por el campo eléctrico sea negativo nos indica que la partícula no realizará este movimiento de forma espontánea y que tendremos que ser nosotros, desde el exterior, los que aportemos esa energía. Por lo tanto, el trabajo necesario será el opuesto del trabajo realizado por el campo eléctrico:
Se disponen 3 cargas de valor
Calcular la fuerza eléctrica que actuá sobre
La energía almacenada por el sistema de cargas.
Los vectores unitarios de la figura anterior se descomponen usando el ángulo que forman con la horizontal:
Calculamos ahora la energía electrostática del sistema:
Cinco cargas negativas idénticas de valor −10
Calcule el campo eléctrico generado por esta distribución de carga en el centro del semicírculo.
A continuación, las cargas 2 y 4 (ver figura) cambian de signo y modifican su posición a lo largo del borde del semicírculo, de modo que el campo eléctrico en el centro del semicírculo pasa a ser nulo. Obtenga:
La nueva posición de ambas partículas.
El trabajo realizado por el campo eléctrico para traer un electrón desde el infinito hasta el centro del semicírculo.
Una vez que tenemos el esquema del problema, procedemos a realizar la suma vectorial de los campos eléctricos. Para ello nos aprovecharemos del esquema realizado y al conocer el sentido de cada campo podremos trabajar con el módulo de la carga.
Podemos ver inmediatamente que el campo resultante de las cargas 1 y 5 es nulo. Otra hipótesis razonable de cara al cálculo es asumir que la distribución se mantiene simétrica con respecto al eje
Siendo
El campo de la carga 3 en el centro del círculo es:
la solución siendo:
El trabajo realizado por el campo eléctrico para traer el electrón desde el infinito hasta este punto vendrá dado por:
En tres vértices de un cuadrado de 1 m de lado se situán cargas de 10
El campo eléctrico en el cuarto vértice y la fuerza que experimentará un electrón cuando lo situemos en dicho vértice.
El trabajo que realizará el campo eléctrico para llevar el electrón desde este vértice hasta el centro del cuadrado en presencia de las otras tres. ¿Será espontáneo el movimiento?
siendo
El campo total se obtiene mediante la suma vectorial de los campos anteriores:
La fuerza que se ejerce sobre un electrón en este punto es
Calcular el potencial eléctrico en el centro del cuadrado es aún más sencillo, puesto que la distancia entre las cargas y el centro es la misma para todas ellas
Teniendo en cuenta que
Como el trabajo realizado por el campo eléctrico tiene signo positivo nos indica que el movimiento del electrón habrá sido espontáneo.
Dada la configuración espacial de cargas que se presenta en la siguiente figura. Razone las siguientes afirmaciones:
El campo eléctrico en el punto (0,0) es nulo.
El potencial eléctrico en el punto (0,0) es nulo.
Si introducimos un electrón en el punto (0,0) la fuerza que actuará sobre él llevará sentido
Para resolver las cuestiones
Una partícula con carga
Una forma de resolver este problema es aplicando conceptos energéticos. De este modo, si aplicamos el teorema de la energía cinética o teorema de las fuerzas vivas obtenemos:
Al ser un campo uniforme podemos calcular el trabajo:
Siendo
Como el enunciado nos dice que consideremos
Otra forma de resolver este problema utilizando conceptos energéticos sería aplicar el teorema de conservación de la energía:
En este caso la relación entre ΔV y E es muy sencilla:
Sustituyendo su expresión en la ecuación anterior:
que nos lleva a la solución obtenida anteriormente.
Finalmente, también podríamos haber aplicado conceptos de cinemática. Al entrar en la región donde hay campo eléctrico este genera sobre la partícula una aceleración que la frena:
Teniendo en cuenta esta aceleración, podemos calcular el tiempo que tardará la partícula en detenerse:
Con este tiempo y la ecuación del movimiento uniformemente acelerado podemos calcular el espacio recorrido por la partícula hasta detenerse:
Encontramos la misma solución.
Tenemos tres cargas puntuales
El valor de
El trabajo realizado por el campo eléctrico para pasar una carga de 1 nC desde el origen de coordenadas hasta el punto (−6,0).
En este tipo de problemas la realización de un esquema en el que situemos las cargas en sus posiciones y dibujemos el campo eléctrico que genera cada una de las cargas en los puntos que se nos indique el enunciado, nos facilitará tanto la solución como la comprensión del problema.
En este caso hemos dibujado los campos generados por las cargas
Una vez que tenemos el valor de
Para calcular el campo eléctrico total deberemos realizar la suma vectorial de los tres campos. Mediante el esquema podemos deducir que el vector unitario de
El trabajo del campo eléctrico sobre la carga de 1 nC entre el origen y ese punto es:
Se disponen 3 cargas puntuales situadas en el plano
Calcule el potencial en el centro del triángulo equilátero formado por las tres cargas (punto A), y en el punto medio de la base del triángulo (punto B).
En el punto B el cálculo del potencial es también inmediato, solo necesitamos calcular la altura h del triángulo:
Se dispone un plano infinito situado en el plano (
En este problema tenemos una simetría del campo eléctrico con respecto al plano. Los campos eléctricos a un lado y otro del plano, tienen el mismo módulo pero sentidos opuestos. Una consecuencia de este hecho, es que si realizamos un trabajo para acercar la partícula hasta el plano desde el punto (0,0,−1), tendremos el trabajo opuesto al mover la partícula desde el plano hasta el punto (0,0,1). Sumando las dos partes obtenemos un trabajo globalmente nulo al mover la partícula de un punto al otro por este juego de simetría.
Una carga puntual de valor
¿Cuál es el trabajo realizado sobre la carga?
¿Cuánto vale el flujo del campo eléctrico a través de una esfera de radio
Sin embargo, en este caso, el campo en el interior de la corteza es nulo (simplemente hay que aplicar la Ley de Gauss tomando una superficie gaussiana esférica de centro el centro de la esfera y comprobar que
Disponemos de una partícula de carga
¿A ú distancia del plano la partícula habrá adquirido una energía cinética de 100 mJ?
¿Cuál es la velocidad en este punto concreto?
En este caso, como la carga de la partícula es positiva y la densidad de carga del plano es negativa, el campo eléctrico ejercerá una fuerza de atracción sobre la partícula, independientemente de si la partícula se encuentra por encima o por debajo del plano.
Como la única fuerza que está actuando es la fuerza eléctrica, la energía adquirida por la partícula se corresponderá con el trabajo realizado por la fuerza eléctrica durante la distancia
Despejando la distancia, obtenemos
Un plano infinito vertical, (
Calcular las fuerzas que actuán sobre el objeto y el módulo de cada una de ellas.
Determinar el tipo de movimiento del objeto y calcular su aceleración si la tuviera.
Datos:
Por otro lado, el objeto tiene una masa
y por lo tanto el objeto describirá un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
Dado un cilindro macizo, infinito y conductor de radio
En este problema se asume la expresión del campo eléctrico
Para calcular el potencial eléctrico deberemos tener en cuenta las dos regiones en las que queda dividido el espacio.
para
visto en el capítulo anterior.
para
Si representamos gráficamente la función potencial obtenemos:
Hallar el campo eléctrico asociado a las siguientes funciones potencial eléctrico:
Para hallar el campo eléctrico asociado a la función potencial eléctrico deberemos calcular menos el gradiente de la correspondiente función potencial.
De este modo obtenemos:
Disponemos de dos semiaros con densidad de carga
Para resolver el problema debemos tratar los dos semiaros por separado. Primero consideramos el semiaro situado en el plano
La contribución del otro semiaro es idéntica siendo el potencial total:
Una esfera conductora de radio
Movemos la carga de
Alejamos la carga de
Damos una vuelta completa a la esfera con la carga.
El trabajo realizado por el campo eléctrico para alejar la carga a un metro de la esfera es:
Conviene aquí hacer un comentario acerca de la distribución de carga sobre la esfera conductora. Hemos asumido que las cargas de la esfera no se mueven al acercar una carga
Otra forma de justificar este resultado sería teniendo en cuenta que la fuerza eléctrica es conservativa, por lo tanto si salimos de un punto y volvemos al mismo la diferencia de potencial es nula y también el trabajo del campo.
Se disponen dos planos infinitos paralelos de densidades
¿Cuál es el valor y dirección del campo entre las placas?
Calcular el trabajo del campo eléctrico para mover
Calcular el trabajo del campo eléctrico para mover
Deducir la diferencia de potencial entre A y C.
La integral correspondiente al último tramo
También se podría calcular haciendo uso de la relación entre trabajo y energía potencial, de este modo:
Dos esferas de masas
Al no considerarse fuerzas de rozamiento en el problema podemos aplicar el principio de conservación de la energía mecánica. En un estado inicial tenemos un balance de energía cinética
Al final del proceso tenemos las siguientes energías:
Tenemos la conservación de la energía mecánica que permite establecer una relación entre las velocidades finales
Sustituimos las expresiones de las energías y operando llegamos a la siguiente expresión:
La otra ecuación necesaria involucra la conservación del momento lineal del sistema
Siendo las velocidades iniciales
obtenemos el sistema de ecuaciones siguientes:
La resolución de este sistema de ecuaciones nos da como solución:
siendo
Representamos la función potencial
Para resolver este problema lo más sencillo es recordar que el campo eléctrico siempre se dirige de potenciales altos a potenciales bajos, con esto en mente, analizaremos los dos potenciales que nos proponen.
Observe el alumno que en todo momento hemos despreciado el efecto radiativo que se produce cuando una carga se desplaza y que hace que la energía de la partícula disminuya en el tiempo. Este efecto está muy alejado de los conocimientos de un alumno de cursos básicos de física, por lo que no entramos en profundidad en este problema conceptual y simplemente hacemos una descripción generalista.
Una esfera metálica aislada de radio 10 cm se carga a un potencial de 1000 V. Se toca la esfera con otra, también aislada de 2 cm de diámetro que a continuación se descarga. Se repite la operación 5 veces.
La carga de la primera esfera antes de ser tocada.
La carga de dicha esfera después de la quinta operación una vez que el sistema alcanza el equilibrio electrostático.
Despejamos
Además, por el hecho de estar en contacto, ambos conductores pasarán a tener el mismo potencial (si no lo estuviesen, habría una diferencia de potencial entre ambos conductores y por lo tanto un campo eléctrico que haría que las cargas no estuviesen en equilibrio electrostático)
La carga
Factorizamos
En cada iteración se retira siempre la misma proporción de carga de la esfera 1 de modo que al cabo de cinco iteraciones la carga remanente en la esfera será:
Se dispone de un aparato para desviar iones mediante campos eléctricos. En una primera sección los iones, inicialmente en reposo, son acelerados mediante un campo eléctrico horizontal generado entre dos electrodos con una diferencia de potencial Δ
El problema consiste en determinar las diferencias de potencial adecuadas para tener una desviación vertical en la pantalla de altura
La velocidad
El campo eléctrico entre las placas horizontales en función de la diferencia de potencial Δ
Sabiendo que la longitud de las placas es
La desviación vertical
Si suponemos una diferencia de potencial Δ
En este caso la diferencia de potencial Δ
lo cual nos proporciona:
La orientación del campo depende de qué placa tenga el mayor potencial pues el campo eléctrico siempre va de potencial mayor a menor.
La velocidad inicial
En la figura observamos que en este caso la desviación de la partícula es hacia arriba (
A la salida de la región donde hay campo, el vector velocidad vendrá dado por:
con una aceleración
El tiempo
Para calcular el ángulo que forma el vector velocidad de salida
El ángulo se puede obtener aplicando trigonometría al triángulo formado por el vector velocidad y sus componentes
Si sustituimos la velocidad inicial
Con esta fórmula hemos demostrado que la altura
e) Calculamos Δ
Un cascarón esférico tiene radio interno
Para calcular el campo eléctrico en cualquier punto vamos a aprovechar la simetría esférica del problema y aplicar el teorema de Gauss. En este caso el campo eléctrico es radial y tiene valor constante
Los tres casos importantes son:
para
para
De este modo la Ley de Gauss nos queda de la siguiente manera,
Usando la simetría esférica del campo eléctrico podemos hallar el resultado de la integral:
Combinando ambos resultados y obtenemos:
para
Usando de nuevo la simetría del campo eléctrico podemos hallar:
En este problema podemos usar el convenio del valor de potencial eléctrico nulo en el infinito:
De nuevo dividimos el espacio en varias partes:
el potencial eléctrico vendrá dado por:
para
Despejamos el potencial
Donde el valor de
para
Tenemos una corteza esférica conductora de radio interno
Una vez alcanzado el equilibrio electrostático y sabiendo que el campo eléctrico en
Los valores de las cargas
El potencial eléctrico en
El trabajo realizado por el campo eléctrico para pasar una carga
Despejamos la carga eléctrica
El dato del potencial eléctrico nos permite hallar la carga de la corteza metálica, ya que dada la simetría del problema podemos considerar que ese potencial es similar al que se generaría considerando ambas cargas como puntuales y situadas en el centro de la corteza esférica. De este modo, para todos los puntos externos a la corteza esférica (
Considerando el valor numérico que nos proporciona el enunciado y despejando la carga
La diferencia de potencial entre un punto a una distancia
Despejando
Sustituimos para
El trabajo buscado es por tanto:
Como el trabajo es positivo, el movimiento de la carga será espontáneo.
Un plano infinito se extiende sobre el plano
El cálculo de la diferencia de potencial entre dos puntos de coordenadas
Una vez obtenido el campo eléctrico, aplicamos la propia definición de diferencia de potencial entre dos puntos:
Una carcasa metálica neutra de radio interior
Para calcular el potencial para cualquier punto del eje
Calculamos la carga total de la esfera
10 cm ≤
Para calcular su valor numérico simplemente debemos exigir la continuidad del potencial, es decir, en esta región del espacio el potencial eléctrico toma el mismo valor que en el límite exterior de la carcasa
5 cm ≤
En este caso, y por cambiar el procedimiento seguido en otros ejercicios anteriores, aplicaremos el segundo método. Así, y teniendo en cuenta que el campo eléctrico es el generado por la corteza esférica cuya carga total hemos calculado anteriormente, la integración indefinida que tenemos es:
Para calcular el valor de la constante de integración,
Una vez calculada la constante de integración
Como resumen podemos representar gráficamente el potencial de modo que podamos ver cómo evoluciona en función de
Consideramos dos cilindros coaxiales huecos muy largos y de radios
El campo eléctrico en función de la distancia al eje para todo el espacio.
La diferencia de potencial entre los dos cilindros en función de la densidad de carga.
Tal y como se ha comentado en ejercicios anteriores, el campo eléctrico generado por un cilindro infinito es perpendicular a la superficie lateral del mismo, por lo tanto, el flujo eléctrico únicamente se produce a través de la superficie lateral de la superficie gaussiana. De modo que a la hora de aplicar la ley de Gauss, la ecuación que nos quedará es:
Procedamos a calcular el campo eléctrico en las diferentes regiones.
Disponemos de un semiaro de radio
Calcule el potencial producido por el semiaro en el origen
Para calcular el potencial en el origen es preciso plantear una integral que va a sumar los efectos de todas las partes del aro. Un elemento de longitud
La distancia al origen de cada elemento de longitud
siendo
En una región del espacio el campo eléctrico viene expresado por:
Calcular el trabajo necesario para mover una carga
Para calcular el trabajo que nos piden aplicaremos la definición de trabajo realizado por una fuerza:
Ahora, nos queda por determinar el trayecto de la partícula desde el punto inicial
La integración es inmediata al ser la dirección a lo largo del eje
Como únicamente la componente
Para calcular las coordenadas del punto de llegada, primero normalizaremos el vector desplazamiento,
A continuación al punto inicial le sumaremos el vector unitario anterior multiplicado por el módulo del desplazamiento
Tenemos ahora tres integrales, una para cada eje de coordenadas:
Para ello, lo primero que debemos hacer es obtener la función
donde
Al movernos Δ
Ahora nos movemos Δ
Finalmente, nos movemos Δ
En una región del espacio el campo eléctrico viene expresado como:
Calcule el trabajo necesario para mover una carga
Este problema es el numéricamente más complejo de los que haremos de este estilo y por eso, a modo de resumen, lo resolveremos por dos métodos diferentes ofreciendo otras posibilidades.
Esto nos permite obtener la función energía potencial
donde
Por ejemplo, el término −3
Aclarado este punto, obtendremos la función potencial sin más que poner los diferentes términos que hemos obtenido en las integrales anteriores.
donde
Es aconsejable que una vez obtenida la función
Finalmente, con la función potencial
Si ahora aplicamos la relación entre trabajo y energía potencial, W = −Δ
En este segundo método vamos a aplicar directamente la definición de trabajo realizado por una fuerza
En este camino el trayecto desde el punto
Recapitulando la trayectoria que proponemos en este primer trayecto sería:
Procedamos al cálculo del trabajo realizado por la fuerza en cada uno de los tramos indicados
Ahora únicamente nos queda sumar los trabajos en cada uno de los tramos y obtenemos el trabajo total
Este procedimiento lo podemos repetir pero cambiando el orden de los ejes por los que nos desplazamos, así otra opción sería:
O cualquiera de las otras que al lector se le ocurran (en este caso, al ser un desplazamiento de ℝ3 en ℝ3, tenemos 6 posibles caminos).
Para cada trayectoria los trabajos pueden ser distintos, pero la suma de los trabajos siempre será la misma.
Para calcular el trabajo a través de la trayectoria propuesta debemos parametrizar la recta. Para ello, calculamos el vector que une ambos puntos al que denominaremos
Con este vector ya podemos proceder a parametrizar el tramo de la recta que une ambos puntos en función de un parámetro
Esto nos permite expresar las coordenadas
Procedamos a calcular el trabajo realizado por la fuerza eléctrica al desplazar la carga
Un condensador es un dispositivo constituido por dos conductores, uno de ellos cargado con una carga
En el S.I. la unidad de capacidad se denomina
siendo
donde
en este caso
Un material dieléctrico es un material no conductor. Si el espacio entre los dos conductores que forman un condensador se rellena (total o parcialmente) con un material dieléctrico, la polarización de sus moléculas permite una mayor acumulación de carga en el condensador y por lo tanto un aumento de su capacidad.
Se define la constante dieléctrica o permitividad eléctrica relativa como
De este modo la capacidad de un condensador cuya capacidad inicial es
Un condensador plano de placas paralelas de área 1 cm2 y separadas 1 · 10−4
La carga inicial del primer condensador así como su capacidad.
La carga en cada condensador una vez conectados.
La nueva diferencia de potencial entre las placas.
La carga acumulada en el condensador es:
Nuestros condensadores están conectados en paralelo y por lo tanto tendrán la misma diferencia de potencial. Por otro lado, la capacidad del segundo condensador es 10 veces superior a la capacidad del primero al tener un dieléctrico de permitividad relativa
Si despejamos Δ
A partir de la diferencia de potencial podemos hallar la carga acumulada en cada condensador:
Un condensador plano, cuyas placas tienen una superficie
La nueva diferencia de potencial entre las placas.
La nueva capacidad del condensador.
La variación de energía acumulada en el condensador.
La carga acumulada una vez conectado a la diferencia de potencial es:
Cuando se separan, la capacidad cambia pero la carga no se altera (se ha desconectado la fuente de tensión). La nueva capacidad es:
y la nueva diferencia de potencial será:
La pregunta que nos viene a la cabeza es, ¿De dónde sale este exceso de energía? En realidad, el aumento de la distancia entre las placas es el responsable del aumento de energía acumulada y la variación de la distancia la hemos tenido que realizar nosotros desde el exterior, por lo tanto, el aumento de energía se produce porque desde el exterior le aportamos una energía al sistema al aumentar la separación entre las placas.
En la siguiente figura se muestra el esquema de un condensador de placas paralelas, entre las cuales se colocan dos dieléctricos diferentes. Se establece una diferencia de potencial entre ambas placas
Calcule:
El campo eléctrico en cada dieléctrico.
La capacidad y la carga del condensador si la superficie de las placas es
La segunda relación constitutiva necesaria es la dependencia lineal del campo entre placas sin dieléctrico (
Despejando, obtenemos:
Sin embargo, en la situación de dieléctricos apilados como el caso presente, es posible considerar que el condensador está formado por dos condensadores independientes conectados en serie. Un condensador
Al tener una conexión equivalente en serie, la capacidad total de la asociación se puede calcular usando la fórmula correspondiente:
Se construye un recipiente cilíndrico, con bases perfectamente conductoras y de sección
Expresar la capacidad del cilindro en función de
Acto seguido se abre el circuito y, sin descargar las placas, el recipiente es girado 90° alrededor del eje horizontal.
¿Cuál es la nueva diferencia de potencial entre las placas, Δ
Es útil hallar la carga del condensador para la segunda parte del
problema:
Cuando el cilindro está de pie, el volumen de dieléctrico es
Podemos ahora calcular la capacidad total:
La nueva diferencia de potencial entre los planos se puede hallar recordando que la carga se conserva al girar el cilindro:
A partir del circuito que se muestra en la figura, calcule:
La capacidad equivalente de la asociación de condensadores.
La diferencia de potencial en cada condensador.
La carga de cada condensador.
En este nuevo circuito aparece una asociación en serie entre el condensador de 15
En este circuito tenemos dos condensadores que llevan la misma carga
El cálculo nos lleva a una carga de
Otra forma de haber obtenido el valor de la carga acumulada en estos condensadores habría sido observar que están conectados en serie y, por lo tanto, podemos calcular su capacidad equivalente sin más que aplicar la ecuación correspondiente, obteniendo
Volviendo al esquema original, los dos condensadores que están conectados en paralelo tienen la misma diferencia de potencial Δ
Tenemos ahora todas las diferencias de potencial del circuito.
A partir de la figura siguiente, calcule:
La capacidad equivalente de la asociación de condensadores.
La diferencia de potencial en cada condensador.
La carga de cada condensador.
El circuito equivalente resultante tiene ahora dos condensadores en paralelo cuya capacidad equivalente será:
Para calcular la diferencia de potencial de los dos condensadores conectados en serie debemos considerar que ambos condensadores tienen la misma carga
Finalmente, una vez calculada la carga acumulada
Finalmente, una vez calculada la carga acumulada en cada condensador hallamos la diferencia de potencial de cada uno de los condensadores:
Un condensador de placas cuadradas y paralelas contiene un dieléctrico de constante relativa
La capacidad del condensador.
La energía almacenada en el condensador en función de
Suponiendo la carga almacenada como constante, si movemos el dieléctrico hacia la derecha una distancia
Deducir la fuerza que se ejerce sobre el dieléctrico.
Queda por definir la capacidad del condensador en su conjunto. Para ello, podemos observar que la carga total de las placas es la suma de las cargas de ambas placas:
Dado que los condensadores tienen la misma diferencia de potencial al estar las placas en equilibrio electrostático tenemos:
Es decir, la capacidad de este tipo de estructuras es similar a tener dos condensadores conectados en paralelo.
La fuerza que aparece sobre el dieléctrico es constante y tiende a tirar del dieléctrico hacia dentro del condensador.
Consideremos el circuito de la figura adjunta. Comenzamos cargando el condensador
Calcular la carga inicial de
A continuación cerramos el interruptor
¿Cuánta energía se ha disipado en la resistencia al quedarse los condensadores totalmente descargados?
A continuación, se abre el interruptor
Ahora, la carga que inicialmente estaba acumulada en el condensador
si además aplicamos la ecuación de conservación de la carga:
obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que podemos resolver:
Durante este proceso, toda la energía almacenada por los condensadores se disipará en la resistencia mediante una corriente eléctrica. Por tanto, en base al principio de conservación de la energía, basta con calcular la energía inicial almacenada por los dos condensadores:
Se tiene el circuito que se muestra en la figura siguiente. La capacidad de los condensadores es respectivamente
Calcular la carga en cada condensador y la energía acumulada en el condensador
A continuación se abre el interruptor
Calcule la diferencia de potencial entre las placas de cada condensador y la carga que acumula cada condensador.
Nos proporciona una carga total
Para calcular la energía acumulada aplicaremos la ecuación correspondiente a cada uno de los condensadores, de este modo:
Llamamos de momento
Los tres condensadores
Si sustituimos en esta ecuación la carga de cada condensador en función del voltaje:
Despejando, obtenemos una diferencia de potencial Δ
V. A partir de este dato podemos hallar la diferencia de potencial y la carga de cada condensador:
Se tiene un condensador plano de capacidad
Para calcular la diferencia de potencial una vez relleno el condensador con los dieléctricos necesitamos primero calcular la capacidad del condensador modificado.
Si nos fijamos en la parte izquierda, tenemos un condensador plano de superficie
La mitad derecha está compuesta de dos capas de espesor
La asociación en serie de estos dos condensadores nos da la capacidad total de la parte derecha del condensador:
Para terminar podemos calcular la capacidad total como:
Se define la intensidad de corriente eléctrica como el flujo de carga que por unidad de tiempo atraviesa la sección transversal
siendo
La unidad de corriente en el S.I. es el Amperio[
Cuando entre dos puntos
El cociente entre la caída de potencial y la intensidad de corriente que circula por un conductor se llama resistencia del conductor,
donde
Una forma de reescribir la
según la cual la caída de tensión en un conductor es el producto de la intensidad que circula por él y por su resistencia.
Una fuente es un dispositivo que suministra energía a un circuito eléctrico. Se define la fuerza electromotriz de una fuente,
siendo
Dentro de las fuentes podemos diferenciar dos tipos:
Cuando por un elemento resitivo de un circuito circula una intensidad de corriente se produce una disipación de energía en dicho elemento. El ritmo al que se disipa esta energía es lo que denominamos potencia, y viene dada por:
Si ahora tenemos en cuenta que la potencia no es más que la energía disipada por unidad de tiempo, podemos calcular la energía disipada entre dos tiempos,
en el caso de que la potencia no dependa del tiempo (corrientes constantes), podemos obtener la energía disipada mediante:
siendo Δ
Un elemento de un circuito produce una energía de 10 kJ en 5 min. Calcular la potencia media producida.
Se trata simplemente de calcular la energía transferida en un tiempo dado:
El motor de corriente continua de una máquina industrial consume una potencia 50 W durante 2 horas. A continuación se incrementa el esfuerzo requerido y el motor consume 100 W durante 1 hora. Calcular la energía consumida a lo largo del periodo de funcionamiento.
Se analizan los dos periodos por separado. Durante la primera parte:
A lo largo del segundo periodo tenemos:
La energía consumida total es
Un cable de cobre transporta una corriente continua de 20 A a lo largo de una distancia de 2000 m. A partir de la información disponible en el capítulo, hallar el diámetro del cable para que las pérdidas por disipación en el mismo sean inferiores a 100 W.
Dato:
Conocida la conductividad del cobre, la resistencia del cable se puede hallar mediante la fórmula:
con
es decir que la resistencia tendrá que ser inferior a:
La sección mínima del conductor para obtener esta resistencia será:
Y se obtiene
Una resistencia que puede disipar como máximo 100 W se diseña para funcionar con una diferencia de potencial de 200 V, responder a las siguientes preguntas:
¿Cuánto vale la resistencia y qué intensidad circula por ella?
¿Qué potencia disipa la resistencia si se alimenta a 125 V?
Como la potencia y la tensión son datos del problema, la resistencia se puede deducir de la siguiente fórmula:
Cuando se alimenta la resistencia con 125 V, la potencia disipada será:
Por un cable de cobre de 100
Calcular la resistencia del cable.
¿Cuál es la diferencia de potencial en sus extremos?
¿Cuál es la potencia disipada por el cable?
Datos:
La resistencia del cable se obtiene por aplicación directa de la ecuación que relaciona la resistencia con las características físicas del cable y la resistividad del material:
La diferencia de potencial en los extremos del cable se puede calcular usando la ley de Ohm:
La potencia disipada por el cable se calcula fácilmente al tener la tensión y la corriente que circula por el cable:
Una resistencia de valor
Para poder evaluar la corriente generada por la fuente de alimentación, necesitamos calcular la resistencia equivalente formada por las dos resistencias en paralelo:
Es decir
Para calcular la diferencia de potencial de la fuente analizaremos la información que nos proporciona el enunciado. Por un lado, cuando únicamente la primera resistencia está conectada a nuestra fuente de voltaje podemos escribir
Por otro lado, al conectar la segunda resistencia, tenemos una resistencia equivalente
Dos resistencias,
Calcular el valor de
Calcular la razón entre las intensidades que circulan por
Llamaremos Δ
Despejamos
Ahora calculamos la relación entre las corrientes. La potencia disipada en ambas resistencias es la misma y se puede expresar en función de las corrientes que circulan por cada una de las resistencias:
Una batería con una f.e.m. de 12 V tiene una diferencia de potencial en sus extremos de 11,4 V cuando la intensidad suministrada a un motor es de 20 A. Calcular:
¿Cuál es la resistencia interna de la batería?
¿Qué potencia suministra la batería?
De la potencia suministrada, ¿cuánta se pierde dentro de la propia batería?
Si en lugar de alimentar el motor, alimenta una resistencia de 2 Ω, ¿cuál es la diferencia de potencial entre los bornes de la batería?
El problema se resume en el esquema siguiente:
A partir de esta figura y de los datos del problema, se puede encontrar la resistencia interna
donde
Despejando de la ecuación anterior obtenemos
La potencia suministrada por la batería es:
La potencia que se disipa internamente en la batería es la potencia de la resistencia interna
Cambiando el motor por una resistencia de
La corriente es entonces:
Esta diferencia de potencial también la podríamos calcular mediante la ecuación
Calcular las corrientes marcadas en el siguiente circuito:
Cada resistencia se encuentra conectada en paralelo a la fuerza electromotriz de 5 V. Para calcular la corriente basta con aplicar la ley de Ohm a cada resistencia:
La corriente
Calcular la corriente marcada y la diferencia de potencial de las resistencias en el circuito de la figura:
La corriente de la malla del circuito se puede hallar calculando la resistencia equivalente formada por las dos resistencias en serie cuyo valor es
Esta es la misma corriente que atraviesa cada una de las resistencias de 5 Ω y 20 Ω antes de juntarlas en una única resistencia equivalente.
Una vez obtenida la corriente de la malla, se puede aplicar la ley de Ohm a cada elemento para obtener la diferencia de potencial:
Calcular la corriente marcada del circuito siguiente:
En este circuito queremos hallar la corriente de la fuente de 5 V conectada a varias resistencias. Para resolver este tipo de circuitos, el método más directo es la reducción de todas las resistencias a una única resistencia equivalente. Dado que solo hay resistencias, se puede encontrar un equivalente único conectado a la fuente de fuerza electromotriz.
Empezando por las resistencias en paralelo tenemos:
dando el resultado numérico
etapa consiste en despejar la corriente:
Calcular las corrientes marcadas en el circuito siguiente:
En este problema observamos que las dos resistencias de 10 Ω y 5 Ω están en paralelo. Por definición tienen la misma diferencia de potencial en sus bornes. Aplicando la ley de Ohm a cada resistencia se obtiene la igualdad:
En el ejercicio anterior hemos obtenido la corriente de la fuente de fuerza electromotriz de 5 V, siendo
Se obtiene
Despejando la corriente
Si por el circuito de la figura circula una corriente
Para poder encontrar el valor
Una vez fijada la corriente, en las resistencias la corriente circula de potencial alto a potencial bajo. Por lo que es útil indicar un signo + en el extremo de potencial alto y un - en el potencial más bajo.
A la hora de aplicar la ley de Kirchhoff sobre un recorrido cerrado del circuito, se pueden observar las bajadas y subidas de potenciales. Al recorrer el circuito, si el potencial baja (de + a -) restamos esta diferencia de potencial al balance de la ecuación. Para subidas (de - a +) sumamos estas diferencias.
La suma neta sobre una malla siempre resulta cero en el contexto de las leyes de Kirchhoff:
Dada la corriente
Obtener las corrientes marcadas en el circuito siguiente.
Este circuito tiene dos mallas independientes que no se pueden reducir mediante asociaciones de resistencias en serie o paralelo. Por lo tanto,
Empezamos por plantear las ecuaciones de las dos mallas comenzando ambas por el nodo
Para completar el sistema aplicamos la ley de Ohm para cada resistencia:
Son dos ecuaciones lineales independientes con tres incógnitas. La última ecuación procede de uno de los dos nudos
El sistema de ecuaciones completo es:
La solución del sistema es:
Calcular la resistencia equivalente formada por la asociación de resistencias del circuito siguiente:
Cuando tratamos de reducir una red de resistencias a una única resistencia equivalente debemos fijarnos primero en las resistencias en serie. En este caso aparecen dos ramas con una resistencia de 5 Ω y otra de 10 Ω en serie. La suma es 15 Ω y obtenemos el siguiente circuito simplificado:
Aparecen claramente dos resistencias en paralelo de 15 Ω cuya asociación no da una resistencia equivalente de
Calcular la resistencia equivalente entre los puntos
Para resolver este circuito primero asociamos las resistencias en serie:
Tenemos dos resistencias de 20 Ω conectadas en paralelo, la asociación de las dos es una resistencia equivalente de 10 Ω:
En este último circuito tenemos dos resistencias de 10 Ω en serie cuya resistencia equivalente es
En el circuito de la figura siguiente tenemos dos interruptores
Calcular las corrientes marcadas estando los dos interruptores abiertos.
Se cierra el interruptor
Se abre el interruptor
Datos:
Cuando los dos interruptores están abiertos no hay corriente circulando en ninguna de las ramas del circuito y por lo tanto, todas las corrientes son nulas.
Al cerrar el interruptor
Al cerrar
Se puede hallar la energía que disipa la resistencia
Calcular las corrientes
Datos:
Podemos observar que este circuito tiene únicamente 3 corrientes diferentes que son las que debemos calcular. Necesitaremos por tanto 3 ecuaciones independientes.
Tenemos un sistema de tres ecuaciones que podemos resolver con métodos habituales de resolución de sistemas lineales. Sustituimos los valores en el sistema:
La segunda ecuación nos da inmediatamente una relación entre
Esta última ecuación puede sustituirse en la primera ecuación del sistema para obtener
De allí
El hecho de que
Calcular las corrientes
Datos:
Para resolver este problema, antes de ponernos a plantear ecuaciones, es conveniente reducir el circuito usando asociaciones de elementos resistivos. Así, por un lado están
Calculamos las resistencias equivalentes
En el circuito obtenido tras la simplificación, aparecen
Podemos establecer el sistema de ecuaciones independientes usando las leyes de Kirchhoff que permite resolver el circuito. La última ecuación se deduce aplicando la Ley de Kirchhoff al nudo marcado arriba:
Sustituimos los valores y resolvemos el sistema de ecuaciones:
La solución es:
Calcular la resistencia equivalente entre los puntos
Aunque este circuito parece complicado, se puede reducir con facilidad si nos damos cuenta de que las resistencias de 10 Ω de la rama de arriba y de la
La reducción es ahora trivial, en la rama de abajo tenemos 3 resistencias en serie de 10 Ω y en la rama de arriba son 3 resistencias de 5 Ω en serie. El resultado es una resistencia de 30 Ω en paralelo con una resistencia de 15 Ω en serie cuyo equivalente vale:
Cuando una partícula con carga
Con
Las unidades del campo magnético en el Sistema Internacionacional es el
y la constante
Cuando en lugar de una única carga tenemos una corriente eléctrica
Aplicando la
A continuación se presentan varios resultados sencillos de obtener mediante integración directa.
En ellos únicamente representamos el módulo de
Obsérvese que las
Si consideraremos que respecto del punto del eje donde queremos calcular el campo magnético los extremos del solenoide están en los puntos −
donde
Podemos comprobar que las
donde
Podemos comprobar que las
donde
En este caso el campo magnético generado en el interior del solenoide tiene sentido tangente a la circunferencia de centro el centro del toroide y radio
Fuera del toroide el campo magnético es nulo.
De forma similar a como se definió en el capítulo 1 el flujo eléctrico
En el Sistema Internacional la unidad del flujo magnético es el Weber [Wb] y su valor es 1 Wb= 1 T·m2.
La Ley de Ampère se utiliza para calcular el campo eléctrico generado por distribuciones continuas de carga bajo unas determinadas condiciones de simetría.
En este caso, la Ley de Ampère nos permitirá calcular el campo magnético generado por corrientes continuas con un alto grado de simetría tales como el conductor rectilíneo infinito, el toroide y el solenoide infinito.
Dos hilos conductores paralelos están situados según la dirección del eje
Dibuje el campo generado por cada uno de los hilos en los puntos P y Q que se indican en la figura.
Determine el valor del campo magnético total en los puntos P y Q.
Para proceder al dibujo de los campos magnéticos generados por cada hilo, deberemos tener en cuenta la ley de Biot y Savart, según la cual el campo magnético generado por un elemento de corriente es perpendicular al plano generado por el hilo y el vector que va desde el hilo hasta el punto donde queremos calcular el campo. Teniendo en cuenta esto,
Procedamos a calcular el valor de los campos en los puntos P y Q. Para ello, una vez que sabemos el sentido de cada uno de los campos, calcularemos su módulo mediante la
En este caso lo primero que debemos hacer es la descomposición del campo
Finalmente procedemos a sumar los campos, teniendo en cuenta que el campo
El campo total que obtendremos será:
Dos hilos rectilíneos, paralelos y horizontales están separados 100 cm. Por el punto
La intensidad y el sentido de la corriente en el conductor C si el campo magnético en el punto N es nulo.
El campo magnético en el punto
Como queremos que el campo magnético en el punto N sea nulo, la corriente que pasa por el punto C deberá generar un campo magnético que anule el generado por la corriente
Una vez que hemos obtenido la corriente
Sumando las componentes
Dos corrientes indefinidas,
Para afrontar este problema lo primero que debemos hacer es un dibujo en el que se representen ambas corrientes así como los campos magnéticos que generan.
Para la corriente
Una vez que tenemos el sentido de ambas corrientes, podemos dibujar los campos magnéticos que generan, obteniendo la siguiente figura. En esta figura se han marcado los ángulos necesarios para proceder a la descomposición de ambos campos.
Tal y como se ha comentado antes, las componentes
Si finalmente igualamos ambas componentes,
Se tienen dos cables rectilíneos paralelos indefinidos. El primero de ellos situado sobre el eje
Calcule la intensidad que circula por este segundo hilo conductor (módulo y sentido) sabiendo que el campo magnético en el punto (0, 2, 0) m es
¿En qué punto(s) del eje
Antes de ponernos a resolver el problema es conveniente realizar un dibujo en el que se pueda apreciar de forma clara la posición de los hilos y que nos permita determinar la dirección y sentido de los campos magnéticos que estos van a generar. Cuando se hagan este tipo de dibujos
Puesto que el campo magnético total en el punto (0, 2, 0) m lleva sentido
Calculemos el valor de la intensidad de corriente que circula por el segundo conductor. Para ello aplicaremos la
Fijándonos en el esquema de la izquierda, observamos que a la izquierda del hilo 1 ambos campos apuntan hacia el interior del papel, mientras que a la derecha del hilo 2 ambos campos apuntan hacia fuera. Por lo tanto, el único punto del eje
Para calcular la posición exacta, deberemos igualar los módulos de los campos generados por ambas corrientes. Si consideramos que la distancia desde el punto hasta el hilo 1 es
El punto del eje
Consideramos un trayecto orientado siguiendo un círculo de radio 10 cm centrado en el origen en el plano
Aplicando la Ley de Ampère, calcular la circulación del campo magnético a lo largo del trayecto descrito.
Si aplicamos la Ley de Ampère al trayecto marcado, se puede obtener el resultado sin realizar la integración del campo. Sin embargo, hay que tener cuidado con la suma de las corrientes dado que la orientación del trayecto y el sentido de las corrientes influyen el resultado.
Fijándonos en el trayecto y usando la regla de la mano derecha, podemos ver que la corriente
Por lo tanto:
Obtenga la expresión del campo magnético generado por un hilo infinito de radio
Para resolver este problema aplicaremos la ley de Ampère (
Este caso es sencillo ya que la corriente que atraviesa la superficie de radio
De este modo si generalizamos a cualquier punto externo al hilo obtenemos:
Ahora la corriente que atraviesa la superficie limitada por la circunferencia de radio
Una vez determinada
De este modo si generalizamos a cualquier punto interno al hilo obtenemos:
Resumiendo, el campo magnético en el interior del hilo va aumentando su módulo de forma lineal conforme nos alejamos del eje central, mientras que una vez fuera del hilo el módulo del campo decrece como 1/
A modo de ejemplo, si suponemos que por un hilo de 1 cm de radio circula una corriente de 1 amperio, la gráfica que obtenemos es la siguiente. En esta gráfica se pueden apreciar claramente las dos regiones: en el interior del hilo la intensidad del campo magnético crece de forma lineal con la distancia al centro del hilo, mientras que una vez fuera el campo decrece como
La figura muestra dos secciones frontales de conductores paralelos, muy largos y perpendiculares al plano
Dibujar el campo magnético creado por cada uno de los conductores, así como el campo magnético resultante en el punto P.
Hallar la expresión del módulo de
¿Para qué valor de
Construir una gráfica que represente
Aplicando la regla de la mano derecha, podemos dibujar los campos magnéticos generados por los cables 1 y 2,
Para calcular el campo magnético resultante, primero calcularemos el módulo de cada uno de los campos para posteriormente descomponerlos en sus componentes
Al descomponer ambos campos en sus componentes según los ejes
Observe que las componentes según el eje
Dándole carácter vectorial al campo magnético resultante obtenemos:
Para calcular el valor de
Al sustituir
A este resultado podríamos haber llegado de una forma intuitiva simplemente razonando que el módulo del campo magnético es inversamente proporcional a la distancia y el punto que se encuentra a una distancia mínima de ambos cables en este caso es el punto
Para construir una gráfica del valor del campo magnético a lo largo del eje
Sea un hilo infinito situado sobre el eje
El campo magnético que genera la corriente en el punto (2, 0, 0) m.
El punto del plano
Repita los apartados anteriores para el punto (3, 4, 0) m. ¿Y si la corriente en el segundo hilo llevase sentido opuesto?
En este tipo de problemas siempre es útil realizar un esquema en el que se representen las corrientes y los campos magnéticos que estas generen teniendo cuidado de representar correctamente los sistemas de referencia. En este ejercicio, el esquema sería el siguiente:
Para obtener el módulo del campo magnético que se nos pide aplicaremos (
Lo primero que hacemos es calcular la distancia
Una vez obtenida esta distancia deducimos el punto de intersección que se nos pide. Para ello nos basaremos en (
El esquema que representa este problema lo podemos ver en la figura siguiente:
Para resolver el problema en el nuevo punto que se nos propone procederemos de modo similar. Primero calculamos el campo magnético generado por la corriente
Para calcular el vector unitario en la dirección del campo debemos aplicar
Por lo tanto, el campo magnético que genera el hilo 2 deberá ser:
Para que la corriente
Finalmente, para calcular el punto del plano
El esquema de este último apartado nos permite comprobar que nuestros razonamientos son ciertos. En muchos casos, la realización de este tipo de dibujos nos facilitan la localización de la segunda corriente.
En este tipo de problemas en los que únicamente intervienen dos hilos paralelos, para que el campo resultante en un determinado punto del espacio sea nulo estos hilos y el punto en cuestión siempre deberán estar alineados sobre la misma recta.
Obtenga la expresión del campo magnético generado por una espira de radio R por la que circula una corriente
Lo primero que queremos indicar al lector es que la expresión que se pide es la
Para proceder a la resolución de este problema, lo más conveniente es realizar un dibujo que nos permita identificar la dirección y sentido del campo magnético. Este dibujo nos va a permitir apreciar la simetría del campo magnético lo que facilitará la obtención de la expresión que se nos pide.
Si tomamos un elemento diferencial de corriente
Este campo magnético lo podemos descomponer en dos componentes: la componente según la dirección del eje
y
Si analizamos el esquema de la figura, podemos observar que el elemento
La distancia desde el elemento de corriente
Simplificando y teniendo en cuenta que hemos demostrado que el campo magnético total únicamente tiene componente
Obtenga la expresión del campo magnético generado por un solenoide de longitud
La expresión que se pide es una generalización de la
Para proceder a la resolución de este problema, nos basaremos en la
Para plantear el problema realizamos un dibujo en el que se representa un corte transversal del solenoide en el que se puede apreciar el sentido de la corriente en el propio solenoide. En este caso viendo el sentido de la corriente y teniendo en cuenta la regla de la mano derecha deducimos que el campo magnético en el punto
Tomamos un elemento diferencial de longitud
Integrando esta expresión obtendremos el campo magnético generado por todo el solenoide.
Para realizar la integral hacemos el cambio de variable
Esto nos lleva a poder expresar el
Operando e integrando, llegamos a la expresión:
Esta expresión la podemos transformar escribiendo los cosenos en función de las características físicas del solenoide. En este caso, respecto del punto
Un caso particular de este problema sería considerar que el solenoide es muy largo y que el punto
De este modo,
Aunque no se pide, para que el lector entienda por qué en la mayoría de los problemas directamente usamos la fórmula correspondiente al campo magnético de un solenoide infinito en lugar de particularizar la expresión que hemos obtenido, presentamos la siguiente gráfica.
En ella se representa la relación entre el campo magnético exacto en el eje de un solenoide
Si analizamos los resultados comprobamos que para los valores más pequeños de los radios el valor del campo magnético permanece prácticamente constante y con un valor muy próximo al valor ideal del solenoide infinito
Estos resultados nos llevan a aceptar la aproximación del campo magnético generado por un solenoide infinito como opción válida para simplificar los problemas en los que aparecen campos magnéticos generados por solenoides, puesto que normalmente los radios serán mucho menores que las longitudes de los solenoides implicados.
Cuando una partícula con carga
Si en lugar de una carga puntual lo que tenemos es una corriente eléctrica,
siendo
Un aplicación particular de este fenómeno es el caso de dos corrientes paralelas infinitas separadas una distancia
En este caso, aparecerá una fuerza sobre cada una de las corrientes debido al campo magnético que la otra genera en la zona donde se encuentra la primera. Obviamente, al tratarse de corrientes infinitas, no tiene sentido hablar de fuerza total, pero sí de fuerza por unidad de longitud,
Para determinar el sentido de la fuerza deberemos hacer el producto vectorial
El resultado que obtendremos es sencillo, corrientes paralelas con el mismo sentido se atraen, mientras que si las corrientes llevan sentidos opuestos, las corrientes se repelen.
Una partícula de masa
En este caso el campo magnético no realiza trabajo sobre la partícula y no modifica la energía cinética de la partícula, modifica
Cuando una espira de corriente es introducida en un campo magnético las fuerzas que actuán sobre ella generan un momento
donde
La magnitud
En función de estos términos podemos definir la energía potencial de la espira:
Un cable rectilíneo situado sobre el eje
El campo magnético generado por el cable en el punto
El vector se deduce de la regla de la mano derecha aplicada al hilo de corriente.
Se puede ahora calcular las fuerzas en cada situación:
Una partícula
Una partícula
Siendo la masa de la partícula
Aplicamos la definición de la fuerza de Lorentz:
La aceleración se deduce de las leyes de Newton. Siendo
Una corriente eléctrica de
Para resolver este problema deberemos aplicar la ecuación
Dos alambres paralelos y rectilíneos separados una distancia
Para resolver este problema deberemos hacer uso de la
donde
donde únicamente hemos calculado el módulo del campo. En este caso al ser los hilos paralelos, el campo magnético que genera cada uno de los hilos es perpendicular a la corriente del otro hilo de modo que el módulo de la fuerza
con lo que obtenemos que la relación que buscábamos
El resultado es una solución lógica si tenemos en cuenta la 3
Un protón (carga
La diferencia de potencial en el espacio lleva asociada una diferencia en la energía potencial del protón. Como el campo eléctrico es un campo conservativo, podemos aplicar el principio de conservación de la energía. De este modo, la pérdida de energía potencial se transforma en energía cinética.
Despejando la velocidad de la ecuación anterior obtenemos:
Para calcular el radio de la trayectoria circular que describirá el protón una vez que entre en la región del espacio en la que está definido el campo magnético, simplemente debemos sustituir los datos en la
Se lanza un electrón desde el reposo hasta alcanzar una velocidad
Calcular el módulo de la fuerza que actuá sobre el electrón indicando su dirección y sentido. Calcular el radio de la trayectoria descrita por el electrón.
¿Cuál es la variación de potencial que habrá experimentado ese electrón antes de entrar en dicha región para pasar del reposo a la velocidad
Datos:
Para calcular el módulo de la fuerza que actuará sobre el electrón deberemos aplicar la ecuación de la fuerza de Lorentz, teniendo en cuenta que el enunciado nos dice que
Para dibujar la fuerza
Este dibujo es válido únicamente para el instante inicial en el que el electrón entra en la región donde hay campo magnético. Una vez que el electrón avance en esa región, debido a la fuerza que hemos representado anteriormente, el electrón comenzará a describir una trayectoria circular y la fuerza
Otra opción sería expresar los vectores en un sistema de referencia cartesiano. De este modo, podríamos considerar que en el instante inicial el electrón se mueve según la dirección positiva del eje
La única fuerza que actuá sobre el electrón es la fuerza generada por el campo eléctrico, que está relacionado con la diferencia de potencial que nos pregunta el problema. Como ya hemos comentado, el campo eléctrico es un campo conservativo y por lo tanto la ganancia de energía cinética se debe a una pérdida de energía potencial o, lo que es lo mismo,
La diferencia de potencial positiva confirma que el electrón se dirige de forma espontánea a una región con mayor potencial eléctrico. Al ser la carga negativa, esto se corresponde con zonas de menor energía potencial.
Disponemos de dos cables rectilíneos infinitos paralelos separados una distancia
El sentido y el valor de la corriente
¿En qué punto del espacio se anula el campo magnético?
¿Qué fuerza por unidad de longitud ejerce un conductor sobre el otro? ¿Se atraen o se repelen?
Lo primero que debemos averiguar es el campo magnético generado por la corriente
y con sentido apuntando hacia fuera del papel.
Nos dice el enunciado que el campo total es 1
Proyectamos y obtenemos:
Resolviendo la ecuación anterior, obtenemos
Aunque se pregunta por el punto en el que se anula el campo magnético, en realidad se anulará en toda la línea de puntos paralela a los hilos conductores que esté a una determinada distancia de ellos. Basándonos en la regla de la mano derecha, podemos deducir que esta línea deberá estar en la región que hay entre ambos conductores, pues es la única región en la que los campos generados por ambos hilos tienen sentidos opuestos.
Una vez que sabemos la región en la que debemos buscar el punto, únicamente deberemos exigir que el módulo de ambos campos sea el mismo. Si denominamos
Para calcular la fuerza por unidad de longitud que un conductor realiza sobre el otro deberemos aplicar la ecuación
Para determinar el sentido de la fuerza podemos fijarnos en la fuerza que el conductor 1 realiza sobre el 2. Aplicando la regla de la mano derecha, el conductor 1 genera un campo magnético en la región del espacio donde se encuentra el conductor 2 que apunta hacia fuera del papel. Si ahora multiplicamos vectorialmente este campo magnético por la corriente
Otra opción consiste en aplicar directamente el producto vectorial usando el sistema de referencia definido en la pregunta a). Tenemos
Un protón (carga
Para calcular la velocidad del protón deberemos aplicar el principio de conservación de la energía.
Para calcular el radio de la trayectoria aplicaremos la
Una partícula de carga
Calcular el radio de la trayectoria.
¿En qué plano se situá la trayectoria?
¿Cuál es el periodo del movimiento?
Para obtener el radio de la trayectoria debemos sustituir los valores numéricos que nos proporciona el enunciado en la ecuación del radio de la trayectoria de la partícula
Recordemos que la fuerza que actuá sobre una partícula puntual cuando se mueve en una región del espacio en la que hay un campo magnético viene dada por:
Por lo tanto, como la fuerza es perpendicular tanto al campo magnético como a la velocidad, la partícula se situará en el plano
Se aplica la ecuación que relaciona el período con los parámetros del problema:
Por un solenoide largo de 1000 espiras y de longitud 10 cm circula una corriente continua de 5 A.
Calcular el campo magnético en el interior del solenoide.
¿Cuál sería el módulo de la fuerza sobre una carga inmóvil en su interior?
Para calcular el campo magnético en el interior del solenoide aplicaremos la
La fuerza resultante sobre una partícula cargada viene dada por la
Una partícula cargada de masa
El valor absoluto de la carga de la partícula es
La carga de la partícula es negativa.
La energía cinética de la partícula en
El valor absoluto de la carga de la partícula es
Para demostrarlo simplemente debemos combinar las ecuaciones del radio
La carga de la partícula es negativa.
Si la partícula fuese negativa la fuerza magnética
La energía cinética de la partícula en
La fuerza magnética que actuá sobre una partícula que se desplaza viene dada por
Se lanza un electrón con una velocidad
Calcular el módulo de la fuerza que actuá sobre el electrón indicando su dirección y sentido.
Calcular el radio de la trayectoria descrita por el electrón.
Calcular la energía cinética del electrón a su entrada en el campo.
¿Cuál es la variación de potencial que habrá experimentado ese electrón antes de entrar en dicha región para pasar del reposo a una velocidad
Datos:
Para calcular la fuerza magnética que actuá sobre el electrón simplemente tenemos que calcular la fuerza de Lorentz, teniendo en cuenta que el vector velocidad y el campo magnético son perpendiculares.
En el instante en el que entra en la región donde está definido el campo magnético, la dirección de la fuerza será vertical y el sentido vendrá determinado por el producto vectorial
Para calcular el radio debemos sustituir los datos numéricos en la ecuación del radio de la trayectoria:
La energía cinética del electrón vendrá dada por:
Para esta última pregunta deberemos tener en cuenta el principio de conservación de la energía. La energía mecánica del electrón tiene que permanecer constante en la región en la que se le aplica la diferencia de potencial, de este modo:
Como el enunciado nos dice que el electrón parte del reposo,
Si sustituimos por sus valores numéricos
Δ
Un haz de electrones pasa, sin ser desviado de su trayectoria rectilínea, a través de una región del espacio en la que hay un campo eléctrico y otro magnético, mutuamente perpendiculares. El campo eléctrico está producido por dos placas metálicas paralelas situadas a ambos lados de la trayectoria, separadas 1 cm y conectadas a una diferencia de potencial de 80 voltios. El campo magnético tiene una intensidad
Hallar la razón carga/masa de los electrones.
Calcular el tiempo que cada electrón invierte en recorrer una circunferencia completa.
Lo primero que nos dice el enunciado es que el haz de electrones pasa sin ser desviado por una región en la que hay un campo eléctrico y otro magnético. Esto nos indica que la suma de las fuerzas que actuán sobre los electrones debe ser nula,
Para generar el campo eléctrico entre las placas se nos dice que la diferencia de potencial entre dichas placas es 80 voltios y que tienen una separación de 1 cm, asumiendo el campo uniforme tenemos:
Finalmente, dado que a la salida de las placas el haz de electrones describe una trayectoria circular de radio 1,14 cm, si hacemos uso de la ecuación del radio de la trayectoria
Para calcular el periodo de los electrones debemos aplicar la ecuación que relaciona el periodo con las magnitudes del problema:
En una cavidad de sección rectangular generamos un campo magnético y un campo eléctrico perpendiculares entre sí. A la entrada de la cavidad incide un flujo de iones de masa
Escribir la fuerza que se ejerce sobre cada ión cuando entra en la cavidad.
Determinar la velocidad de los iones que pasarán a través de la cavidad sin desviarse del eje.
En este caso cuando un ión entre en la cavidad experimentará dos fuerzas, la fuerza producida por el campo eléctrico
Para que un ión no se desvíe la fuerza total debe ser nula, o lo que es lo mismo la
Se dispone de un solenoide largo con densidad de espiras
La velocidad de entrada para partículas de masa
La corriente del solenoide si deseamos que las partículas salgan con una dirección perpendicular a la dirección de entrada tal y como se muestra en la figura.
Para calcular la velocidad de entrada de las partículas, simplemente debemos aplicar la definición de energía cinética.
Para que las partículas salgan tal y como se muestra en la figura, deberán describir una trayectoria circular de radio
Participamos en un juego en el que debemos disparar partículas cargadas en una zona y recuperarlas en otra. Disponemos de dos controles para alcanzar el objetivo: la tensión
El jugador dispone de un panel con un número finito de valores de 64 V 100 V 400 V 1 mT 10 mT 50 mT
Datos:
Determinar la velocidad inicial con la que entra la partícula en la zona del campo en función de
¿Cuál es el radio de curvatura de la trayectoria de la partícula en función de
¿Qué valores de
En este apartado deberemos tener en cuenta que la fuerza que actuá es la fuerza eléctrica, la cual es conservativa; por lo tanto, las partículas perderán
Si consideramos que vi = 0 y que
Para calcular el radio de curvatura en función de
Finalmente, para ver qué combinación (
Podemos ahora seleccionar en la tabla los valores de
Un cañón de electrones dispara electrones en la dirección
Calcular el vector fuerza que actuá sobre los electrones cuando entran en la zona donde coexisten ambos campos.
¿Qué energía deben tener los electrones para pasar por la zona con campos sin desviarse del eje
Los electrones que no se desvían impactan sobre átomos de hidrógeno cuya energía de ionización es 25 eV. Calcular la relación entre
Datos :
Cuando los electrones entren en la zona en la que existen ambos campos la fuerza que experimentarán será la suma de la fuerza generada por el campo eléctrico
donde
Si combinamos ambas ecuaciones obtenemos la fuerza total que nos piden
Se nos pide la energía cinética que tienen que llevar los electrones para que no se desvíen, lo que implica
Para poder ionizar los átomos de hidrógeno la energía cinética de los electrones deberá ser 25 eV. Teniendo en cuenta que 1 eV= 1,6· 10−19 J
Un condensador plano formado por dos placas paralelas separadas 4 cm y situado en el vacío, tiene una capacidad de 200 pF. Se carga este condensador mediante una fuente de tensión 200 V. Calcule:
La energía almacenada en el condensador cuando está completamente cargado.
El valor del campo eléctrico en el interior del condensador.
Si un protón (
El condensador se carga con una tensión de 200 V, teniendo la capacidad podemos calcular la energía acumulada en su interior:
Las placas están separadas 4 cm con una diferencia de potencial de 200 V. Siendo el condensador plano podemos aproximar el campo entre placas por:
Al entrar el protón en la zona entre los planos del condensador, se ve sometido a una fuerza eléctrica:
Si queremos anular esta fuerza para que el protón siga una trayectoria rectilínea podemos añadir un campo magnético perpendicular al campo eléctrico. Debemos determinar su módulo, dirección y sentido.
La fuerza del campo magnético se calcula mediante la siguiente fórmula:
El sentido requerido para el campo magnético para obtener una fuerza contraria al campo eléctrico es perpendicular al campo eléctrico apuntando hacia fuera del papel (ver figura). Para hallar el módulo podemos igualar el módulo de las dos fuerzas:
Obtenemos:
Un alambre por el que circula una corriente de 2,5 amperios se dobla formando una espira tal y como se indica en la figura. Calcule su momento magnético.
Para calcular el momento magnético de esta espira aplicaremos la
Calculemos primero su módulo
Para obtener el sentido del vector aplicaremos la regla de la mano derecha o del sacacorchos. En este caso el vector momento magnético apuntaría hacia nosotros.
Por una espira cuadrada de 40 cm de lado y 12 vueltas circula una corriente de 3 amperios tal y como se indica en la figura. La espira está situada sobre el plano
El momento magnético de la espira.
El momento o torque que experimentará la espira.
La energía potencial de la espira.
Para calcular el momento magnético de la espira deberemos aplicar la
Una vez calculado el momento magnético obtendremos el momento o torque que actuá sobre la espira aplicando la
Las magnitudes vectoriales que se han obtenido en ambos apartados se muestran en la siguiente figura:
Para calcular la energía potencial acumulada en la espira aplicaremos la
Analicemos un poco los resultados que hemos obtenido en este ejercicio. Lo primero que observamos es que el momento, (
que es el valor mínimo que puede tomar.
Esto nos indica que de forma espontánea la espira tiende a orientarse en la dirección del campo magnético con el objetivo de minimizar su energía potencial. En ese momento el momento o torque que actuá sobre la espira es nulo
Un disco delgado, no conductor, de masa
El campo magnético en el centro del disco.
El momento magnético de este disco.
Para calcular las magnitudes que nos piden lo primero que vamos a hacer es un dibujo esquemático en el que consideraremos un anillo de radio
Esta carga gira con velocidad angular
Basándonos en la
Integrando esta expresión a todo el disco obtendremos la ecuación que se nos pide
El sentido del campo magnético lo podemos deducir aplicando la regla de la mano derecha y puesto que el disco rota con una velocidad
Para calcular el momento magnético del disco comenzaremos calculando el momento de la espira de radio
Ahora ya podemos integrar a todo el disco y obtener el momento magnético que nos piden:
Cuando el flujo magnético,
El signo − de la
Por todo ello en muchos casos calcularemos el valor absoluto de la fuerza electromotriz inducida para posteriormente aplicar la Ley de Lenz y deducir el sentido de la corriente inducida. Puesto que la fuerza electromotriz es el trabajo por unidad de carga, habrá fuerzas que se ejercerán sobre las cargas móviles que realizan trabajo sobre ellas. Como las fuerzas magnéticas no pueden realizar trabajo, no podemos atribuir la fuerza electromotriz a estas fuerzas y por lo tanto serán las fuerzas electricas las responsables de ella. Esto nos lleva a señalar que estas fuerzas eléctricas estarán asociadas a un campo eléctrico
La autoinducción,
La unidad en el Sistema Intenacional de la inductancia es el henrio (H), que se define como 1 H = 1 Wb·A−1 = 1 T· m2·A−1. La unidad del flujo magnético
Haciendo uso de la
Si consideramos un solenoide de longigud
donde
Cuando dos circuitos o más están próximos el uno al otro, el flujo magnético que atraviesa uno de ellos depende no solo de la corriente en el propio circuito sino que depende también de la corriente que circula por lo otros circuitos. De este modo, supongamos que tenemos dos circuitos próximos, 1 y 2 por los cuales circulan las corrientes
De igual modo el flujo magnético a través de la superficie del circuito 1 debido a la corriente
a los coeficientes
Un ejemplo de cálculo del coeficiente de inducción mutua es el de dos solenoides de radios
El flujo magnético a través de una bobina viene dado por la expresión:
Si la bobina tiene
Para resolver este problema debemos aplicar la ley de Faraday y particularizar para el tiempo que se nos dice.
Una bobina tiene una longitud de 15 cm y está compuesta por 400 espiras circulares de 2 cm de radio. Por la bobina pasa una corriente continua
El flujo magnético a través de la bobina.
La fuerza electromotriz inducida en la bobina si la corriente se extingue uniformemente de forma lineal en 0,05 s.
Para calcular el flujo lo primero que debemos hacer es calcular el campo magnético generado por la bobina para lo cual consideraremos la aproximación de solenoide infinito:
Una vez conocido el campo magnético en el interior de la bobina obtenemos el flujo total multiplicando por la sección total siendo la sección de una espira por el número total de espiras:
Finalmente, teniendo en cuenta que el campo magnético y el vector superficie de la bobina son paralelos, obtenemos:
Para la segunda cuestión, el concepto clave es el hecho de que la corriente se extinga uniformemente. Esto nos permite calcular la variación temporal del flujo magnético como un cociente entre la variación de flujo magnético y el tiempo total que tarda en extinguirse la corriente eléctrica.
Una espira circular de 16 cm de diámetro y 0,05 Ω de resistencia está situada en una zona donde hay un campo magnético uniforme B, perpendicular al plano de la espira. Inicialmente el campo magnético tiene un valor de 0,1
la fuerza electromotriz inducida.
la intensidad de la corriente inducida en la espira.
Para calcular la fuerza electromotriz inducida, en este caso no es necesario calcular el flujo a través de la espira, ya que el propio enunciado nos da la tasa de variación del campo magnético en función del tiempo y la superficie de la espira permanece constante, por lo tanto:
Una vez conocida la fuerza electromotriz inducida, deducir la intensidad es automàtico
Una bobina de 500 espiras, de sección circular de 6 cm de radio, está colocada en un campo magnético uniforme. La dirección del campo coincide con el eje de la bobina y su valor varía según
El flujo magnético que atraviesa la bobina y la fuerza electromotriz inducida en ella en función del tiempo.
La intensidad de la corriente inducida para
Para calcular el flujo magnético debemos aplicar su definición, teniendo en cuenta que la superficie es el producto de las 500 espiras por el área de una de ellas.
Para obtener la corriente inducida, simplemente debemos aplicar la ley de Ohm, particularizada para
Una espira de superficie
¿Cuánto vale la inducción electromagnética en este caso?
Se para la espira y empieza a girar respecto de un eje perpendicular al campo con una velocidad angular
Al ser el campo uniforme, el flujo del campo magnético sobre la espira es constante. No hay variación de flujo y como consecuencia la tensión inducida es nula.
Ahora la espira gira con velocidad angular constante sobre un eje perpendicular al campo magnético. El flujo del campo magnético sobre la espira se calcula como:
siendo
Por un solenoide de 2000 vueltas, área 4 cm2 y longitud 30 cm circula una corriente de 4 amperios. Calcule la energía acumulada en el solenoide.
Para calcular la energía que nos piden podemos proceder de dos formas distintas.
Otra forma sería aplicando la
Si una vez conocida la densidad de energía multiplicamos por el volumen del solenoide
En una región del espacio existe un campo magnético uniforme de valor 0,5 T que penetra perpendicularmente al plano del papel, tal y como se muestra en la figura. La resistencia de la varilla vale 2 Ω y su longitud es
Para resolver este problema, debemos estudiar cómo varía la sección de la espira en función del tiempo. Para ello consideraremos que en un instante inicial los lados del circuito eléctrico son
El enunciado nos dice que la corriente tiene que ser de 1 A y que la resistencia de la varilla es 2 Ω, por lo tanto la fuerza electromotriz inducida tiene que ser de 2 V. Igualando este valor a la expresión anterior y sustituyendo por los valores numéricos correspondientes, obtenemos:
Ahora queremos averiguar hacia qué lado tiene que ir la varilla para generar una corriente en sentido antihorario. Aquí es útil calcular las fuerzas que se van a ejercer sobre las cargas situadas en la barra conductora. La fuerza magnética es:
La fuerza sobre los electrones tiene que ir en sentido opuesto a la corriente I. Aplicando la regla de la mano derecha, para que la fuerza
Un campo magnético uniforme espacialmente tiene un módulo que aumenta linealmente con el tiempo
Para calcular el flujo magnético a través de la espira cuadrada, únicamente debemos tener en cuenta la sección circular en la que el campo magnético está definido. De este modo el flujo magnético es:
Aplicamos la ley de Faraday para calcular la fuerza electromotriz inducida
La corriente inducida vendrá dada por la ley de Ohm:
Para determinar el sentido de la corriente inducida deberemos tener en cuenta la ley de Lenz, la cual nos dice que la corriente inducida se opone al cambio que la genera. En este caso el campo magnético aumenta conforme pasa el tiempo y por lo tanto el flujo también aumenta, si la corriente inducida se opone al cambio, en este caso deberá generar un campo magnético cuyo sentido sea hacia fuera del plano del papel para disminuir el flujo del campo magnético. Por lo tanto aplicando la regla de la mano derecha la corriente inducida deberá tener sentido antihorario.
Una bobina circular de 10 espiras y de 10 cm de radio se coloca perpendicularmente a un campo de intensidad
Calcular el flujo magnético que atraviesa la bobina en función del tiempo.
Calcular la fuerza electromotriz inducida.
Siendo la resistencia de la espira
¿Cuánta energía se habrá disipado al cabo de 1 s? (consideramos el tiempo inicial
El área total de la bobina incluyendo todas las espiras viene dada por
Para calcular el flujo magnético, debemos aplicar su definición:
La fuerza electromotriz inducida vendrá dada por la Ley de Faraday
Para calcular la potencia disipada en la espira, primero deberemos obtener la intensidad que circula por la espira
Una vez conocida dicha corriente calculamos la potencia disipada
La energía disipada en el intervalo
Queremos lanzar un objeto metálico a alta velocidad y para ello disponemos de dos rieles paralelos deslizantes separados una distancia de 0,5 m. Los rieles se encuentran inmersos en un campo magnético
¿La intensidad de corriente que debe circular por la barra para, una vez colocada sobre los rieles, experimente una aceleración de
¿Si los rieles tienen una longitud de
Para este problema se va a despreciar el rozamiento.
En este caso lo primero que debemos calcular es la fuerza que actuá sobre la barra que queremos proyectar, para posteriormente aplicar la 2
En este caso los vectores
Finalmente despejamos el valor de la intensidad de corriente que se nos pide:
El segundo apartado es un simple problema de cinemática, para lo cual calcularemos el tiempo que tarda la barra en recorrer los rieles teniendo en cuenta que describe un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
Una vez conocido el tiempo simplemente deberemos sustituir en la ecuación de la velocidad, siendo la velocidad inicial nula
En el centro de un solenoide de 2 cm de radio, 10 cm de longitud y 5000 espiras se situá una espira de 1 cm de radio y 0,5 Ω de resistencia. El plano de la espira es perpendicular al eje del solenoide.
Si por el solenoide circula una corriente de 2 A, calcule:
El campo magnético en el interior del solenoide.
El coeficiente de inducción mutua
Si la corriente del solenoide se extingue uniformemente en 0,5 ms calcule la fuerza electromotriz inducida y la corriente inducida en la espira.
El campo magnético generado por el solenoide se obtiene directamente con la aplicación de la fórmula:
Para el cálculo del coeficiente de inducción mutua, primero debemos calcular el flujo magnético a través de la espira situada en el interior del solenoide,
Es el flujo entre espira y solenoide. Finalmente aplicamos su definición, es decir la relación entre flujo mutuo y corriente
Para calcular la fuerza electromotriz inducida, aplicaremos la Ley de Faraday teniendo en cuenta que la corriente en el solenoide se extingue uniformemente:
En una región del espacio hay un campo magnético uniforme de intensidad 0,5 T que penetra perpendicularmente al plano del papel tal y como se muestra en la figura. Si la resistencia de la varilla MN vale 2 Ω.
¿Con qué velocidad, módulo y sentido, debe moverse la varilla si queremos que en el circuito se induzca una corriente de 0,2 A en sentido horario?
Volvemos a la situación inicial y, manteniendo fija la varilla, procedemos a modificar uniformemente el campo magnético durante 2 s. Comprobamos que la corriente inducida durante este proceso es la misma que en el caso anterior.
¿Cuál es el valor final del campo magnético (módulo y sentido)?
El enunciado nos dice que la corriente inducida tiene que ser 0,2 A en sentido horario. Por lo tanto, de acuerdo con la regla de la mano derecha, el campo generado por la corriente inducida tiene sentido hacia dentro del plano del papel. La ley de Lenz nos dice que el sentido de la corriente inducida se tiene que oponer al cambio que la genera. La corriente en el sentido horario aumenta el flujo del campo. Por lo tanto la barra debe moverse hacia la izquierda para compensar este aumento de flujo.
Para calcular el módulo de la velocidad aplicaremos la ley de Faraday y la ley de Ohm a la varilla:
En la segunda parte debemos tener en cuenta que la variación de flujo magnético se produce debido a la variación del campo magnético, pues la sección va a permanecer constante.
despejando
Dado que |Δ
Una bobina circular de radio
la fuerza electromotriz inducida en la bobina en función del tiempo.
la frecuencia de giro de la bobina, expresada en rad·s−1.
La obtención de la f.e.m. inducida es una aplicación directa de la Ley de Faraday.
Teniendo en cuenta que el valor de pico de la intensidad es el valor máximo de la corriente, este se corresponderá con el valor máximo de la f.e.m. en la resistencia dado que son proporcionales. Coincide con los tiempos para los cuales sin(
Una barra conductora desliza con una velocidad constante
Calcule el flujo magnético en la espira formada por los railes y la barra en función de
Calcule la fuerza electromotriz inducida en el circuito en función de
Nota: la regla de la cadena nos permite escribir
Para calcular el flujo magnético en la espira, deberemos aplicar su definición, considerando que en este caso el campo magnético y el vector superficie son paralelos, y que ambas magnitudes dependen de
Una vez conocida la expresión del flujo magnético en función de
Concluimos que |
Un conductor rectilíneo infinito se dobla tal y como se indica en la figura. Se sabe que por él circula una corriente
Calcular el radio
A continuación en el centro de la espira se coloca una segunda espira de radio
La intensidad que circulará por el conductor al cabo de 3 segundos.
Repita el apartado anterior considerando que la corriente inducida en la segunda espira tuviese sentido antihorario.
Nota: Considere que el campo magnético es constante en la sección de la segunda espira y que su valor es el que tiene en el centro.
Para este primer apartado deberemos considerar que el hueco que se genera al doblar el hilo entre los dos tramos rectos es despreciable, de modo que podremos considerar que el campo magnético total generado en el centro de la espira,
Para establecer el carácter vectorial de los campos, consideraremos que el eje perpendicular al plano de la figura es el eje
Despejamos
Sustituyendo los valores numéricos que nos proporciona el enunciado, obtenemos
Se nos dice que al introducir una espira de radio
En este caso, la corriente inducida en la pequeña espira tiene sentido horario. Razonando con la ley de Lenz podemos deducir que el campo magnético generado por el hilo y la espira inicial debe aumentar. El campo magnético del cable + espira va dirigido hacia dentro del papel y el campo de la pequeña espira hacia fuera. El campo de la pequeña espira debe oponerse al aumento de flujo generado por el cable.
Siendo |
Este campo es generado por la configuración de corriente inicial, por lo tanto, simplemente deberemos aplicar la misma fórmula que en el primer apartado:
Al igual que en el apartado anterior, al aplicar la ley de Faraday y procediendo de forma similar obtenemos:
Sin embargo, en este caso, la corriente inducida tiene sentido antihorario, lo que nos indica que el campo magnético generado por el hilo y la espira inicial disminuye, con lo que obtenemos:
Sobre una espira cuadrada, de lado
Para resolver este problema, lo primero que debemos darnos cuenta es el sentido que lleva el campo a ambos lados del hilo conductor, lo cual se obtiene directamente aplicando la regla de la mano derecha. Es importante observar que el campo magnético generado por el hilo a uno y otro lado lleva sentido opuesto, por lo que el flujo que en la región izquierda del dibujo (a) se anula con el de la parte simétrica respecto del hilo de la derecha (b).
Una vez que tenemos el planteamiento claro, aplicamos la definición de flujo magnético, para lo cual deberemos tener en cuenta la expresión del campo magnético generado por un hilo infinito en un punto es
Una vez conocido el flujo magnético a través de la espira, calcularemos la f.e.m. inducida aplicando la Ley de Faraday y teniendo en cuenta que el enunciado nos dice que la corriente se apaga uniformemente en 0,1 s.
Una vez conocida la f.e.m. inducida, aplicando la Ley de Ohm obtenemos la corriente inducida
Finalmente para determinar el sentido de la corriente inducida aplicaremos la Ley de Lenz. Dado que el flujo magnético disminuye (la corriente que genera el campo se anula), la corriente inducida debe oponerse a dicha disminución y por lo tanto deberá generar campo magnético hacia dentro del papel. La corriente llevará sentido horario en la espira.
Una espira cuadrada conductora de lado
Calcule la corriente inducida en la espira en función de
Calcule la energía que se ha disipado en la bobina una vez que la espira ha atravesado totalmente la región donde había campo magnético.
A la hora de resolver el problema lo primero es hacer un dibujo esquemático en el que veamos claramente el planteamiento del problema.
Podemos observar que hasta que la espira no llega a la posición
donde
y por lo tanto la corriente inducida será:
Para determinar el sentido de la corriente debemos observar que el flujo magnético aumenta conforme la espira penetra en la región con campo y por lo tanto la corriente inducida deberá oponerse a este aumento para lo cual generará un campo magnético que se opone al que tenemos en dicha región, es decir, la corriente inducida tendrá un sentido horario.
Finalmente la situación (c) representa las posiciones para las cuales la espira está saliendo de la región con campo. Podemos proceder de forma análoga al caso (a), teniendo en cuenta que la sección de la espira que permanece en la región con campo magnético será
La energía únicamente se disipa en las situaciones (a) y (c) puesto que en (b) la corriente inducida es nula. La potencia que se disipa en ambas situaciones es:
Para calcular la energía disipada debemos multiplicar la potencia, dado que es constante, por el tiempo que tarda la espira en entrar (salir) a la zona en la que está definido el campo magnético.
Sobre el eje
Veamos el dibujo esquemático del problema. En este caso supondremos que la espira se encuentra a una distancia
Una vez que tenemos el flujo magnético, procedemos a calcular su derivada temporal, para lo cual aplicaremos la regla de la cadena
Nótese que existe un problema cuando la espira llega a tocar el cable en
La varilla conductora
El flujo magnético a través del circuito.
La fuerza electromotriz inducida.
La intensidad de la corriente inducida.
La fuerza magnética que actuá sobre la varilla.
Si el coeficiente de rozamiento entre los carriles y la varilla es
Dato:
Para calcular el flujo magnético debemos aplicar su definición teniendo en cuenta que el ángulo que forman el campo magnético y el vector superficie es el mismo que el que forma el circuito con el plano horizontal. De este modo:
El producto escalar
La fuerza electromotriz inducida vendrá dada por:
Para calcular la corriente inducida aplicaremos la Ley de Ohm
Para determinar el sentido de la corriente inducida hay que observar que conforme la varilla desciende el flujo magnético a través de la espira disminuye y por lo tanto la corriente inducida deberá generar un campo magnético con el mismo sentido que el campo existente. De este modo, en la figura inferior la corriente iría hacia dentro del papel en el extremo
Una vez calculada la corriente inducida, obtenemos la fuerza magnética que actuá sobre la varilla. Si observamos el dibujo podemos ver que el sentido de la corriente
Finalmente para calcular la velocidad necesaria para que la varilla descienda con movimiento uniforme, deberemos aplicar la segunda Ley de Newton. Antes de proceder a los cálculos es recomendable realizar un dibujo esquemático en el que se aprecien todas las fuerzas que intervienen.
En el eje perpendicular al plano de la espira las fuerzas que actuán son la normal y las componentes del peso y de la fuerza magnética. Proyectamos esta vez en la dirección del plano, obtenemos:
En la dirección paralela al plano la fuerza de rozamiento y la componente de la fuerza magnética deben contrarrestar la componente del peso. Matemáticamente obtenemos: